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1、小学数学中主要的数学模型,一、对数学模型的认识数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。在义务教育阶段，用字母、数字及其他数学符号表达的数学的代数式、关系式、方程、函数、不等式及各种图表、图形等都是数学模型。数学模型思想是基本的数学思想之一，数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表、图形，因而它与符号化方法有很多相似之处。,二、数学模型的重要性数学模型在当今市场经济和信息化社会已经有比较广泛的应用；因而，模型方法在数学方法中有非常重要的地位。如果说符号化方法更注重数学抽象和符号表达，那么模型思想更注重数学的应用，即通过数学结构化解决问题，尤
2、其是现实中的各种问题；当然，把现实情境数学结构化的过程也是一个抽象的过程。,2011版课标与原课标相比有了较大变化，在课程内容的十大核心概念中是唯一以“思想”出现的，并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识”。模型思想是数学的基本思想之一。,2011版课标在总目标中指出：经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知
3、识和基本技能。总之，培养学生的模型思想，有利于培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。当学生理解并掌握了各种基本的数学模型后，面对变化多端的数学问题时，可以利用已有的模型求解，把握数学的本质，而不至于被各种杂乱的表面信息所迷惑。,三、模型思想的教学.使学生经历“问题情境建立模型求解验证”的数学活动过程。体现了标准2011中模型思想的基本要求，也有利于学生在过程中理解、掌握有关知识、技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质。这个过程与问题解决的过程有相似之处。,2.重视对数学模型的解构、表征和变式。“建立数学模型应该是提取加还原的过程”1也就是说在让学生经历建模的过程后，还要注重
4、模型的多种表征形式，包括模型的还原、生活化。这样有利于培养学生建模的能力。如用方程解决问题就是一个建模的过程。陈千举老师方程一课体现了这一理念。1吴正宪、张秋爽对数学核心概念的思考，2012年课程教材教法增刊。,.数学建模能力的培养是一个长期的过程。低年级学生的基础知识目标达到的水平、语言理解水平、思维水平、生活经验等各方面因素都决定了学生的建模能力培养的艰巨性、长期性。低年级的数学模型主要是应用加、减、乘、除及混合运算解决简单的实际问题，重点是让学生理解和掌握四则运算的概念，这是培养学生模型思想的基础。传统上，应用题按类型进行教学，让学生死记硬背一些关键词和公式。这样做的结果是没有抓住问题的
5、核心，没有真正培养分析问题、解决问题的能力，及抽象思维能力。,长期以来，我国的基础数学教育有一个重视训练技能的传统，这是对的。但是一定要建立在基础知识扎实的基础上，这是最重要的。磨刀不误砍柴工，在基础知识扎实基础上的技能训练能够事半功倍；否则反之，有些老师进行题海训练但成绩不理想，道理就在于此。基础知识包括：概念、法则、性质、定律、公式等。要让学生达到：了解理解掌握运用的水平。再让学生经历、体验、探索数学模型构建的过程。,以加法为例，学生对加法的理解有一个逐步抽象概括的过程。加法的情境和题型非常丰富，从开始的两个数相加，,用、的加法解决问题，,10以内的连加，个数相加,打破了加法是熟悉情境的传
6、统。需要从加法的概念入手，去理解用加法计算的道理。,一下：同数相加的加法,二上：求比一个数多几的数。,二上：连续两问的问题。,二上：多个数相加。,案例：二年级班男生有26 人，女生有29人。二年级班一共有多少学生？案例：二年级班男生有26 人，女生比男生多人。二年级班有多少女生？案例：二年级班男生有26 人，男生比女生少人。二年级班有多少女生？第题传统上是反叙的应用题，难度较大，低年级不再编排。同时说明有部分学生对加法的概念还没有达到理解和掌握的水平。实际上即使用方程解决此类问题，也需要学生理解“男生比女生少人”这句话，才能正确列出方程。,需要学生理解各种生活语言，不仅仅是看到一共用加法，如前
7、面案例，再转化为数学语言：abc最后抽象概括出“把若干个数合并成一个数的运算，就是加法”。,再比如等式的性质，如何做到真正理解和掌握。,有些老师会问形如ax=b,ax=b的方程如何解。说明对等式的性质还没有完全理解和掌握，等式的性质中说的数可以是已知数，也可以是未知数。,4数学建模可分为以下几个层次。第一，学生可以经历构建模型的探索过程。现实生活中已有的数学模型基本上是数学家、物理学家等科学家们把数学应用于各个科学领域经过艰辛的研究创造出来的，使得我们能够享受现有的成果。如阿基米德发现了杠杆定律：平衡的杠杆，物体到杠杆支点的距离之比，等于两个物体质量的反比，即1：22：L1。在学习了反比例关系
8、以后，可以利用简单的学具进行操作实验，探索杠杆定律。再如各种图形的周长、面积、体积公式的探索，运算定律的探索等等。,第二，有些数学模型，由学生进行探索是有难度的。如物体运动的路程、时间和速度的关系为s=vt，利用这个基本模型可以解决各种有关匀速运动的简单的实际问题。但是由于这个模型比较抽象，不适合学生进行探索。教师只需要通过现实模拟或者动画模拟，使学生能够理解模型的意义便可。再如反比例关系等，让学生进行实验探究也是有难度的，可借助表格的数据让学生发现规律，理解概念。,第三，应用已经掌握的模型解决问题。前面两条说的是新知识的学习，第3条说的是学生学习了教材上的各种基本模型以后，利用已有知识解决新
9、的更加复杂的各种问题，能够举一反三。如方程、正比例、反比例、植树问题、鸡兔同笼、找次品、抽屉原理等。,以植树问题为例，可以封闭圆圈植树为核心模型，演变出其他模型。点与间隔一一对应，长度间隔=棵数。再根据实际情况演变出其他模型。一端栽一端不栽：长度间隔=棵数 两端都栽：长度间隔+1=棵数两端都不栽：长度间隔1=棵数,四、小学数学中主要的数学模型(一)数与代数1.用数字和图形表示有规律的数列或图形。,一下，找规律,找规律，填数。1，6，11，16，21，。这列数中小于100的最大数是，第n项是。y5n+1，96。一个一个地加是算术思维，建模是代数思维。低年级让学生感受、了解数学模型，在高年级，注意
10、从算术思维到代数思维的过渡，培养代数思维。,2.数的运算。a+b=c，ca=b,cba，abc(a0,b0)，ca=b,cba四则运算关系式是小学数学最基本的数学模型，其他很多模型都是在此基础上的进一步发展。,运算律的探索过程也是建模的过程。,3.数量关系式。时间、速度和路程：s=vt数量、单价和总价：a=np,工效时间工作总量单产面积=总产 耗油量/千米千米数=总耗油量消耗量/天天数=总消耗量 合格率=合格产品数产品总数 100%发芽率=发芽种子数种子总数 100%出勤率=实际出勤人数应出勤人数 100%,以上数量关系式的变式也很重要，可以培养学生的逻辑思维和辩证思维能力。速度一定：路程时间
11、定值单价一定：总价数量定值工效一定：工作总量时间定值单产一定：总产面积=定值耗油量/千米一定：总耗油量千米数=定值,下面讨论以数学模型为核心的问题解决的教学。传统上应用题的结构是与四则运算、混合运算相匹配，包括有连续两问的应用题、相似应用题的比较，现在有问题串，这些都是很好的做法和经验，是知识结构的基础。这种结构是线性的。以基本模型和问题为核心，构建问题链，可以是网状结构，从而最大限度地整合丰富多彩的问题。,以svt为例，模型结构图如下，a是常数。请老师自己编题。,案例1：甲地到乙地原来运行的是动车，上午8时出发中午12时到达，运行路程是700千米。现在运行的是高铁，每小时比动车快105千米，
12、上午8时出发，几时到达？分析：(1)此题是生活中的实际问题，属于时间、速度、路程的问题，要解决的问题是求高铁的运行时间,t=sv。(2)S不变，v比原来大，可用t1=s(v+a)的数学模型。(3)根据题中的信息,v=700 4=175，a=105。所以v+a=175+105=280。则t1=7002802.5。(4)高铁8时出发，10:30 到达。,案例2：甲乙两地相距1200米，王老师以每分80米的速度从甲地向乙地步行，同时一只狗以每分120米的速度从甲地向乙地跑去，到达乙地后立即往回跑，与王老师相遇后，继续重复以上动作，直到王老师到达乙地为止。这只狗一共跑了多少米？分析：这道题的本质是关于
13、s、v、t之间的数量关系，s=vt这一模型。求的是狗的s，v已经知道了，需要先求出t；表面上看狗跑来跑去不知如何计算路程，实际上狗跑的时间与王老师走的时间是相等的。很显然，王老师走的时间很容易求出来。t12008015(分)s12015=1800(米),4.用字母表示数、代数式、方程、函数。ax+b=c正比例关系：y/x=k反比例关系：xy=k,(1)方程和函数的概念。方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是应用数学解决实际问题的重要工具，它们都可以用来描述现实世界的各种数量关系，而且它们之间有着密切的联系，因此，将二者放在一起进行讨论。,方程。含有未知数的等式叫方程。方程按照未知数的个数
14、和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号（常用、y等字母）表示，根据相关数量之间的相等关系构建方程模型。方程思想体现了已知与未知的对立统一。,函数。设集合、是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，如果对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称y是的函数，记作y()。其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，y叫做函数或因变量，与相对应的y的值叫做函数值，y的取值范围叫做值域。以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只
15、有一个，与之对应的函数值也是唯一的。这样的函数研究的是两个变量之间的对应关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等都是这类函数。,实际上现实生活中还有很多情况是一个变量会随着几个变量的变化而相应地变化，这样的函数是多元函数。虽然在中小学里不学习多元函数，但实际上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系：rh。半径和高有一对取值，体积就会相应地有一个取值。函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系，因变量随着自变量的变化而变化，通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则，从而构建函数模型。
16、函数思想体现了运动变化的观点。,(2)方程和函数的关系。从小学数学到中学数学，数与代数领域经历了从算术到方程再到函数的过程。算术研究具体的确定的常量以及它们之间的数量关系。方程研究确定的常量和未知的常量或变量之间的数量关系。函数研究变量之间的数量关系。,方程和函数虽然都是表示数量关系的，但是它们有本质的区别。如一元一次方程中的未知数是常量，而一次函数中的自变量和因变量一定是变量，因此二者有本质的不同。方程必须有未知数，未知数往往是常量，而且一定用等式的形式呈现，二者缺一不可，如246。而函数至少要有两个变量，两个变量依据一定的法则相对应，呈现的形式可以有解析式、图象法和列表法等，如集合为大于等
17、于1、小于等于10的整数，集合为小于等于20的正偶数。那么两个集合的数之间的对应关系可以用y2表示，也可以用图象表示，还可以用如下的表格表示。,人们运用方程思想，一般关注的是通过设未知数如何找出数量之间的相等关系构建方程并求出方程的解，从而解决数学问题和实际问题。人们运用函数思想，一般更加关注变量之间的对应关系，通过构建函数模型并研究函数的一些性质来解决数学问题和实际问题。方程中的未知数有时是静态的、有时是动态的，而函数中的变量则一定是动态的。方程已经有3000多年的历史，而函数概念的产生不过才300年。,方程中的未知数有时是动态的，如圆的方程：x+y=1,虽然x、y在区间-1，1内可以取任意
18、数值，x和y可以理解为变量，但不是函数关系，因为每对确定的绝对值相等x的值（0除外），如+0.6、-0.6，都有两个y的值与之对应，如+0.8、-0.8。不满足函数的自变量与因变量一对一或者多对一的法则。如果把圆的方程变换为半圆的方程：y=。就可以看成y是x的函数。,(3)方程和函数的教学。方程和函数是中小学数学，尤其是中学数学的重要内容之一。方程和函数在研究和构建现实世界的数量关系模型方面，发挥着重要的作用。小学数学教材中比例的内容，比例的应用，一般用含有一个未知数的比例关系式解决问题。偏向于方程思想，忽视了函数思想。,某地某时物体的影长与该物体的高度成正比例，小兰的身高为1.5m，影长为2
19、.4m。(1)任意物体影长与高度的正比例关系式为。(2)此时此地测得一棵树的影长为4m，这棵树高 m。,案例1：妈妈买了3千克香蕉和2千克苹果，一共花了21元。苹果的价格是香蕉的2倍，苹果和香蕉的单价各是多少？分析：题目涉及的是商品的数量、单价和总价的关系，根据数量关系“单价数量总价”进行分析，题中出现了两种商品，总价也是两种商品的总价。所以等量关系应为“香蕉的单价香蕉的数量苹果的单价苹果的数量总价”。再根据这个等量关系找出题中已知的量，总价21元、香蕉的数量3千克和苹果的数量2千克。未知的是香蕉和苹果的单价，也就是题目中要求的量。设香蕉的单价是元千克，苹果的单价是y元千克。,根据题意，可列出
20、如下方程。32y21，y2。根据等量代换的原理，两个方程可合并成一个方程，32 221。这是在小学数学中遇到含有有关系的两个未知数的方程时能够直接列出一个方程的依据。如和倍、差倍、鸡兔同笼等问题，用方程解决也是利用了这个原理。解方程，3,y6。,案例2：小明家的果园供游人采摘桃，每千克10元。请写出销售桃的总价(总收入)y元与数量(千克数)之间的关系式。如果某天的销量是50千克，这天的总收入是多少？如果上个月的总收入是12000元，上个月的销量是多少千克？分析：此题涉及的也是商品的单价、数量和总价的关系，仍然要根据数量关系“单价数量总价”进行分析。根据题意，已知的量是单价，未知的量是总价和数量
21、，题目已经告诉我们分别用y和表示。因为桃的单价一定，所以它的总价与数量成正比例，可列关系式：y10。某天的销量是50千克，总收入是500元。上个月的总收入是12000元，销量是1200千克。,案例2与案例1相比较，都有两个量分别用y和表示。案例1中的y和虽然是未知的量，但是它们实际上是具体的静止的常量，都有一个确定的值，通过解方程可以得到它们的值。案例2的两个量y和则是相关联的变化的量，的取值可以是一定范围内(果园内桃子总质量的最大值以内)的任何一个数，y随的变化而变化。只有y和中的一个量取一个具体的值时，另一个量才会相应地取一个具体的值。如案例2中的具体问题的解答。,案例3:无限循环小数0.
22、777和0.747474如何化成分数？你能发现什么规律？分析：根据小数与分数的关系，有限小数化分数比较容易进行。由于无限小数的数位是无限的，不能直接用有限小数化分数的方法进行。根据循环小数的循环节不断重复出现的特点，循环节有几位数字，就把这个循环小数乘10的几次方；它的左起第一个循环节就变成了整数部分，而循环小数部分不会改变；二者的小数部分相同，二者的差为循环节变成的整数部分。,因此，可利用差倍问题的原理，列方程解决问题。如设0.777，那么107.777,求它们的差，107，解方程，所以0.777。同理可得，10074，所以0.747474。无限循环小数化分数的规律是，把循环节作为分子，循环
23、节有几位数字，分母就是由几个9组成的几位数。,案例4:2006年广州市中考题。,目前广州市小学和初中在校生共有约万人，其中小学生在校人数比初中生在校人数的倍多万人。（）求目前广州市在校小学生人数和初中生人数。（）假设今年小学生每人需交杂费元，初中生每人需交杂费元，而这些费用全部由广州市政府拨款解决，则广州市要为此拨款多少？,分析：上题与人教版小学五上例相比，稍复杂。,5.用符号表示变化规律。实际上就是函数。数列的变化规律:1,an=n 图形的变化规律,小棒的根数：y=3x+1,(二)图形与几何1.用图形表示空间和平面结构。这部分内容就是小学所学的平面图形和立体图形，及相关的物体，并且这些物体和
24、图形是用数量、几何特征进行清晰表达的。如航模、汽车模型、图纸、微缩景观、商品房小区模型、,2.用字母表示周长、面积和体积公式。,.用图表直观表示解决问题的方法。类似于几何直观，是一种非常直观的模型。如解决排列组合问题，可以利用树状图。,案例1:(1)有2件不同的上衣、3条不同的裤子，一共有多少种穿法？(2)有2件不同的上衣、3条不同的裤子、2双不同的鞋，一共有多少种穿法？,案例2:甲乙两人玩“石头、剪刀、布”，一共有多少种可能出现的结果？,(三)统计与概率 用统计图表描述和分析各种信息。作为公民而言，学会收集、分析数据，找出规律，进行判断和决策，学会用数据说话，非常重要。日常生活：如何购物最省钱 科学研究：定量研究 投资理财：买房、存款、国债、保险、股票、基金 经营管理：市场调研分析、绩效考核、产品投产决策、营销决策,五、小结 总而言之，小学数学6年的时间，学生的学习是一个漫长的积累、成长过程，需要扎实稳步地推进，如何让学生学得又好又活是一个复杂的课题。小学数学教育现在重视数学模型思想，希望老师们开展相关的课堂教学的实践研究，为解决上述问题贡献智慧和经验。作业：谈“以构建数学模型为核心，培养学生解决问题的能力”,
