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1、数学建模讲义,微分方程模型,微分方程模型,1、人口预报问题,3、作战模型,4、捕食问题,5、火箭发射问题,2、传染病问题,6、药物吸收、真假绘画作品鉴定、交通管理/堵塞问题,0、简例,趣题,下图是一个物体的顶部和前部视图,物体的侧视图？,例1（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。,从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsin，根据牛顿第二定律可得：,这是理想单摆应满足的运动方程,(a)是一个两阶非线性方程,不易求解.当很小时,sin,此时,可考察(a)的近似线性方程：,由此即可得出,(a)的近似方程,例2 市场价格模型 对于纯粹的市场经济来说,商品市
2、场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型。,假设在某一时刻 t,商品的价格为 p(t),它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格p(t)的变化率dp/dt 与需求和供给之差成正比,并记 f(p)为需求函数,
3、g(p)为供给函数,于是,其中 为参数.一般我们假设需求与价格呈负线形关系，而供给与价格呈正线性关系，故可设,则上式变为,其中 均为正常数,其通解为,令，得，这就是(静态)均衡价格，显然它满足 即供需到达平衡。初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且单调趋近均衡价格;初始价格低于均衡价格时,动态价格就要逐步升高,单调趋近均衡价格.进一步还可以分析出,若初始价格等于均衡价格,整个动态价格应保持不变.,为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。这里针对单种群增长模型，简略分析一下这方面的问题。一般复杂生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来
4、研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。,美丽的大自然,种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的，讨论其变化率，建立微分方程模型!,离散化为连续，方便研究,建模示例1 如何预报人口的增长Malthus模型与Logistic模型,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,模型一：指数增长模型(Malthus模型),常用的计算公式,马尔萨斯（1788-1834）提出的指数增长模型(1798),x(t)时刻t人口,r 人口(相对)增长率(常数),今年人口 x0,
5、年增长率 r,k年后人口,随着时间增加人口按指数规律无限增长!,模型检验,比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6（即3.06109），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。检查1700年至1961的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。,Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。,所以Malthus模型假设的人口净增长
6、率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,模型2 Logistic模型,人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(N),r(N)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求。,为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。,r(N)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯
7、模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）,模型2 Logistic模型,人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(N),（*）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。,模型2 Logistic模型,该式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示
8、当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，该式指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是该式也被称为统计筹算律的原因。,求解分离变量：,两边积分并整理得：,令N(0)=N0，求得：,N(t)的图形请看右图,模型的参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 r,K,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,专家估计,模 型 检 验(1),用模型预报1990年美国人口，与实际数据比较,实际为251.4(百万),模 型 应 用人 口 预 报,用美国17901990年人口数据重新估计参数,Logist
9、ic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),实际:282.4310.4,大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲线：几乎完全吻合。,CFGauss,Malthus模型和Logistic模型的总结,Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程(*)所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r
10、被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。,用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。,Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。,模型3：人口发展方程,其中t时间段、r年龄；,t 时刻的人口年龄 r 密度函数,t时刻、r年龄的人口相对死亡率(可统计量),t时刻的单位时间出生的婴儿数(可控量),偏微分
11、方程模型,基本关系式,江苏省人口统计,作业：设法查找一部分人口数据(国家(内外)、地方皆可)，或有限区域内的某一种群数据，进行建模预报，并与实际数据比较，希望进一步改进模型。,作业格式一篇较完整的论文!(格式见下),难题解答,物体的侧视图,建模的论文参考结构:,1、摘要问题、模型、方法、结果,2、问题重述,4、分析与建立模型,5、模型求解,6、模型检验,7、模型推广,8、参考文献,9、附录,3、模型假设,建模示例二：传染病模型,模型1 最简单模型(早期模型)假设1：每个病人在单位时间内传染的人数是常数r；假设2：不考虑死亡问题；,问题分析:记x(t)表示t时刻病人数,且初始病人数x(0)=x0
12、;,则t,t+t时间段内增加的病人数为：,得到微分方程：,模型评价:与传染初期比较吻合，以后的误差大。,模型2 中期模型假设1：每个病人在单位时间内传染的人数与未被传染的人数成正比r;假设2：不考虑死亡问题；假设3：总人数有限,问题分析:记x(t)表示t时刻病人数,且初始病人数x(0)=x0;y(t)为t时 刻未被传染的人数;总人数为n,即x(t)y(t)=n.,则t,t+t时间段内增加的病人数为：,得微分方程：,模型分析评价:,1.不加控制，则最终人人得病；,2.计算传染高峰期t1：,说明:人口n越多、传染强度r越大，高峰来得越早!,缺点:没有考虑治愈问题和免疫问题。,模型3 精确模型假设1
13、：研究对象分成三类：传染源x(t)、敏感群y(t)和免疫群z(t);假设2：单位时间内每个传染源传染的人数与敏感群的人数成正比;假设3：单位时间内传染源康复为免疫群的人数正比与传染源人数；假设4：不考虑死亡且总人数有限。,问题分析:记a传染率,b康复率;初始条件为:,得微分方程：,解此微分方程组：,是非线性方程组，不易求解，变形以y为自变量:,结论：当yb/a时，传染源减少直至平息;当yb/a时，传染源先增加再减少直至平息;控制y非常关键研制疫苗、增强体质;增大b/a也非常关键隔离、治愈;,数值分析法!,建模示例三：作战模型,Lanchester战斗模型设x部队和y部队相互交战，x(t)和y(
14、t)分别是两部队在t时刻的战斗力，其连续可导。,战斗力的变化率后勤补给率自然损失率对方的杀伤率,常规战,游击对常规战,游击战,损失率,后勤补给,双方战斗力,开始时双方战斗力,战斗时刻,为讨论方便，简化模型为：,常规战,1.常规战平方律,结论：常规战胜负取决于开战前力量(人数)对比，且此比值平方放大。集中优势兵力(三大战役),射击率,命中率,简化模型为：,游击战,2.游击战线性律,结论：战前力量对比与队员活动面积对比同样重要.,射击率,一次射击的有效面积,游击队员的活动面积,简化模型为：,游击战,3.游击队常规部队(抛物律),结论：该模型适合以弱胜强.,射击率,一次射击的有效面积,游击队员的活动
15、面积,举例：游击甲方x兵力100，命中率0.1,活动范围0.1平方公里，射击率是正规乙方的一半，乙方每次有效射击面积1平方米，则乙方取胜需要兵力y0：,需10倍的兵力！,模型检验：1)1954年J.H.Engel用常规战模型分析了美日硫磺岛战役，结果与美方战地记录吻合！2)游击常规战应用越南战争美国撤军：,1968年美方兵力只有6倍，且只能增援到6.7倍，故没有增援，而于1973年撤军。,军备竞赛博弈微分方程模型：考虑两个参加军备竞赛的国家。我们试图定性的评价军备竞赛对防御费用方面的影响。特别我们更有兴趣知道，军备竞赛是否会导致不可控制的经费支出，并且最终由具有经济实力的国家支配，还是最终会达
16、到一个平衡的支出水平？定义变量x是国家A每年的防御支出，变量y是国家B每年的防御支出。我们首先用国家A的观点来分析一下形势，在不考虑国家B（敌对国）的军费支出时，我们有理由相信国家A的军费支出是一个递减的过程,常数a为该国在防御支出上的限制系数，如政府要把钱花在卫生和教育事业上。,那么当国家B进行军费支出时呢？国家A将会出于安全考虑被迫增加经费。假设增加量与国家B的支出量成一定的比例,这时上面的微分方程就变成了。,最后添加一个常数项，以反映国家A对国家B感到的所有潜在的不安因素，这也就是说即使两个国家的防御支出为零，国家A仍觉得有必要武装自己对付国家B，是一种对未来情况的担心。这个往往根据两国
17、的外交关系所定（美苏，美国与加拿大）。,而对于国家B来说则有：,现在来看看上述模型是否会平衡是否会有(x,y)满足:,首先假设A，B两国外交上属于亲密的朋友关系，这时常数c,p都为0，这时模型变为：,那么显然这时的平衡点在,处，在这种情况下，两国都没有防御支出，国民经济的总产值全部用来投资医疗卫生以及教育事业等非军事方面，两国可以用非军事方法来解决一切争端（历史上只有美国与加拿大在1817年至今使这种关系），但当两国冲突矛盾很大时模型就变为：,这时模型的平衡点就变为：,的解，,其解为：,当an-bm为正切较大时，这个交点在第一象限，有自身的物理意义。但是当an-bm较小或趋于零时呢？将会出现经
18、费失控（如美苏）！为负的意义作为思考题。可以看出我们都一直使用一种简单的线性表示，那么复杂后的情况呢？可以肯定复杂后模型的适应性更强，推广和实践意义更大。不过复杂也有自身的弱点如：导致模型求救困难甚至不可解(非线性优化)。,特别，当cp非0时(双方不信任)，即便裁军使得x=0和/或y=0，军备竞赛实质还是会一直进行下去。就是说双方谅解较裁军、停战等更重要!武力解决冲突不可取！,建模示例4：地中海鲨鱼问题,意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究,他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中,发现鲨鱼等的比例有明显增加(见下表),而供其捕食的食用鱼的
19、百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降,食用鱼增加,鲨鱼等也随之增加,但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？,他无法解释这个现象,于是求助于著名的意大利数学家V.Volterra,希望建立一个食饵捕食系统的数学模型,定量地回答这个问题.,捕获鱼中鲨鱼等食肉鱼的比例,该 模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系,没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用,是最简单的模型.,1基本假设：(1)食饵由于捕食者的存在使增长率降低,假设降低的程度与捕食者数量成正比;(2)捕食者由于食饵为它提供食物的作用使其死亡率降低或使之增长，假定增长的程度与食饵数量成正比。,2符号说明：,x食饵在t时刻的数量；,
20、a食饵独立生存时的增长率；,e捕食者掠取食饵的能力；,f食饵对捕食者的供养能力.,y捕食者在t时刻的数量；,b捕食者独立生存时的死亡率；,K捕获能力系数.,3.模型(一)不考虑人工捕获,4.模型(一)求解,利用微分方程的相关理论，知原方程组的解是周期解，设周期为T，则为了解释问题中的数据，需计算x、y的平均值：,5.模型(二)考虑人工捕捞,类似可计算x、y的平均值：,K捕获能力系数.,结论：增加捕捞后捕食者平均值降低，而饵食(食用鱼)平均值增加；进一步捕捞能力系数下降也导致捕食者(鲨鱼等)数量上升。“涸泽而鱼”除外,推广：解释杀虫剂的反效果杀虫剂在杀死害虫的同时也杀死其天敌益虫，这将导致害虫量
21、的增加。,用Matlab软件求常微分方程的数值解,t,x=solver(fun,ts,x0,options）,help ode45/23.,首先，建立m-文件shier.m如下：function dx=shier(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);,其次，建立主程序shark.m如下：t,x=ode45(shier,0 15,25 2);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*)plot(x(:,1),x(:,2),6.模型检验,求解结果：,由上两图知：x(t)与y(t)都是周期函
22、数,模型（二）考虑人工捕获,设表示捕获能力的系数为K，相当于食饵的自然增长率由a降为a-K，捕食者的自然死亡率由b增为 b+K,设战前捕获能力系数K=0.3,战争中降为K=0.1,则战前与战争中的模型分别为:,模型求解:,1、分别用m-文件shier1.m和shier2.m定义上述两个方程,2、建立主程序shark1.m,求解两个方程，并画出两种情况下鲨鱼数在鱼类总数中所占比例 y(t)/x(t)+y(t),实线为战前的鲨鱼比例，“*”线为战争中的鲨鱼比例,结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！,Volterra的模型揭示了双种群之间内在的互相制约关系，成功解释了DAncona发现的现象。然而，对捕
23、食系统中存在周期性现象的结论，大多数生物学家并不完全赞同，因为更多的捕食系统并没有这种特征。,一个捕食系统的数学模型未必适用于另一捕食系统，捕食系统除具有共性外，往往还具有本系统特有的个性，反映在数学模型上也应当有所区别。考察较为一般的双种群系统.,推广：较一般的双种群生态系统讨论,一般的双种群系统,仍用x1(t)和x2(t)记t时刻的种群量(也可以是种群密度),设,Ki为种群i的净相对增长率,Ki随种群不同而不同，同时也随系统状态的不同而不同，即Ki应为x1、x2的函数。,Ki究竟是一个怎样的函数,我们没有更多的信息.不妨再次采用一下工程师们的原则,采用线性化方法(取常数是Malthus模型
24、,不实用).这样,得到下面的微分方程组:,它不仅可以用来描述捕食系统。也可以用来描述相互间存在其他关系的种群系统。,式中a1、b2为本种群的亲疏系数,a2、b1为两种群间的交叉亲疏系数.a2b10时,两种群间存在着相互影响,此时又可分为以下几类情况:,i)a20,b10,共栖系统;,ii)a20(或a20,b10),捕食系统;,iii)a20,b10,竞争系统.,i)-iii)构成了生态学中三个最基本的类型,种群间较为复杂的关系可以由这三种基本关系复合而成.,模型是否具有周期解,不同的系统具有不同的系数，在未得到这些系数之前先来作一个一般化的讨论。,讨论系统的平衡点:,如果系统具有非平凡平衡点
25、 应满足,均为平凡平衡点。,即：,若系数满足:i)a1b2a2b10,ii)a1b0(ab2)ab2(a1b）则系统不存在周期解！(无圈定理),构造数学模型,以说明为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星?为什么一般都采用三级火箭系统?,1、怎么用火箭发射人造卫星?,(1)卫星能在轨道上运动的最低速度,假设,(i)卫星轨道为过地球中心的平面圆,卫星在此轨道上作匀速圆周运动.,(ii)地球是固定于空间中的均匀球体,其它星球对卫星的引力忽略不计.,分析:,根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为:,在地面有:,得:k=gR2,R为地球半径，约为6400公里,故引力:,建模示例四：火箭发射问题
26、,卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力,故又有:,从而:,设g=9.81米/秒2，得:(这是不计空气阻力的影响),（2）火箭推进力及速度的分析,假设：火箭重力及空气阻力均不计,m0和v0一定的情况下,火箭速度v(t)由喷发速度u及质量比决定.,最终质量为mP+mS,初始速度为0,所以末速度：,根据目前的技术条件和燃料性能，u只能达到3公里/秒，而ms0.1*m0,即使发射空壳火箭(mp=0)，其末速度也不超过7公里/秒。远远小于需要的速度(10.57公里/秒),按这种设计目前根本不可能用火箭发射人造卫星！,仅仅靠减少燃料重量来提高速度不能满足需要！应进一步考虑同时减少ms！即如果将结
27、构质量在燃料燃烧过程中不断减少，末速度就有可能能达到要求！,2、理想火箭模型,得到：,解得：,理想火箭与一级火箭最大的区别在于,当火箭燃料耗尽时,结构质量也逐渐抛尽,它的最终质量为mP!,所以最终速度为:,哈哈，我还是有可能上天的！,只要m0足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具有的任意速度。,考虑到空气阻力和重力等因素,估计(按比例的粗略估计)发射卫星要使v=10.5公里/秒才行,则可推算出m0/mp约为50,即发射1吨重的卫星大约需要50吨重的理想火箭!,1903年齐奥尔科夫斯基,3、理想过程的实际逼近多级火箭卫星系统,记火箭级数为n,当第i级火箭的燃料烧尽时,第i+1级火箭立即自动点火,
28、并抛弃已经无用的第i级火箭.用mi表示第i级火箭的质量,mP表示有效负载.,为简单起见，先作如下假设：,(i)设各级火箭具有相同的,即i级火箭中mi为结构质量,(1-)mi为燃料质量。,(ii)设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变,并记比值为k.,考虑二级火箭：,又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，并仍设u=3公里/秒，且为了计算方便，近似取=0.1，则可得：,要使2=10.5公里/秒，则应使:,即k11.2，而:,类似地，可以推算出三级火箭：,在同样假设下:,要使3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而（m1+m2+m3+
29、mP）/mP77。,是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是对四级、五级等火箭进行讨论。,考虑N级火箭：,记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0，在相同的假设下可以计算出相应的m0/mP的值，见表3-2,由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。,当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。,4、火箭结构的优化设计关于假设(ii)的合理性分析,假设(ii)有点强加的味道,现去掉该假设，在各级火箭具有相同(假设i)的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计.,前面的分析可求得末速度：
30、,记,则,又,问题化为，在n一定的条件下，求使k1 k2kn最小,解条件极值问题：,或等价地求解无约束极值问题：,利用对称性可以解出最优结构设计应满足：,火箭结构优化设计讨论中,得到与假设（ii）相符的结果,这说明前面的讨论都是合理的、有效的！,补充差分方程,1.定义对一数列an，把数列中的和前面ai(0in)关联起来的方程叫做差分方程,差分方程也叫递推关系.,差分初值问题,例:在一个平面上有n个圆两两相交，但任三个圆无公共点.设此n个圆将平面分成an个区域，试建立关于an的差分方程.,1,2,3,4,5,6,2.解法常系数线性差分方程的解法,差分方程的特征方程,基于此特征方程，可得到与常系数线性微分方程类似的结论！,k阶常系数线性齐次差分方程形如：,单根、重根、复根、非齐次都类似！,单根、重根、复根、非齐次都类似！,练习：,
