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1、数 学 建 模Mathematical Modeling,2,参考书目,数学建模，F.R.Giordano、M.D.Weir、W.P.Fox著，叶其孝、姜启源等译，机械工业出版社，2005。问题解决的数学模型方法，刘来福、曾文艺编著，北京师范大学出版社，1999。数学建模精品案例，朱道元编著，东南大学出版社，1999。数学模型，谭永基、俞文 编著，复旦大学出版社，1995。中国大学生数学建模竞赛（一、二、三），李大潜主编，高等教育出版社。全国大学生数学建模竞赛网，http:/,3,什么是数学建模？,使用数学方法解决实际问题的过程,实际现象,实际问题,数学模型,数学问题,数学解答,解决方案,基于
2、合理的假设通过数学语言来“描述实际现象”“近似实际问题”,建模,求解,建模的目的是“解决实际问题”实践是检验模型好坏的唯一标准,应用,检验,注：并非所有实际问题都可通过数学建模求解。,4,数学建模的一般过程,针对实际问题，明确建模目的。抓住主要因素，简化实际问题。使用数学方法，导出数学模型。定义变量参数，量化主要因素。找出主要因素之间的相互联系。假设合理、推理严密、数据精确、有说服力。使用数学工具，求解数学问题。检验修改模型，实施数学结果。检验模型的解释是否符合客观规律。检验计算结果是否与实际数据吻合。检验模型的精度、稳定性和灵敏度。,5,数学建模的常用方法,以客观规律的普遍性为基础，考虑局部
3、规律的特殊性，从简单到复杂，逐步建立模型。根据量纲、比例关系、相似性、平衡原理、变化机理等确立变量之间的相互制约的关系。收集整理数据，从中归纳出合理的假设。用微分方程描述连续变量的变化和相互影响。用随机变量描述模型中因素的不确定性。用图论语言描述模型的研究对象及其之间的关系，如工作顺序、状态转移等。将复杂的系统分解成若干子系统，分而治之。,6,数学模型的分类,按实际问题分类人口模型、生态模型、经济模型、交通流模型、投入产出问题、邮路问题、选址问题、排队服务问题.按数学方法分类数值计算问题、微分方程问题、优化问题、规划问题、图论问题、概率统计问题、系统决策问题.按建模目的分类机理模型、仿真模型、
4、预测模型、优化模型、决策模型按问题的确定性分类白箱问题、灰箱问题、黑箱问题,7,问题1.1：商品的价格与供求数量的关系。问题：产量的增加能否带来收入的增加？,一、初等模型,8,问题1.2：求猪的长L、宽w、高h、重m之间的关系。模型1：假设猪的形状是几何相似的，密度为常值，则mL3。若将猪看成椭圆柱，忽略四蹄，则mwhL。模型2：将猪看作支撑在四蹄上的弹性梁，在重力作用下，下垂高度d，弹性模量为常值，则mwdh3/L3。问题：以上结论是否合理？两个模型是否一致？两个模型的优缺点是什么？哪个模型比较准确？,一、初等模型,9,一、初等模型,问题1.3：求人的身高h、体重m、力量f、灵活性a之间的关
5、系。模型1：假设人体具有几何相似性，密度为常值，则mh3。将肌肉看成弹性杆，横截面积s、相对伸长量为常值，弹性模量为常值，则fsh2，a=f/m1/h。问题：以上假设是否合理？如何修改模型？模型2：测量一定人群的身高、体重、力量、灵活性，然后进行数据拟合。问题：如何定量测量灵活性？如何拟合？,10,一、初等模型,问题1.4：如何提高铅球运动员的成绩。模型1：投掷距离s与出手高度h、出手速度v、仰角a有关。若不考虑空气阻力，则s随h、v的增大而增大。给定h、v，最佳投掷角度。模型2：设臂长L、出手时的肩高H为常数，。模型3：设铅球重m，可获得的总能量 为常值。问题：投掷距离还与哪些因素有关？空气
6、阻力对成绩的影响有多大？以上假设是否合理？以上模型是否适用于标枪、链球等其它投掷项目？,11,一、初等模型,问题1.5（CMCM92A）：为了研究氮、磷、钾三种肥料对于土豆和生菜的作用，分别作了三组实验，结果如下。在考察一种肥料的施用量与产量关系时，另两种肥料的施用量固定在第7个水平上。问：如何施肥效果最好？(施肥量：公斤/公顷，产量：吨/公顷),12,建模思路：确定产量与施肥量的关系。多项式拟合、指数函数拟合、实验数据的原始误差、多种肥料的复合效果优化农产品的投入产出。考虑化肥对土壤破坏、生态农业、绿色食品模型的检验与改进。改进实验方式、正交设计,一、初等模型,13,以下问题任选一题：1.利
7、用下表数据，检验并修改问题1.3的模型。,作业一,14,2.利用下表数据，检验问题1.4的模型。3.利用互联网上的真实数据，对从事某种体育项目的专业运动员的身高、体重、力量、灵活性建模。,作业一,15,二、微分方程模型,问题2.1：根据以下数据对酵母培养物的生物量建模。模型1：画出pt图像、pt图像、pp图像。猜测dp/dt=ap-bp2，拟合(pn+1-pn-1)/2=apn-bpn2，得a、b。,16,二、微分方程模型,由微分方程解出的p(t)函数图像与原始数据非常吻合。问题：对模型 dp/dt=ap-bp2 给以生物学上的解释。若假设 dp/dt=c0+c1p+c2p2+c3p3，结果是
8、否会更好?,17,二、微分方程模型,问题2.2：人口的预测和控制。模型1(Malthus)：假设出生率死亡率为常数，dx/dt=ax。模型2(logistic)：dx/dt=ax-bx2。模型3(Leslie)：考虑各年龄段的人口数。,18,二、微分方程模型,问题2.3：传染病的传播。模型1：假设总人数n，感染人数x，未采取防病措施，经常与他人接触。dx/dt=kx(n-x)，k:接触率。结论：一段时间之后，所有人都会被感染。,19,二、微分方程模型,模型2：假设总人数n，无症状感染人数x（经常与他人接触），有症状感染人数y（被隔离治疗，治愈后仍可能被感染），已免疫或死亡人数z。dx/dt=k
9、1x(n-x-y-z)-k2x，dy/dt=k2x-k3y，dz/dt=k4y，k1:感染率，k2:发病率，k3:治愈率，k4:免疫率+死亡率。结论：当k40 时，所有人都会免疫或死亡。当k2k1n时，疫情被迅速扑灭。当k2k1n时，带菌人数和发病人数趋于定值。,20,二、微分方程模型,问题2.4：渔场捕鱼问题。模型1：假设自然条件下可捕鱼的数量满足dx/dt=ax-bx2，单位时间捕捞强度k。假设每条鱼大小相同，价格固定。建模目的是选择k使捕捞量最大。模型2：假设自然条件下可捕鱼的数量满足dx/dt=ax-bx2，单位时间捕捞强度k。假设捕捞成本c与k成正比，每条鱼大小相同，价格与总捕捞量成
10、反比。建模目的是选择k使捕捞收益最大。,21,问题2.5：两种生物种群间的生存竞争和弱肉强食。模型：结论：当方程组 有正数解时，x(t),y(t)趋于平衡；否则必有一个种群灭绝。,二、微分方程模型,22,以下问题任选一题：1.对于实数a,b,c的各种取值，求常微分方程dx/dt=ax2+bx+c的准确解并绘图。2.（CMCM1996A）最优捕鱼策略。3.（CMCM2003A）SARS的传播。,作业二,23,三、连续优化模型,问题3.1：汽车在A点，需要到B点，问如何行驶路程最短？模型1：假设A、B距离很远。在地图上找出连接A、B的距离最短的路。模型2：假设A、B距离很近，需要考虑车的转弯半径
11、R、以及车身与AB的夹角。于是原问题可化为数学问题“求连接A、B的最短曲线，使得初始方向并且各点的曲率半径不小于 R”。,24,三、连续优化模型,模型2的求解：过 A 作半径 R 的圆，使得 A 点切线与 AB的夹角，并且 B 在圆外。过 B 做直线与圆相切于点C，则圆弧AC长度直线BC长度最短行驶路程。问题：如果车身在A、B两点处的方向都给定，如何行驶路程最短？,25,三、连续优化模型,问题3.2：假设在帆板比赛中，运动员需要利用自然风力从A点驶向B点。问如何行驶时间最短？模型1：帆板由带有稳向板的板体、带有万向节的桅杆、帆和帆杆组成。帆板的运动速度 v 主要受风力、水流阻力、空气阻力的影响
12、。阻力 f 随 v 的增大而增大。一段时间之后，船速 v 会趋于定值，即 f(v)=w 的解。假设 f(v)=c v，则稳定速度 v 与 动力 w 成正比。,26,三、连续优化模型,模型2：假设风力、风向不变，帆板的前进方向与风向所成的角，帆面的法向与风向的夹角。帆板前进的动力。当 时，最大船速。原问题可化为数学问题“求以 A,B 为端点的曲线使得 最小”。由变分法可得为分段常值函数。当 B 位于阴影区域时采取折线行驶，否则直线行驶。,27,变分法,问题：求 y(x)使得 y(x1)=y1，y(x2)=y2，并且 达到极值，其中 f(x,y,y)可微。解：F(y)达到极值的必要条件是Euler
13、方程。,28,三、连续优化模型,问题3.3：（最速下降线问题）求连接定点A、B的曲线使得质点在重力作用下沿运动所需时间最短。模型：原问题可化为数学问题“求 y(x)使得 y(0)=0，y(x1)=y1，并且最小”。由变分法可得微分方程设，解得,29,三、连续优化模型,问题3.4：（悬链线问题）求连接定点A、B的长度为L的质地均匀的柔软曲线在重力作用下的形状。模型：原问题可化为数学问题“求 y(x)使得 y(0)=0，y(x1)=y1，由变分法和Lagrange乘子法可得微分方程解得 即,30,三、连续优化模型,问题3.5：径赛中如何分配体力成绩最好？模型：奔跑速度 v 主要受运动员的体能 E、
14、爆发力 F、空气阻力 f 的影响。体能在消耗之后会获得补充。EE0，FF0，f 随 v 的增大而增大，假设 f=v。成绩,31,三、连续优化模型,原问题可化为数学问题“求函数 F(x)使得最小，并且满足 其中 v 是微分方程 的解”。问题的近似解：当 F 为定值时，v 很快收敛到 F/。假设 v=F/，则有。根据 Cauchy 积分不等式，当 F 为常数时，积分最小。结论：均匀分配体能，首先全力加速至阈值，然后以匀速前进，最后耗完所有体能，尽力冲刺。,32,以下问题任选一题：1.对于问题3.1，假设行驶速度不超过 v，问如何行驶耗时最少？（注意：转弯半径与速度有关）2.为100米50米的矩形停
15、车场设计停车位使其能够容纳尽可能多的车辆。3.（CMCM2000C）飞越北极。4.（CMCM2003D）抢渡长江。5.在问题3.5中，假设 m=88,=100,=320。分别求出当 L=100、200、400 时模型的最优数值解。,作业三,33,34,四、离散优化模型,问题4.1：假设某农户有100亩地和$1000现金。每年夏天劳动4000小时，冬天劳动3500小时。打算种植小麦、玉米、大豆，养殖母鸡、奶牛。问如何安排收益最大？,35,四、离散优化模型,模型：假设母鸡、奶牛的初始数量都是 0，则有问题：当母鸡、奶牛的初始数量0时，如何确定下一年的种植养殖数量？,36,线性规划,线性规划问题的标
16、准形式线性规划问题的对偶问题,37,线性规划,定理(Kuhn-Tucker条件)：最优解存在的充分必要条件是推论：设 f 为以上极值，x,y 为极值点。则有,38,四、离散优化模型,问题4.2：假设某公司制造100套产品，每套产品包含长为2.9、2.1、1.5米的钢材各一根。公司打算从市场上购买长为7.3米的钢材，然后截成2.9、2.1、1.5米的小段。问公司需要购买多少根7.3米的钢材？模型：钢材的截法共8种。设每种截法的钢材根数 x1x8。,39,四、离散优化模型,问题4.3（AMCM88B）：把7类箱子装到两辆长10.2米限载40吨的车上。5,6,7类箱子的总厚度不超过3.027米。问如
17、何装载缝隙最小？模型：设两辆车上各类箱子的装载数 x1x7,y1y7。,40,四、离散优化模型,问题4.4：假设有3名工人需要完成10项独立任务，每件任务1人承担，时间消耗如下。问如何分配使尽快完成？模型：记以上矩阵A=(aij)。xij=1工人 i 承担任务 j。问题：如何求解此非线性规划问题？,41,四、离散优化模型,问题4.5：假设有三种投资方案，投资额必须是整万元，收益如下。现有现金20万元，问如何投资收益最大？模型：求 x1+x2+x3=20 使 f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)最大。解法：算法复杂度：,42,四、离散优化模型,问题4.6：某车间需要生产10个不同零件。每个零件需要首先在A机床上加工，然后在B机床上加工。假设A,B机床各只有一台，问如何安排加工顺序使尽快完工？模型：,43,以下问题任选一题：1.在问题4.1中，如果雇人帮工的费用是$5每小时，土地租赁的价格是$50每亩，问如何安排收益最大？2.（CMCM1998A）投资的收益和风险。3.（CMCM2000B）钢管订购和运输。,作业四,44,五、图网络模型,问题5.1：,
