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1、圆的专题训练初中数学组卷一选择题（共15小题）1如图，O的半径为4，ABC是O的内接三角形，连接OB、OC若BAC与BOC互补，则弦BC的长为（）A3B4C5D62如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，CDB=30，O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（）AcmB3cmC3cmD6cm3如图，AB是O的直径，CDAB，ABD=60，CD=2，则阴影部分的面积为（）ABC2D44如图，已知AB是O的直径，D=40，则CAB的度数为（）A20B40C50D705如图，半径为3的A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧A优弧上一点，则tanOBC为（）AB2CD6如图，AB是圆O的直径，弦
2、CDAB，BCD=30，CD=4，则S阴影=（）A2BCD7如图，O中，弦AB与CD交于点M，A=45，AMD=75，则B的度数是（）A15B25C30D758如图，点A，B，C在O上，A=36，C=28，则B=（）A100B72C64D369如图，在平面直角坐标系中，P与x轴相切，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则圆心P的坐标是（）A（5，3）B（5，4）C（3，5）D（4，5）10如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）AB1C1D111如图，ABC内接于半径为5的O，圆心O到弦BC的距离等于3，则A的正切值等于（）ABCD12如图所
3、示，在ABC中，A=90，AB=AC=2cm，A与BC相切于点D，阴影部分的面积为（）ABCD13如图，某工件形状如图所示，等腰RtABC中斜边AB=4，点O是AB的中点，以O为圆心的圆分别与两腰相切于点D、E，则图中阴影部分的面积是（）ABCD214若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（）A3：2B3：1C5：3D2：115如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且为半圆的设扇形AOC、COB、弓形BmC的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（）AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1DS3S2S1二解答题（共10小题）16已知AB是半径为1的圆O直径，
4、C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且AEF为等边三角形（1）求证：DFB是等腰三角形；（2）若DA=AF，求证：CFAB17已知ABC，以AB为直径的O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长18如图，正方形ABCD内接于O，M为中点，连接BM，CM（1）求证：BM=CM；（2）当O的半径为2时，求的长19如图，O是ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BEDC交DC的延长线于点E（1）求证：1=BAD；（2）求证：BE是O的切线20如图，O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），ADCD（
5、1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是DAB的平分线，求证：直线CD是O的切线21如图，直角ABC内接于O，点D是直角ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作ECP=AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交O于点F（1）求证：PC是O的切线；（2）若PC=3，PF=1，求AB的长22如图，在ABC，AB=AC，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且CBF=CAB（1）求证：直线BF是O的切线；（2）若AB=5，sinCBF=，求BC和BF的长23如图，AB是O的直径，点F、C在O上且，连接AC、AF，过点C作CDAF交AF的
6、延长线于点D（1）求证：CD是O的切线；（2）若，CD=4，求O的半径24如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD（1）请证明：E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长25如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，且CD=24，点M在O上，MD经过圆心O，联结MB（1）若BE=8，求O的半径；（2）若DMB=D，求线段OE的长圆的专题训练初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共15小题）1（2016陕西）如图，O的半径为4，ABC是O的内接三角形，连接OB、OC若BAC与BOC互补，则弦BC的长为（）A3B4C5D6【分析】首先过点O作ODBC于D
7、，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案【解答】解：过点O作ODBC于D，则BC=2BD，ABC内接于O，BAC与BOC互补，BOC=2A，BOC+A=180，BOC=120，OB=OC，OBC=OCB=（180BOC）=30，O的半径为4，BD=OBcosOBC=4=2，BC=4故选：B【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用2（2016黔南州）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，CDB=30，O的半径为5cm，则圆
8、心O到弦CD的距离为（）AcmB3cmC3cmD6cm【分析】根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知COB=2CDB=60，已知半径OC的长，即可在RtOCE中求OE的长度【解答】解：连接CBAB是O的直径，弦CDAB于点E，圆心O到弦CD的距离为OE；COB=2CDB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），CDB=30，COB=60；在RtOCE中，OC=5cm，OE=OCcosCOB，OE=cm故选A【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解3（2016通辽）如图，AB是O的直径，
9、CDAB，ABD=60，CD=2，则阴影部分的面积为（）ABC2D4【分析】连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可【解答】解：连接ODCDAB，CE=DE=CD=，故SOCE=SODE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，又ABD=60，CDB=30，COB=60，OC=2，S扇形OBD=，即阴影部分的面积为故选A【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键4（2016娄底）如图，已知AB是O的直径，D=40，则CAB的度数为（）A20B40C50D70
10、【分析】先根据圆周角定理求出B及ACB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论【解答】解：D=40，B=D=40AB是O的直径，ACB=90，CAB=9040=50故选C【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键5（2016达州）如图，半径为3的A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧A优弧上一点，则tanOBC为（）AB2CD【分析】作直径CD，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出tanCDO，根据圆周角定理得到OBC=CDO，等量代换即可【解答】解：作直径CD，在RtOCD中，CD=6，OC=2，则O
11、D=4，tanCDO=，由圆周角定理得，OBC=CDO，则tanOBC=，故选：C【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键6（2016广安）如图，AB是圆O的直径，弦CDAB，BCD=30，CD=4，则S阴影=（）A2BCD【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知DOE=60，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODBSDOE+SBEC【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，AB是O的直径，弦CDA
12、B，CE=ED=2，又BCD=30，DOE=2BCD=60，ODE=30，OE=DEcot60=2=2，OD=2OE=4，S阴影=S扇形ODBSDOE+SBEC=OEDE+BECE=2+2=故选B【点评】考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键7（2016自贡）如图，O中，弦AB与CD交于点M，A=45，AMD=75，则B的度数是（）A15B25C30D75【分析】由三角形外角定理求得C的度数，再由圆周角定理可求B的度数【解答】解：A=45，AMD=75，C=AMDA=7545=30，B=C=30，故选C【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定
13、理，熟记圆周角定理是解题的关键8（2016毕节市）如图，点A，B，C在O上，A=36，C=28，则B=（）A100B72C64D36【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到OAC=C=28，根据等腰三角形的性质解答即可【解答】解：连接OA，OA=OC，OAC=C=28，OAB=64，OA=OB，B=OAB=64，故选：C【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键9（2016河池）如图，在平面直角坐标系中，P与x轴相切，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则圆心P的坐标是（）A（5，3）B（5，4）C（3，5）D（4，5）【分析】过P作PCAB于点C，过
14、P作PDx轴于点D，由切线的性质可求得PD的长，则可得PB的长，由垂径定理可求得CB的长，在RtPBC中，由勾股定理可求得PC的长，从而可求得P点坐标【解答】解：如图，过P作PCAB于点C，过P作PDx轴于点D，连接PB，P为圆心，AC=BC，A（0，2），B（0，8），AB=82=6，AC=BC=3，OC=83=5，P与x轴相切，PD=PB=OC=5，在RtPBC中，由勾股定理可得PC=4，P点坐标为（4，5），故选D【点评】本题主要考查切线的性质和垂径定理，利用切线的性质求得圆的半径是解题的关键10（2015黄冈中学自主招生）如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴
15、影两部分的面积之差是（）AB1C1D1【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即1=【解答】解：如图：正方形的面积=S1+S2+S3+S4；两个扇形的面积=2S3+S1+S2；，得：S3S4=S扇形S正方形=1=故选：A【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键11（2014镇江）如图，ABC内接于半径为5的O，圆心O到弦BC的距离等于3，则A的正切值等于（）ABCD【分析】过点O作ODBC，垂足为D，根据圆周角
16、定理可得出BOD=A，再根据勾股定理可求得BD=4，从而得出A的正切值【解答】解：过点O作ODBC，垂足为D，OB=5，OD=3，BD=4，A=BOC，A=BOD，tanA=tanBOD=，故选：D【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形，要熟练掌握这几个知识点12（2013江门模拟）如图所示，在ABC中，A=90，AB=AC=2cm，A与BC相切于点D，阴影部分的面积为（）ABCD【分析】阴影部分的面积是三角形ABC的面积减去圆的面积，根据勾股定理可求得BC的长，连接AD，由等腰直角三角形的性质可得出AD等于BC的一半【解答】解：连接AD，A=90，AB=AC=2cm，由勾股定
17、理得BC=2cm，AD=BC，AD=cm，S阴影=SABCS圆=2故选B【点评】本题是一道综合题，考查了扇形面积的计算以及等腰三角形的性质，是中档题13（2011深圳模拟）如图，某工件形状如图所示，等腰RtABC中斜边AB=4，点O是AB的中点，以O为圆心的圆分别与两腰相切于点D、E，则图中阴影部分的面积是（）ABCD2【分析】本题需先求出直角三角形的边长，再利用切线的性质和等腰直角三角形的性质得出四边形CDOE是正方形，然后分别求出直角三角形ABC、扇形FOD，正方形CDOE，扇形EOG的面积，即可求出阴影部分的面积【解答】解：设AC=BC=x，则x2+x2=4x=2设OD=R，则OE=RA
18、C，BC与O相切，ODAD，OEBCA=45AOD=45A=AODAD=OD=RAC=2AC=2AD=ODC=90四边形ODCE是正方形S正方形CDOE=2S扇形FOD=S扇形EOG=阴影部分的面积是2故选A【点评】本题主要考查了扇形面积的求法，在解题时要注意面积计算公式和图形的有关性质的综合应用14（2006兰州）若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（）A3：2B3：1C5：3D2：1【分析】利用轴的截面是一个正三角形，易得圆锥的底面半径和母线长的关系，把相应数值代入圆锥的侧面积=底面周长母线长2，圆锥底面积=半径2比较即可【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，S底=r
19、2，S侧=2r2r=2r2，S侧：S底=2r2：r2=2：1故选D【点评】此题主要考查圆锥的轴截面、侧面积与底面积的求法15（2003海南）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且为半圆的设扇形AOC、COB、弓形BmC的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（）AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1DS3S2S1【分析】首先根据AOC的面积=BOC的面积，得S2S1再根据题意，知S1占半圆面积的所以S3大于半圆面积的【解答】解：根据AOC的面积=BOC的面积，得S2S1，再根据题意，知S1占半圆面积的，所以S3大于半圆面积的故选B【点评】此类题首先要比较有明显关系的两个图形的
20、面积二解答题（共10小题）16（2016株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且AEF为等边三角形（1）求证：DFB是等腰三角形；（2）若DA=AF，求证：CFAB【分析】（1）由AB是O直径，得到ACB=90，由于AEF为等边三角形，得到CAB=EFA=60，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）过点A作AMDF于点M，设AF=2a，根据等边三角形的性质得到FM=EM=a，AM=a，在根据已知条件得到AB=AF+BF=8a，根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a，推出ECF=EFC，根据三角形的内角和即可得到结论【
21、解答】解：（1）AB是O直径，ACB=90，AEF为等边三角形，CAB=EFA=60，B=30，EFA=B+FDB，B=FDB=30，DFB是等腰三角形；（2）过点A作AMDF于点M，设AF=2a，AEF是等边三角形，FM=EM=a，AM=a，在RtDAM中，AD=AF=2a，AM=，DM=5a，DF=BF=6a，AB=AF+BF=8a，在RtABC中，B=30，ACB=90，AC=4a，AE=EF=AF=2a，CE=ACAE=2a，ECF=EFC，AEF=ECF+EFC=60，CFE=30，AFC=AFE+EFC=60+30=90，CFAB【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，等腰
22、三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键17（2016宁夏）已知ABC，以AB为直径的O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长【分析】（1）由等腰三角形的性质得到EDC=C，由圆外接四边形的性质得到EDC=B，由此推得B=C，由等腰三角形的判定即可证得结论；（2）连接AE，由AB为直径，可证得AEBC，由（1）知AB=AC，证明CDECBA后即可求得CD的长【解答】（1）证明：ED=EC，EDC=C，EDC=B，B=C，AB=AC；（2）方法一：解：连接AE，AB为直径，AEBC，由（1）知AB
23、=AC，BE=CE=BC=，CDECBA，CECB=CDCA，AC=AB=4，2=4CD，CD=方法二：解：连接BD，AB为直径，BDAC，设CD=a，由（1）知AC=AB=4，则AD=4a，在RtABD中，由勾股定理可得：BD2=AB2AD2=42（4a）2在RtCBD中，由勾股定理可得：BD2=BC2CD2=（2）2a242（4a）2=（2）2a2整理得：a=，即：CD=【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键18（2016福州）如图，正方形ABCD内接于O，M为中点，连接BM，CM（1）求证：BM=CM；（2）当O的半径为2时，求的长【
24、分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（2）根据弧长公式计算【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，AB=CD，=，M为中点，=，+=+，即=，BM=CM；（2）解：O的半径为2，O的周长为4，=，=+=，的长=4=4=【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键19（2016自贡）如图，O是ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BEDC交DC的延长线于点E（1）求证：1=BAD；（2）求证：BE是O的切线【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可；（2）连接BO，求出O
25、BDE，推出EBOB，根据切线的判定得出即可；【解答】证明：（1）BD=BA，BDA=BAD，1=BDA，1=BAD；（2）连接BO，ABC=90，又BAD+BCD=180，BCO+BCD=180，OB=OC，BCO=CBO，CBO+BCD=180，OBDE，BEDE，EBOB，OB是O的半径，BE是O的切线【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键20（2016黄石）如图，O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），ADCD（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是DAB的平分线，求证：直线CD是O的切线【分析】（1）
26、首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；（2）连接OC，证OCCD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得OCA=CAD，即可得到OCAD，由于ADCD，那么OCCD，由此得证【解答】（1）解：AB是O直径，C在O上，ACB=90，又BC=3，AB=5，由勾股定理得AC=4；（2）证明：连接OCAC是DAB的角平分线，DAC=BAC，又ADDC，ADC=ACB=90，ADCACB，DCA=CBA，又OA=OC，OAC=OCA，OAC+OBC=90，OCA+ACD=OCD=90，DC是O的切线【点评】此题主要考查的是切线的判定方法要证某线是圆的切线，已
27、知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可21（2016菏泽）如图，直角ABC内接于O，点D是直角ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作ECP=AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交O于点F（1）求证：PC是O的切线；（2）若PC=3，PF=1，求AB的长【分析】（1）连接OC，欲证明PC是O的切线，只要证明PCOC即可（2）延长PO交圆于G点，由切割线定理求出PG即可解决问题【解答】解：（1）如图，连接OC，PDAB，ADE=90，ECP=AED，又EAD=ACO，PCO=ECP+ACO=AED+EAD=90，PCOC，PC是O切线（2）解法一：
28、延长PO交圆于G点，PFPG=PC2，PC=3，PF=1，PG=9，FG=91=8，AB=FG=8解法二：设O的半径为x，则OC=x，OP=1+xPC=3，且OCPC32+x2=（1+x）2解得x=4AB=2x=8【点评】本题考查切线的判定、切割线定理、等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型22（2016新疆）如图，在ABC，AB=AC，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且CBF=CAB（1）求证：直线BF是O的切线；（2）若AB=5，sinCBF=，求BC和BF的长【分析】（1）连接AE，利用直径所对的
29、圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明ABF=90（2）利用已知条件证得AGCABF，利用比例式求得线段的长即可【解答】（1）证明：连接AE，AB是O的直径，AEB=90，1+2=90AB=AC，1=CABCBF=CAB，1=CBFCBF+2=90即ABF=90AB是O的直径，直线BF是O的切线（2）解：过点C作CGAB于GsinCBF=，1=CBF，sin1=，在RtAEB中，AEB=90，AB=5，BE=ABsin1=，AB=AC，AEB=90，BC=2BE=2，在RtABE中，由勾股定理得AE=2，sin2=，cos2=，在RtCBG中，可求得GC=
30、4，GB=2，AG=3，GCBF，AGCABF，BF=【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题23（2016南昌校级自主招生）如图，AB是O的直径，点F、C在O上且，连接AC、AF，过点C作CDAF交AF的延长线于点D（1）求证：CD是O的切线；（2）若，CD=4，求O的半径【分析】（1）连结OC，由F，C，B三等分半圆，根据圆周角定理得FAC=BAC，而OAC=OCA，则FAC=OCA，可判断OCAF，由于CDAF，所以OCCD，然后根据切线的判定定理得到CD是O的切线；（2）连结BC，由AB为直径得
31、ACB=90，由F，C，B三等分半圆得BOC=60，则BAC=30，所以DAC=30，在RtADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8，在RtACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得O的半径【解答】（1）证明：连结OC，如图，FAC=BAC，OA=OC，OAC=OCA，FAC=OCA，OCAF，CDAF，OCCD，CD是O的切线；（2）解：连结BC，如图，AB为直径，ACB=90，=，BOC=180=60，BAC=30，DAC=30，在RtADC中，CD=4，AC=2CD=8，在RtACB中，BC2+AC2=AB2，即82+（AB）2=AB2，AB=，O的半径为【点评】本题
32、考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系24（2016西安校级三模）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD（1）请证明：E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长【分析】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE=OB=OC，即证明OCE=30即可（2）在直角OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长【解答】（1）证明：连接AC，如图直径AB垂直于弦CD于点E，AC=AD，过圆心O的线CFAD，AF=DF，即CF是AD的中垂线，AC=CD，AC=AD=CD
33、即：ACD是等边三角形，FCD=30，在RtCOE中，点E为OB的中点；（2）解：在RtOCE中，AB=8，又BE=OE，OE=2，【点评】解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解25（2016金乡县一模）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，且CD=24，点M在O上，MD经过圆心O，联结MB（1）若BE=8，求O的半径；（2）若DMB=D，求线段OE的长【分析】（1）根据垂径定理求出DE的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程求出半径；（2）根据OM=OB，证出M=B，根据M=D，求出D的度数，根据锐角三角函数求出OE的长【解答】解：（1）设O的半径为x，则OE=x8，CD=24，由垂径定理得，DE=12，在RtODE中，OD2=DE2+OE2，x2=（x8）2+122，解得：x=13（2）OM=OB，M=B，DOE=2M，又M=D，D=30，在RtOED中，DE=12，D=30，OE=4【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理和圆周角定理的综合运用，灵活运用定理求出线段的长度、列出方程是解题的关键，本题综合性较强，锻炼学生的思维能力
