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1、圆锥曲线焦点弦的一个性质及其应用举例22性质 过 椭圆 x2 + y2 =1（ab0）焦点 F 的直 线交椭圆 于 A、B 两点 ，设 abAF p, BF =q，11则 + =pq2ab22= e2d0 ,其中d0= bc2 是焦准距，cce= 是离心率。a过双曲线22x2 y2 122 ab(a 0,b 0) 焦点F 的直线交双曲线于A、 B 两点，设AF p, BF =q。若 A、B 两点在双曲线的同一支上（此时称AB为双曲线的同支焦点弦）1 12b2则 + = ，其中 d0 = 是焦准距； p q ed0c若 A、B 两点分别位于双曲线的左支和右支上时称 AB为双曲线的异支焦点弦），则
2、 1 - 1pqe2d0 ,其中d0b2c 是焦准距，ce= 是离心率。a（抛物线的类似性质，本文从略） 证明：（只证性质 , 性质的证明从略） 由对称性，不妨取 F 为右焦点。设右准线 l 与 x 轴交于点 D，过 A作 AGl 于 G，过 B 作 BHl 于点 H，则 AGFD BH；且由椭圆的第二定义知， |AG|= AF p ， |BH|= BF q 。 e e e e令|FE|= m,|ED|= n，则 m+n=|FD|=故由mq ,n =pmnpqp=p+q,q =。p+qe(p q)ee因此，b2 m+n= ?c2pqb2e(p q)。 cFEBF ，AGBA ，BH GB =
3、AB 可得：2 p q2c2 。又 ec ，从而1 1p q2a2= 2 ,其中 d0 = b就是焦准距。 证毕。pqeb2ap qpqb2 ed0 c 说明 在上述证明过程中出现的“ m = n ”， “即 |FE|=|ED| ”，亦即 E 为线段 FD 的中点（如图 1） 这是椭圆焦点弦的另一条性质。双曲线与抛物线也有这一性质。如图 1，若设 AFD=，并分别过 A、F作 FD和 BH的垂线，则可证： p= b a + ccosed0ed0 ，1+ ecos2ab2q =； 从 而 得 焦 点 弦 长 公 式 ： |AB| = p+ q= 2 2 21 - ecosa -c cos 22d
4、0e2 ,其中d0 就是焦准距 b 。在双曲线与抛物线中也有这样的公式，如：在双曲线1 - e2cos2 c22 xy1 (a 0,b 0) 中 ，若 焦 点 弦 AB 的 倾 斜 角 为 ，则 AF =ed01+ ecosed0BF = 1-eco0s；从而焦点弦长 AB =2d0e21- e2cos2 b2c, 其中d0 = 为焦准距， e= 是离心率，cabbarctan 且 - arctan 。aa如图 1，若分别连接 AD和 BD，利用说明的结论，则易证： ADF= BDF，即 x 轴平 分 ADB。在双曲线与抛物线中也有这样的结论。22例 1 (07 年全国 ( )高考(理)题 )
5、 已知椭圆 x y 1的左、右焦点分别为 F1、F2， 32过 F1的直线交椭圆于 B、D两点，过 F2的直线交椭圆于 A、 C两点，且 AC BD，垂足为 P。22( ) 设 P 点的坐标为( x0， y0)，证明： x0 y0 1 ；32() 求四边形 ABCD的面积的最小值。分析： ( ) 略。( ) 由 ( ) 知， ACBD的垂足 P在椭圆的内部，因此， (画草图)四边形 ABCD的面积1S= AC BD 。243设直线 AC的倾斜角为 ，则由本文性质的说明可得：2ab2|AC| =a2 - c 2cos2 3 - cos2 431 4 3 而 ACBD， |BD| =2 。从而 S
6、= 3-sin2243= 24 。2 2 = 2 2 。3- cos2 3-sin2 (3 - cos2 )(3-sin2)由均值不等式可得：222 2(3- cos2 ) + (3-sin2 ) 2 25(3- cos2 )(3-sin2)2 2 = 4 。S 2425 = 96 ，当且仅当 =45或 135时取等号问题获解。 4 2522xy例2 求双曲线 2- 2 = 1（a 0,b 0）同支焦点弦的弦长的最小值； ab22xy 求双曲线 2 - 2 =1（a0,b 0）异支焦点弦的弦长的最小值。ab解 由对称性（如图 2 ），不妨设同支焦点弦AB 经过右焦点 F(c, 0) ，且设 A
7、F =m, BF = n，1 1 2a m+ n 2a 则由本文性质知： + = 2 ，即 = m n b mn bm+ n 2m+ nm+ n4而 mn ()2 , = 。2 mn(m+ n)2 m+ n(2)2a m+ n42a4因此 2 = ，即 2 。b2 mnm+ nb2 m+ n图24b2 2b2故|AB|= m+n 4b = 2b ，其中当且仅当 m=n 时取等号；即焦点弦 AB垂直于实轴时， 2a a同支焦点弦的弦长取到最小值 2ab2 。 设 异 支 焦 点 弦 CD 的 倾 斜 角 为， 则 由 本 文性 质 的 说 明 可 得 ：2d eb2CD = e2c2ods02e
8、-1,其中d0 =bc 。2d0e2易知当且仅当= 0 时取 | CD|最小值 2a。注：运用“数形结合”思想，也易从图2中推出 | CD| 2a）。例 3 已知斜率为 1 的直线 l22过双曲线 C: x2 by2 1（b 0）的右焦点 F，直线 l 与双曲线 C交于 P、Q两点，且满足 FQ = 5FP ，求双曲线 C的方程。解 设P( x1, y1)、 Q( x2 , y2) 、 F( c,0) ，则c= 2+b2 。由 FQ = 5FP及题意知，点 P、点 Q分别位于双曲线的右、左两支上（如图3），且 x1 2 , y10；x2- 2 ， y20， b2-2c-1=0。故 b2-1=
9、2c 。即 b2-1= 2 b2 +2 。解之得: b2 =7或b2=-1。显然 b2=-1舍去。2因此所求双曲线 C 的方程为： xy2 1 。27例 4 （由 2000 年全国高考（理）题改编 ） 如图 4，已知梯形 ABCD中， |AB|=2|CD| ， E分有向线段 AC所成的比为 ，双曲线过 C、D、E三点，且以 A、B为焦点，当 2 3 时， 34求双曲线的离心率 e 的取值范围。解 易知 C、 D 关于 y 轴对称，由题可设 B（c,0）,c则由 |AB|=2|CD| 可得 C（ ，y0）。由本文性质知：1AE1AC2ab22a ，2 2 ，ca1 1 2a AC AC c2-a
10、222c -a1 2a 因此 AC = c2-a22 2 2 2 2c -ac -ae -1，即 = = = 2 。2a?AC ce2 +22a(e2+ a)e2-12又 23 43 ，32 e2+23 。故44(e2 1) 3(e2 2)223(e2 1) 2(e2 2)。解得2e2 10。e2 7再 e1, 7 e 10 。例 5 如图 5，以 A1 、A2为焦点的双曲线 E与半径为 c的圆 O相交于C、D、D1、C1四点，A1 、A2、B是圆 O与坐标轴的交点，连结 CC1并与 OB交于点 H，且有 OH = (3+2 3)HB，c又是双曲线 E 的半焦距。当 c=1 时，求双曲线 E
11、的方程；试证：对任意正实数 c，双曲线 E 的离心率为常数；连结 A1C与双曲线 E 交于点 F，是否存在实数 ，使 A1F =求出 的值；若不存在，请说明理由。2 x 解 设双曲线 E 的方程为 2 a2 OH = (3+2 3)HB，O、H、B都在 y轴上，且 |OB| =c。2by2 =1，其中 c2=a2+b2。FC恒成立？若存在，试c OH + HB = (3+ 2 3 )HB + HB = OB ，故 |HB|= 。4+ 2 313因此 OH =c- HB =(1- 4+2 3 )c= 2 c。连结 OC，则 |HC|= c2 - OH 2 = c2c2。当 c=1时，可知点 C(
12、12, 23 )在双曲线E 上。a2 + b2 = c2 =1 a124+ b =c =1 a23b24=1a2 =1- 3，解之得 232b2 = 232 x 。即双曲线 E 的方程为 x -33 1222y2 = 1。证明：由知点13C( 2c, 2 c) ,进而可推得： COA2 = 60 。连结 A2C，则|A2C|=|OA1|=|OA2|=|OC|= c，从而 |A 1C|= 3c。2= 3 +1 为常数。 3 -1解：假设存在，则由可知： C A1A2 = 30 。于是由本文性质的说明可得：由双曲线的定义知： 2a =|A 1C|-|A 2C|= 3c - c，离心率 e= aA1F =ed01+ ecos30， A1C = 1-eco0s30，其中d0 = bc2 为焦准距， e= ac是离心率。ed0A1F =1 - ecos30A1C1+ ecos301-( 3 +1)21+ ( 3 +1) 33+13 +5 。而A1F与FC同向，故 1= FC = A1C-A1F = A1C -1=5+ 3-1= 4 A1FA1FA1F3+1 3 +1因此，存在实数 ，使 A1F = FC 恒成立，且 = 3 +1 。4
