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1、第十二讲 反比例函数一、 反比例函数基础知识1函数的定义函数称为反比例函数,定义域为的所有实数.2函数的性质(1)函数的图像当时,函数的图像如下图(1);当时,函数的图像如下图(2).图(1)图(2)(2)单调性反比例函数在且时,函数值y随x增大而减小;在且时,函数值y随x增大而减小;也就是说,时,反比例函数在第一象限是单调递减的,在第三象限也是单调递减的.反比例函数在且时,函数值y随x增大而增大;在且时,函数值y随x增大而增大;也就是说,时,反比例函数在第一象限是单调递增的,在第三象限也是单调递增的.(3)对称性反比例函数的图像上的点是关于原点O成中心对称.在时,函数的图像关于直线yx对称;
2、在时,函数的图像关于直线yx对称;二、 例题部分例1. 已知函数为反比例函数,求m的值;例2给出函数:;,其中y随着x的增大而减小的是( ).A.B.C.D. 解:D例3若和是反比例函数的图像上的两个点,则一次函数的图像经过( )A第一、二、三象限C第一、三、四象限B第一、二、四象限D第二、三、四象限解:k0,b0和a0两种情况讨论,选A例5已知一次函数,y随着x的增大而减小,且;则它与反比例函数在同一坐标系中的图像只可能是( )解:k0,故选C例6已知,与x成反比例,与成正比例,且当时,求当时,y的值;例7.如图,在反比例函数的图像上任取一点P,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为M、N
3、,已知矩形PMON的面积为6,求该反比例函数的解析式.解:设P点坐标为(m,n)例8(江苏中考题)已知反比例函数的图像经过点A,过点A作ABx轴于点B,ABC的面积为,求该反比例函数的解析式. 小结:设点A是反比例函数的图像上任意一点,过点A作ABx轴于B点,连结OA,则有.例9(2003年重庆中招)如图,函数与函数的图像交于A、B两点,过点A作AC垂直于y轴,垂足为C,则BOC的面积是多少? 例10已知A、B两点是反比例函数的图像上任意两点,过A、B两点分别作y轴的垂线,垂足分别为C、D,连结AB、AO、BO,则梯形ABDC的面积与AOB的面积比是( )A2:1 B1:2 C1:1 D2:3
4、例11(2001年吉林省中考题)已知反比例函数和一次函数,其中一次函数的图像经过、两点:(1)求反比例函数的解析式;(2)已知点A在第一象限,且同时在上述两个函数的图像上,求A点的坐标. 例12.(2001年中考题)如图,已知点A、B在反比例函数的图像上,直线AB与x轴交于点C,如果点D在y轴上,且DADC,求点D的坐标.例13.(2001年天津市中考题)已知关于x的一次函数和反比例函数的图像都经过点,求:(1)一次函数和反比例函数的解析式;(2)两个函数图像的另一个交点的坐标. 例14.(2003年天津中招)如图,一次函数的图像与x轴,y轴分别交于A,B两点,且与反比例函数的图像在第一象限交
5、于C点,CD垂直于x轴,垂足为D,若OA=OB=OD=1.(1)求点A,B,D的坐标;(2)求一次函数和反比例函数的解析式.例15作下列函数图像,你能否总结出什么规律?(1)(2)(2)(4)(5)(6)总结:1的图像可由的图像向y轴正方向平移b个单位得到;2的图像可由的图像向x轴正方向平移a个单位得到;3的图像可由的图像先向x轴正方向平移a个单位,再向y轴正方向平移b个单位得到.练习题1已知反比例函数的图像上有两点,且,则的值是( )A正数B负数C非正数D不能确定解:D2在同一坐标系中,函数和(k是不等于0的常数)的图像大致是( )解:A3已知反比例函数,当时,y随着x的增大而增大,那么一次函数的图像经过( )A第一、二、三象限C第一、三、四象限B第一、二、四象限D第二、三、四象限(初中数学竞赛同步辅导,第三分册,P103,1(5),答案B)4如图,A、C是函数图像上任意两点,过A作x轴的垂线,垂足为B,过C作x轴的垂线,垂足为D. 设AOB的面积为,COD的面积为,则和的关系是( )ABCD不确定5反比例函数在第一象限内的图像如图,点M是图像上一点,MP垂直于x轴于点P,如果MOP的面积为1,那么k的值是( )A1B2C4D36已知一次函数与反比例函数的图像在第一象限的交点为P.(1)求的值;(2)求一次函数和反比例函数的解析式.解: