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1、第九讲 线段与角一、 基础知识1 直线、射线、线段、角的概念；2 线段的中点、角的平分线的概念；3 关于直线、线段的两个公理：（1） 两点确定一条直线（2） 所有连接两点的线中，线段最短4 角的分类；5 余角、补角的概念；6 线段长度的计算；7 角的大小的计算.二、 名校真题回放1（101中学2005-2006学年度单元综合测试）如图，两点把线段分成三部分，是的中点，如果，求图中线段的长.解答：2（101中学2005-2006学年度单元综合测试）已知：相交于，你手中只有直尺，你能在图中找到一点，使到的距离相等么？解答：分别在上截取，使得，分别在上截取，使得，并使得，分别连结并延长，相交于点，则
2、点为所求.3（101中学2005-2006学年度单元综合测试）如图，在的正方形方格中，等于多少度？解答：4（101中学2005-2006学年度单元综合测试）已知：是从点引出的三条射线，求的度数.解答：或三、活题巧解（一）与线段有关的问题例1（第13届希望杯试题）C是线段AB的中点，D是线段CB上的一点，如图所示，若所有线段的长度都是正整数，且线段AB的所有可能数的乘积等于140，则线段AB的所有可能的长度的和等于ACDB解答:因为所有线段的长为正整数,且C是AB的中点,设CB的长度为x,则有(x是正整数)又140=2257,且140是线段AB的所有可能的长度的乘积,所以 AB=10或AB=14
3、.故AB的所有可能长度的和为10+14=24.例2（“五羊杯”邀请赛试题）如图，已知是线段上的一点,是线段的中点，是线段的中点，为的中点，为的中点，求的值.解答：设,则,故例3（北京市初中竞赛题改编）一条直线从左到右依次排列着2004个点:已知点是线段的等分点中最靠近的那个分点.例如,点就是线段的五等份点中最靠近的那个点,如果线段的长度是1,线段的长度为L,求证:2L.证明;由题意,应是的二等份点,所以=1,应是的三等分点中最靠近的那个点,所以一般地,是的等份点中最靠近的那个点,所以移项化简得:即试看具体情形有:依次类推得,所以例4(“希望杯”培训题)如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中村
4、庄离城市的距离分别为千米，而村庄正好是的中点，现要在某个村庄建立一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，问活动中心应建在哪一个村庄最适当？解答：C村例5（第11届“希望杯”）如图，是线段上的一点，是线段的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，线段的长度均为正整数，求线段的长.解答：设线段的长分别为，则，解得，故线段的长为3.例6（北京市竞赛题）如图，在河里有两岛，一次划船比赛从岛出发划向岛，赛程规定必须先划到北岸，然后再划到南岸，最后再划向岛，问应该怎样选择路线，才能使路程最短？ 解答：路线如右图所示（二）与角有关的问题例7（北京市迎春杯试题）如图,O是直线AB上的一点,平分则图中彼此
5、互补的角共有_对.解答:注意互补的角只满足和为这个数量关系即可,与位置无关.共有6对.ACOBDE例8（兰州市竞赛题）如图，在一条直线上，是锐角，则的余角是（ ）A. B.C. D.解答：C例9（五城市联赛题）如图是一个33的正方形,则图中123456789AB解答:除外,由于沿AB作对折时,能够重合,恰好故例10（1996年“希望杯”）都是钝角，甲、乙、丙、丁计算的结果依次为，其中确有正确的结果，那么算得正确结果得人是谁？解答：甲例11（北京市中考模拟题）如图，是一个平角，,求的度数.解答：例12（北京市中考模拟题）地面上有四个木桩，在的正北，在的北偏西，在的北偏东，在的北偏西，在的南偏西，
6、问在的什么方向？解答：在的南偏西例13（全国联赛培训题）钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成的角？分别是几点几分？解答：共有4次时针与分针夹成的角.（1） 第一次正好为2点整.（2） 第二次设为2点分时，则，解得.（3） 第三次设为3点分时，则，解得.（4） 第四次设为3点分时，则，解得四、练习1（第10届希望杯试题）已知B,C是线段AD上的任意两点.M是AB的中点,N是CD的中点,若MN=a,BC=b,则AD=_.AMBCND解答:AD=AB+BC+CD=2MB+BC+2CN=2(MB+BC+CN)-BC=2MN-BC=2a-b. 2(北京市中考模拟试题)如图，线段，分别是的中点，试比较和
7、的大小.解答：设，则,故,故3（第13届“希望杯”）如图，直线上有三个不同的点，且，则到三点距离之和最小的点（ ）A.是点 B.是线段的中点 C.是线段外的一点 D.有无穷多个解答：A4（“希望杯”培训题）如图，某汽车公司所营运的公路段共有4个车站，依次为，现想在段建一个加油站，要求使站的各一辆汽车到加油站所花费的总时间最少，求的位置.解答：在段（包括）任一点均可.5（2000年中学生数理化读刊用刊知识竞赛）如图，依次是线段上三点，已知，则图中所有线段长度之和是多少？解答：6（2000年湖北省初中数学竞赛试题）钟表在12点钟时三针重合,经过分钟后,秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分,则的值是
8、多少?解答:因为秒针,分针,时针的速度分别是360度/分,6度/分,0.5度/分,显然的值大于1而小于2,则有解得:故的值是分钟.7（希望杯数学竞赛试题）(1)现有一个的模版,请你设计一种办法,只用这个模版和铅笔在纸上画出的角来.(2)现有一个的模版,请你设计一种办法,只用这个模版和铅笔在纸上画出的角来.(3) 现有一个的模版,请你设计一种办法,只用这个模版和铅笔在纸上画出的角来.对于(2)(3)两问,如果能,请简述画法的步骤,如果不能,请说明理由.解答:设模版的度数为,假设可由个角与个角画出的角来,即满足等式(1)当时, 取即用模板连续画出19个的角,在去掉的周角,即得到的角.(2)当时, 此时是一组解, 即用模板连续画出53个的角,在去掉两个周角和一个平角,即得到的角.(3)当即此时左边不定方程左边能被3整除,而右边不能被3整除,故原方程无整数解,不能用的模版和铅笔画出的角.8（“希望杯”培训题）如图，从点引出6条射线，且，平分，求的度数.解答：设,则，故五、难度系数（1）名校真题回放题号12345星级（2）活题巧解题号12345星级题号678910星级题号1112131415星级（3）练习题号1234星级题号5678星级
