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1、第10章 几何光学的近轴理论,光线模型几何光学的实验定律成像定理光学仪器,10.2 几何光学的基本概念,1、几何光学是关于物体所发出的光线经光学系统后成像的理论。2、几何光学是建立在实验的基础之上的。3、几何光学中，光的物理模型是几何学上的线，即“光线”。4、“光线”模型来自于物理实验,一、几何光学的实验定律,1 光的直线传播定律在均匀媒质中，光沿直线传播。,P,Q,如果介质是非均匀的，则光的传播将会发生偏折，即不再沿着一条直线传播。但是，总可以设法发现光传播的路径，这条路径是折线或曲线。根据这一事实，也可以得出这样的结论，既然在媒质中，光总是沿直线、折线、或曲线传播，那么就可以用一条几何上的
2、线来描述和研究光的传播，这就是“光线”。,几何光学的局限,几何光学是关于光的唯象理论。不涉及光的物理本质。对于光线，是无法从物理上定义其速度的。在几何光学领域，也无法定义诸如波长、频率、能量等物理量。,2 光的反射律,物,观察者（接收器）,平面镜,挡板,反射光在入射面内,界面,入射面,光的反射定律,1）反射光在入射面内2）反射角等于入射角,3、光的折射定律,介质2,介质1,分界面,物,像,只与两种介质有关，折射率,折射光在入射面内,Snell定律,界面,入射面,光的色散,一束平行的白光（复色光）从一种媒质（例如真空或空气）射入另一种媒质时，只要入射角不等于0，不同颜色的光在空间散开来。说明不同
3、颜色的光具有不同的折射角，即不同的折射率。,4、光路可逆原理,上述实验定律都反映了光路的可逆性,光线如果沿原来反射和折射方向入射时，则相应的反射和折射光将沿原来的入射光的方向。,如果物点Q发出的光线经光学系统后在Q点成像，则Q点发出的光线经同一系统后必然会在Q点成像。即物像之间是共轭的。,Q,Q,二、Fermat原理,P,Q,光实际传播的路径，是与介质有关的。,The actual path between two points taken by a beam of light is the one which is traversed in the least time.,费马（Fermat
4、）原理：两点间光的实际路径，是光程平稳的路径。（1679年）光程：折射率光所经过的路程，即nS。一般情况下为折射率的路径积分。平稳：极值（极大、极小）或恒定值。在数学上，用变分表示,椭球面内两焦点间光的路径，光程为恒定值,在椭球面上一点作相切的平面和球面，则经平面反射的光线中，实际光线光程最小，经球面反射的光线中，实际光线光程最大。,抛物面焦点发出的光，反射后变为平行光，汇聚在无穷远处，光程为极大值。,原理与定律,可以由Fermat原理导出几何光学的实验定律所以可以说，Fermat原理是更基本的一般来说，任何一门学科，都有着无法证明的（指从理论上无法证明）最基本的假设，这就是原理，是这一学科所
5、建立的基础。,物像之间的等光程性物点Q与像点Q之间的光程总是平稳的，即不管光线经何路径，凡是由Q通过同样的光学系统到达Q的光线，都是等光程的。,三、几何光学定律成立的条件,1 光学系统的尺度远大于光波的波长。2 介质是各向同性的。3 光强不是很大。,10.3反射与折射的应用,10.3.1 光在平面上的反射,“虚光线”与“虚像”,光线并没有进入平面的下方所以，像点并不是真实光线汇聚而成的而是视觉上将反射光线反向延长后汇聚形成的因而，反射光线的反向延长线就是“虚光线”，这样形成的像就是“虚像”。,虚光程,按照费马原理，物像之间应该是等光程的,上式对任意方向光线成立的条件为等式的值为0,则平面下方的
6、折射率为,虚光线的光程称作虚光程,在平面反射的情形下，物与像点点对应，所以平面镜可以严格成像,10.3.2光在平面上的折射,1折射光来自同一点光源的入射光，经平面折射后，其折射光线的反向延长线不再汇聚于同一点因而严格说来，平面折射是不能成像的 不是不能成像，而是不能严格成像,2棱镜,偏转角,有最小偏转角,3全反射,有可能,但,所以，当,时，折射光实际上不存在，,只有反射光,这种情况就是全反射，也称全内反射,全反射临界角,光线从光密介质射向光疏介质，折射角比入射角大 入射角满足 就会出现全反射 出现全反射的最小入射角称作全反射临界角,4全反射棱镜,倒转棱镜,屋脊形五棱镜,波罗组合棱镜,5.光纤,
7、单根光线不能传输图像,依靠集束光线传输图像,10.4 变折射率光学,不均匀的媒质，其折射率是各处不同的，例如大气层，受到重力、温度、湍流等因素的影响，是变折射率介质对于渐变折射率介质，可以导出光线的基本方程设在直角坐标系中，折射率只在y方向变化将媒质分成一系列薄层，设每一层中的折射率是均匀的,光线方程,例10.4.1一条笔直平坦的高速公路上方空气的折射率随高度y的变化规律，式中，是地面处空气的折射率。一个人站在公路上向远处观察，他的眼睛离地面的高度为H=1.6m，问此人能看到公路上最远的距离是多少？,由于,，可以将,略去,光线轨迹为,例10.4.2光纤的折射率 式中 为比1小得多的常数，为光纤
8、轴线中心的折射率，试求传导光线的轨迹方程，并证明：在近轴光线条件下，光纤有自聚焦的特性。阶跃型光纤，折射率沿径向呈阶梯形分布，是全反射光纤，用于图像传输。折射型光纤（或梯度型光纤），本题讨论的即是这种新型光纤。可以将光纤分割成许多同轴薄圆筒，由对称性可知，只需要分析含光纤轴线的截面内的光线轨迹即可。,常量,振幅,空间频率,小角度入射时（傍轴近似），,所有光线有相同的周期,有自聚焦效应。自聚焦光纤,10.5 近轴光在单球面上的成像,10.5.1 物与像的虚实性1 同心光束 从同一点发出的或汇聚到同一点的光线束，称为同心光束。,从光线的性质看，物上的每一点都发出同心光束，而像点都由同心光束会聚得到
9、。,物和像都是由一系列的点构成的，物点和像点一一对应。成像的最基本条件是要满足同心光束的不变性。从整个物和像的对应关系看，还必须要满足物像间的相似性。空间上，各个点之间的相互位置要一一对应，同时每一对物像点的颜色要一一对应。要求成像的光学系统不产生畸变，没有像差、色差等等。,2 光具组：若干反射面或折射面组成的光学系统。,光轴：光具组的对称轴,3.理想光具组,精确成像的必要条件是物上一点与像上一点对应。使同心光束保持其同心性不变的光具组为理想光具组理想光具组是成像的必要条件,4物方和像方,物点所在的空间为物方空间像点所在的空间为像方空间,物,像,物方空间,像方空间,5 实物与虚物，实像与虚像发
10、出同心光束的物点，为实物点；物方同心光束延长后汇聚所成的点，为虚物点。,物方,像方,实物,虚物,实物,经过光具组后的同心光束，汇聚在像方形成的点，为实像点；像方发散的同心光束反向延长后汇聚的点，为虚像点。,像方,物方,实像,虚像,实物成实像,实物成虚像,虚物成实像,虚物成虚像,10.5.2 近轴光在单球面上的成像,从Q点发出的光线QM折射后变为MQ,1.轴上物点成像,在QMC1和QMC1中分别应用余弦公式,不同，s不同，即从Q点发出的同心光束不能保持同心性,欲使折射光线保持同心性，必须(1)满足近轴（傍轴）条件，即,折射球面的光焦度,或者(2),没有意义,只有,这就是平面镜,平行光入射,像方焦
11、距，像点Q所在位置为像方焦点,折射光为平行光,物方焦距，物点Q所在位置为物方焦点,Gauss公式,2.轴外物点成像,相当于光轴绕球心旋转,满足近轴条件时，圆弧变为直线。,像的横向放大率,焦点与焦平面,平行于光轴的入射光线经过球面折射后，汇聚于像方焦点。,由于单球面有无数个光轴，所以，凡是相互平行的入射光线，经折射后，都汇聚于与入射光线平行的光轴的像方焦点上。,所有这些像方的焦点构成一个球面。,在傍轴条件下，上述像方焦点可以看作是处于一个平面上，这就是折射球面的像方焦平面即：相互平行的入射光线都汇聚于像方焦平面上的同一点。同样，可以得到并定义物方焦平面，从该平面上一点发出的所有光线，经折射后，在
12、像方为相互平行的光线,物方焦平面,像方焦平面,折射球面的光学参数,物方焦距,像方焦距,物方焦点,像方焦点,物方焦平面,像方焦平面,折射球面的光学性质,根据这些光学参数，可以得到任意一条光线的共轭光线,光焦度与焦距的讨论,显然，上述三个物理量既可以是正值，也可以是负值。若r0，nn，f，f0。可以看出，平行光入射，折射光发散。反向延长后，会聚点在物方，即f0表示像方焦点位于物方。,由于物、像间的共轭关系，f0表示物方焦点位于像方。焦距为负值，表示像方焦点实际上在物方，物方焦点实际上在像方。由于焦距也是像距或物距，所以，如果物点位于像方（虚物），则其物距为负值；像点在物方（虚像），则其像距为负值。
13、,虚物，物距为负值,虚像，像距为负值,例题,一束汇聚光射向球面，如果将入射光线延长，则汇聚在P点处，求这束光经球面折射后实际的汇聚点。解法1，用作图法。,解法二，用计算法将物距以P点到球面的距离的负值带入即可,（1）物方和像方：以光线入射的方向作为物方，另一方为像方。（2）球面曲率中心在像方，其曲率半径r0；球面曲率中心物方，r0；物点像方，物距s0；像点在物方，像距s0。,3几何光学的符号约定,（5）线段在主光轴之上，y0；线段在主光轴之下，y0。,（6）角度自主光轴或球面法线算起，逆时针方向为正，顺时针方向为负。,（8）对于反射球面，其物方和像方位于球面同一侧。,（7）图中所标均为绝对值，
14、对于是负值的参数，应在其前面加上负号。,由折射球面物像公式推导反射球面物像公式,折射球面Gauss公式,凸面镜,凹面镜,对于实物，总是在焦点内侧成正立缩小虚像,可以成实像或放大的虚像,4符号约定下像的横向放大率公式,5 Lagrange-Helmhotz恒等式,对光线的角放大率为,Lagrange-Helmhotz恒等式,由于,可得到,10.6 薄透镜成像,10.6.1 薄透镜 由两个折射球面组成，过两球面圆心的直线为光轴，顶点间距d。,就是薄透镜，通常可以,可以认为，两球面顶点重合，称为光心，记为O。,如果满足,10.6.2薄透镜成像公式1用逐次成像法推导,薄透镜的光焦度,物在像方，虚物,第
15、一次成像,第二次成像,物方焦距,像方焦距,2薄透镜的焦点与焦平面,磨镜者公式,空气中的薄透镜,物方焦距,物方焦点,像方焦距,像方焦点,物方焦平面,像方焦平面,光心,光轴,两侧折射率相等，通过光心的光线方向不变,薄透镜的光学参数与光学特性,正透镜与负透镜,焦距为正值的透镜是正透镜；焦距为负值的透镜是负透镜。正透镜的像方焦点在像方；负透镜的像方焦点在物方。正透镜使入射的平行光汇聚在像方焦点；负透镜使入射的平行光发散。空气中，中间厚边缘薄的透镜是正透镜；中间薄边缘厚的透镜是负透镜。,从Fermat原理看，这是很自然的结果。,图示,Gauss物像公式,距离从光心算起,Newton物像公式,Newton
16、物像公式,距离从焦平面算起,4像的横向放大率,总放大率为两次成像的放大率的乘积,第二次成像，是虚物成像,5Lagrange-Helmhotz恒等式,Lagrange-Helmhotz恒等式依然成立,三对共轭的特殊光线,平行于光轴的入射光线经过像方焦点的光线,经过物方焦点的光线平行于光轴的像方光线,经过透镜光心的入射光线经过透镜光心的像方光线,薄透镜作图法,物方平行光线，汇聚于像方焦平面同一点,正透镜作图法,来自物方焦平面上同一点的光线，在像方为平行光线,利用经过透镜光心的光线,像方焦点,物方焦点,像方焦平面,物方焦平面,平行于光轴的入射光线经过像方焦点的光线,经过物方焦点的光线平行于光轴的像方
17、光线,经过透镜光心的入射光线经过透镜光心的像方光线,负透镜作图法,像方焦点,物方焦点,像方焦平面,物方焦平面,平行入射光汇聚于像方焦平面同一点,像方焦点,物方焦点,像方焦平面,物方焦平面,经过物方焦点的光线在像方平行于光轴,像方焦点,物方焦点,像方焦平面,物方焦平面,经过物方焦平面同一点的光线，在像方相互平行,将物经第一个透镜的所成的像作为第二个透镜的物，再次进行成像，逐个进行。,透镜组的逐次成像作图法,只要第一镜的像处于第二镜的物方，对于第二镜来说都是实物,经过L1成虚像，但对于L2来说，是实物,逐次成像法过程中物和像的虚实性,像本身的虚实性，与作为物的虚实性，没有关系,L1的实像，对于L2
18、来说，是虚物,只要第一镜的像处于第二镜的像方，对于第二镜来说都是虚物。,如果将上述第一透镜的像作为第二透镜的实物处理，则会得到错误的结果,另一种作法,虚像作为物,在第二镜的物方则为实物，在第二镜的像方则为虚物。,透镜组的逐次成像计算法,对第一个透镜用成像公式计算，确定像的位置将该像作为第二个透镜的物，再次进行成像，依次逐个进行。如果像是下一个透镜的实物，则直接应用公式进行计算；如果是虚物，则其物距是负值。,例10.6.1 L1和L2为薄透镜，L1的焦距为4cm，L2材料的折射率为1.5，球面半径为12cm，球面上镀有反射膜。L1和L2间距为10cm，物在前5.6cm处，求Q点最后成像的位置。,
19、L2的焦距为,(1)经L1，像距为,(2)再经L2成像,共有5次成像,10cm,凹面镜焦距为,(3)经球面反射镜,(4)反射光经L2成像,(5)再经L1成像,10.7 理想共轴球面系统的成像,共轴球面系统,可以用逐步成像法得出总的物像关系,使用作图法或计算法，逐次成像，最后得到像的特性。,10.7.1共轴球面系统的基点和基面,薄透镜中，只要知道了光心位置、物方和像方焦点或焦平面位置，则可以方便地解决任何光线的成像问题。同样，对于共轴的球面系统，可以将其等效为一个球面透镜，确定了基本的点和面后，也可以完全确定物像关系。共轴球面系统的基点和基平面包括焦点（焦平面）、主点（主平面）、以及节点等。,1
20、焦点与光轴平行的入射光线经光学系统后与光轴的交点为像方焦点F；物方光轴上一点发出的光线经光学系统后与光轴平行，该点为像方焦点F。2焦平面过焦点与光轴垂直的平面为焦平面。与无穷远处的像平面共轭的物平面为物方焦平面F；与无穷远处的物平面共轭的像平面为像方焦平面F。,3主点与主平面,横向（垂轴）放大率等于1的一对共轭平面为主平面。物方主平面H，像方主平面H。,主平面与主光轴的交点为主点。物方主点H，像方主点H。,用作图法确定主平面主点,在已知系统焦点的情况下,10.7.2共轴球面系统的物像关系,1 作图法2 计算法对已知参数的共轴球面系统，无论用作图法还是计算法，其原理和步骤都与单个薄透镜的成像情况
21、相同。,对于任意光线，也可以得到其共轭光线,计算法,Gauss物像公式,Newton物像公式,Newton公式距离从焦平面算起,Gauss公式距离从主平面算起,10.7.3 基点和基平面的确定,由已知系统的基点和基平面求整个系统的基点和基平面。1 作图法,系统一,系统二,2 计算法第一系统像方焦点到第二系统物方焦点间距为，第一系统像方主点到第二系统物方主点间距为d。,在两对对顶的直角三角形中，有以下比例关系,由光线的可逆性，以及物方、像方的可对易性，可以得到关于物方的焦平面和主平面的参数,即可以由两个已知的系统得到它们合成后系统的光学参数,：第一系统像方焦点到第二系统物方焦点间距d：第一系统像
22、方主点到第二系统物方主点间距,一厚透镜，如图所示，求其基点,一均匀玻璃球，确定其基点,一空心玻璃球，内外半径分别为r和R，置于空气中。玻璃的折射率n=1.5，求系统的基点,解法一、用共轴球面系统成象方法,对于每一个单球面，在近轴条件下，物方、像方的主点就是球面顶点。,起点为O1点,起点为O2点,两主平面重合，是过球心的平面,10.7.4 阿贝正弦条件与齐明点,傍轴小物大口径的成像条件，这时入射光与光轴间有较大的夹角，不满足傍轴条件不要求成像系统是理想光具组,从费马原理出发，根据物像间的等光程性，可导出阿贝正弦条件,傍轴小像，于是,P、P之间等光程,Q、Q之间等光程,平行光会聚于焦点,平行光截面
23、到像点等光程,光程相等,阿贝正弦条件,不同于Lagrange-Helmhotz恒等式,阿贝条件是在特殊位置上大孔径光束成像的条件，光线并不满足傍轴条件，而L-H恒等式是理想光具组的结论,Abbes sine condition,齐明点（aplanatic point）,满足阿贝正弦条件的一对共轭点，称作齐明点。,1001.3油浸物镜,齐明透镜成组使用，将大口径光束逐步变为近轴光束，常在测量仪器中用于扩大孔径。,油,玻璃半球,透明球的齐明点,油浸显微物镜,齐明透镜组,10.8 光线转换矩阵,一光线的状态 光线的特征可以用两个要素描述：光线的方向，和线上一点的位置。可用光线相对于主光轴的角度表示其
24、方向，用线上一点到主光轴的距离表示该点的位置。光线经过球面后，方向改变，上述角度和高度的数值会发生改变。,二.光线的矩阵表示,单球面的折射和反射 M点处光线的状态,入射光线,折射光线,满足近轴条件,在MAC中,注意,表示光线入射前后的状态，称为光线的状态矩阵,表示折射球面的作用，称为折射矩阵,对于反射球面,光线的状态矩阵,折射矩阵,折射矩阵行列式的值等于1,状态矩阵表示的是光线在某一点的状态，而不是整个光线的状态。所以，选取的点不同，状态矩阵就不同。折射矩阵表示的是在入射点前后，光线状态的改变。,过渡矩阵,光线经过连续两个球面的折射,返回,光线从第一折射面到第二折射面，状态改变,这一过程中，没
25、有发生折射，是自由传播，称为过渡。两折射面之间的空间称为过渡空间,过渡空间的长度,过渡空间的折射率,称为两折射面间的过渡矩阵,下一页,图示,上一页,经过过渡空间后,经过整个系统后,称为共轴球面系统的系统矩阵,系统的光焦度,对于n个共轴球面组成的系统,其系统矩阵一般可表示为,三成像矩阵的计算,下一页,在系统前后，各有一个过渡空间,Pm到Q处自由空间的过渡矩阵为,Q到P1处自由空间的过渡矩阵为,Q到Q的光线的矩阵变换为,物Q的状态矩阵,像Q的状态矩阵,系统矩阵为,上一页,下一页,物像之间光线的变换用矩阵表示为,称为物像矩阵，其行列式的值等于1,上一页,下一页,近轴条件下，y与1无关,用系统矩阵元素
26、表示的物像关系,上一页,下一页,系统的横向放大率为,横向放大率亦可表示为,系统的物像矩阵可记为,由于,所以,上一页,1、一个等曲率双凸透镜，放在水面上。球面半径为3cm，中心厚度2cm，玻璃和水的折射率分别为1.50和1.33。透镜下4cm处物点Q。计算两曲面的光焦度，并计算Q点像的位置。,解法一：逐次成像法,Q第一次成像,第二次成像，物距s2=0.02+0.054=0.074m,在前镜面下26cm处,解法二：用矩阵方法,10.9几何光学仪器,10.9.1 人眼,明视距离,人眼所见的，都是视网膜上所成的实像,无论是实物、实像、还是虚像，经过眼睛后，都在视网膜上成实像。,示意眼,空气,角膜,晶状
27、体,视网膜,玻璃液,水状液,简化眼等效于一个可变焦距的凸透镜。视网膜到光心的距离等于眼睛对无穷远处聚焦时的像方焦距。,10.9.2 放大镜,是一种目镜，作用是成一放大的虚像，便于眼睛观察。,可以通过比较y与y得到放大镜对物体的放大率，也可以比较它们对眼睛张角的变化得到角放大率,10.9.3 目镜,目镜用在光学仪器上，作用与放大镜相似，都是成一个眼睛可直接观察的虚像。通常都与物镜结合使用，观察物镜所成的实像。,惠更斯目镜,冉斯登目镜,接目镜,向场镜,10.9.4 显微镜,具有高放大倍数的光学仪器由物镜组和目镜组构成,Robert Hookes microscope,microscope,物镜,目
28、镜,显微镜光路与原理,显微镜的角放大率,显微镜的角放大率,An 1879 Carl Zeiss Jena Optical microscope,Stereo microscope,Scientist using a stereo microscope outfitted with a digital imaging pick-up,Soviet-made miniature 2.5 17.5 monocular.,The 100 inch(2.5 m)Hooker reflecting telescope at Mount Wilson Observatory near Los Angeles
29、,California.,The Hubble Space Telescope as seen from Space Shuttle Discovery during its second servicing mission,10.9.5 望远镜,用于观察远处物体，将物体对眼睛的张角扩大，相当于在近处成一缩小的实像，再通过目镜观察。,处物，对物镜的张角很小,Kepler望远镜,Galileo望远镜,Parameters listed on the prism cover plate describing a 7 power magnification binocular with a 50 m
30、m Objective diameter and a 372 foot Field of view at 1000 yards.,波罗组合棱镜，使实像倒转为正像,目镜,物镜,双筒望远镜,波罗组合棱镜,Abbe-Koenig roof prism design,Double Porro prism design,10.9.6 照相机,单镜头反光照相机Single-lens reflex camera，SLR,旁轴取景器式照相机 Rangefinder camera,箱式照相机,双镜头反光照相机,成像镜头,取景镜头,底片,单镜头反光照相机,底片,镜头,毛玻璃,反光板,五棱镜,单反相机的取景成像机制
31、,反光板,透反镜,眼睛,成像镜头,镜头与反光板机械联动，实现调焦,照相机的幅面与视角,135相机底片：2436,120相机底片：6060,220相机底片：12060,120胶卷,135胶卷,照相机的镜头,为了获得高质量的影像，镜头通常由多组球面透镜构成，可以消除色差、像差、球差、彗差等。,镜头的焦距,24x36,焦距越长，视角越小,镜头的焦距与像的大小,通过增大像距放大图像,在镜头与相机之间加接圈（近摄接圈）,标准镜头（standard-lens）f：4555mm,长焦镜头（tele-lens）f75mm,广角镜头（wide-lens）f40mm,物距与景深,景深,焦深,孔径小景深大,景深与焦距,镜头参数,光圈数（F数）,物距,景深指示,对应光圈数之间的距离为景深,光圈：调节曝光量，改变成像质量,F数=1,1.2,1.4,2,2.8,4,5.6,8,11,16,22,2,21,快门：控制曝光量,高速时，是一条光缝扫过底片,速度1/t：B，1，2，4，8，16，30，60，125，250（300），500，1000，2000,纵向高速钢片快门,高速摄影,1,2,3,4,10.9.7 投影仪器,照明系统,成像系统,光源,聚光镜,成像镜,屏幕,放映机,投影仪,棱镜光谱仪（单色仪）,色散仪器,2、用逐次成像、理想光具组或矩阵方法求出图中透反射镜的焦距,涂反射膜,
