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1、苏教版必修一,3.4.1 函数与方程,下列方程有实数根吗？,问题1,(1)x2-2x-3=0,(3),(2)8x5+2x-3=0,lgx+x-3=0,历史上数学家对解方程的研究 中国古代世界数学名著:东汉初年（公元50年100年）九章算术 祖冲之（公元429公元500）对九章算术作了注释，又编写一本缀术 秦九韶（1208年1261年）数书九章 杨辉1261年所著的 详解九章算法、杨辉算法 朱世杰(元代杰出数学家)四元玉鉴等 这些著作中研究了高次方程的各种解法，是当时世界 数学的高峰，远远领先西方同样的发现,数学家研究出了二次、三次、四次方程的求根公式，但对于五次及以上的高次方程求根公式经过长期
2、努力，都无果而终，事实上这是不可能的，1824年，22岁的挪威天才数学家 阿贝尔（N.H.Abel，1802-1829）成功地证明了五次及以上的高次方程没有公式解实际上大多数方程都没有求根公式,3.4.1函数与方程,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象上的点有什么关系？,问题：,?,方程,函数,函数的图象,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,无实数根,(1,0)、(3,0),(1,0),无交点,x22x+1=0,x22x+3=0,y=x22x3,y=x22x+1,x22x3=0,y=x22x+3,一、知识探究 1.方程的根与函数
3、图象上的点,方程ax2+bx+c=0(a0)的根,函数y=ax2+bx+c(a0)的图象,判别式=b24ac,0,=0,0,函数的图象与 x 轴的交点,有两个相等的实数根x1=x2,没有实数根,(x1,0),(x2,0),(x1,0),没有交点,两个不相等的实数根x1、x2,方程的根 对应函数图像与x轴交点的横坐标。,等于,结论：,方程f(x)=0有实数根,函数y=f(x)的图象与x轴有交点的横坐标,注意：函数的零点是数！,函数,函数的图象,问题3 从二次函数图像直观地看：图像只要穿过X轴函数就有零点（不穿过也不一定没有零点），这是从图形上来看，那么如何从数学上更准确地描述穿过X轴？,知识探究
4、 2,教室内一天中每个时刻的室温，室温y是时间t的函数，若某天早晨7时的室温为零下4度，同学们开了空调，中午12点室温为8度（大课间、体育课、中饭会关空调）若同学们用室温记录仪记录了7时到下午17时室温每个时刻的室温，请画出函数的图像,问题4 从图像看函数在 有零点吗？在 有零点吗？为什么？,问题5 任取一个区间,请观察当函数的值有什么特点时，函数图象就穿过X轴，从而函数有零点？,问题6 的值满足什么条件时，函数在区间（a,b）上有零点？,如果函数y=f(x)在区间a，b上有f(a)f(b)0，那么函 数y=f(x)在(a,b)内有零点。,问题7 若f(a)f(b)0，则y=f(x)在区间(a
5、,b)上一定有零点吗？,的图象是一条不间断的曲线，并且,猜想：,函数零点存在性定理,y,二、发现定理,三、再论定理,如果函数y=f(x)在区间a，b上的图像是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)0，那么函 数y=f(x)在(a,b)内有零点,函数零点存在性定理,辨析1 如果函数y=f(x)在区间a，b上的图像是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)0，那么函 数y=f(x)在(a,b)上是否有唯一零点？,辨析2 如果函数y=f(x)在区间a，b上的图像是一条不间断的曲线，函数y=f(x)在区间(a，b)有零点,那么f(a)f(b)0？,四、学以致用,（1）一个定义：函数的零点 一个定理：零点存在定理,五、小结提高,（3）渗透了函数与方程、数形结合的思想,（2）判断函数零点是否存在可以考虑用：,函数图象、零点存在定理等,华罗庚：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”,我们已经知道，函数f(x)=lgx+x-3的唯一零点在（1，3）内，那么该如何进一步求此零点的值呢？,课后探究:,六、留有余味,
