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1、第三章 平面,3-1求作桥墩形体的W面投影，并将其七个表面与投影面的相对位置名称填入下表。,步骤一：根据桥墩形体的轴测图，标出其V面投影各点名称。（注意重影点的表达方法，标识符号。）步骤二：根据点的投影规律，高平齐，宽相等进行作图，也可以用45度线作图。步骤三：绘制完成后，检查各点三面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,X,a,b,k,m,g,f,n,c,e,d,YH,YW,m,m,k(f),n(k),e(f),n(e),b,b,Z,O,a(g),c(d),c(a),d(g),宽相等,X,a,b,k,m,g,f,n,c,e,d,YH,YW,m,m,k(f)
2、,n(k),e(f),n(e),b,b,Z,O,a(g),c(d),c(a),d(g),45度线,3-2图示平面为侧垂面，求作该平面的H面投影。,X,YH,YW,Z,O,步骤一：根据点的投影规律，长对正，宽相等进行作图。步骤二：绘制完成后，整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,3-3已知等边三角形ABC为水平面，并知其AB边，求此三角形的三面投影。,X,YH,YW,c,b,Z,O,a,a,b,60,60,c,c,a,b,分析：根据等边三角形ABC为水平面，可知，三角形ABC在H水平面投影是实形，在V面和W面的投影积聚。步骤一：以ab为一个边，在H面作三角形ABC的实形投影。找到c点的H面
3、投影。步骤二：在H面上，分别以a、b为圆心，ab为半径，画圆，交点即为c。（注：此处有两解，在合适的位置，画一解即可，制图一般不强调多解。）步骤三：V面，c的投影和已知ab在一条直线上，根据点的投影规律，长对正，求作c的投影。步骤四：根据已知点的两面投影，求作第三面投影，求作abc的投影。步骤五：绘制完成后，检查各点三面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,3-4已知矩形ABCD为侧垂面，其=30，求此矩形的V、W面投影(只求一解)。,分析：根据矩形ABCD为侧垂面，可知，矩形ABCD在H面和V面的投影是矩形的类似形，在W面的投影积聚成一条线。又因为矩形AB
4、CD为侧垂面，侧平线AB（或CD）就是矩形ABCD相对于H面的最大坡度线，所以面ABCD与H投影面所组成的二面角就是侧平线AB（或CD）与H投影面所夹的交。侧平线AB的=30，根据投影三角形性质，已知ab和，就可以求出AB的V面投影的Z。,X,YH,YW,a(d),b,Z,O,b,a,d,c,c,d,a,30,b(c),步骤一：以ab为一个直角边，=30作直角投影三角形，求出AB的V面投影的Z。（此三角形可以在绘制图形的空白处作出，也可以借助已有的ab投影，在合适的位置作出）步骤二：根据所求的AB的V面投影的Z，在V面上，以a为线段的一个端点，根据侧平线AB的性质，求得b的投影。（注：此处有两
5、解，在合适的位置，画一解即可，制图一般不强调多解。）步骤三：V面，作侧垂线AD和BC，根据长对正作出ad和bc。步骤四：根据已知点的两面投影，求作第三面投影，求作abcd的投影。（注意重影点的标法）步骤五：利用侧平线和侧垂线以及侧垂面的性质，检验所绘制的图形的正确性。步骤六：绘制完成后，检查各点三面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,3-5过点C作平行于V面的正方形ABCD，边长为25，对角线AC垂直于H面。,X,b,O,b,a,d,c,a(c),d,25,c,分析：根据正方形ABCD平行于V面，可知，正方形ABCD在V面的投影是实形，在H面的投影积聚成一
6、条线。又因对角线AC垂直于H面，所以，AC是铅垂线，对角线AC在H面上积聚成一点，在V面的投影反映实形；对角线BD是侧垂线，在H面和V面的投影是实形；反映实形的长度都为25。步骤一：在V面，过c作25 长且垂直ox轴的直线，确定a。步骤二：在V面，过ac的中点，作一直线为25，且互相垂直平分，得bd的V面投影。步骤三：顺次连接V面的abcd就是ABCD的V面投影。步骤四：在H面，过c点，作25 线段平行于ox轴，且c为中点，即得bd的H面投影。步骤五：因为AC是铅垂线，注意重影点的标法。步骤六：绘制完成后，检查各点两面投影标记的字符名称要齐全（根据题运，判断是完成三面还是两面的作图），最后整理
7、、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,3-6已知正方形ABCDV面，该平面上有一点E，试完成正方形及E点的三面投影。,X,YH,YW,a(b),b,Z,O,b(d),a,d,c,c(d),e,e,e,a(c),分析：根据已知正方形ABCDV面，可知，正方形ABCD在V面的投影实形。在H面和W面积聚成平行于x轴和z轴的直线段。步骤一：在H面，过e点，作一条平行于ox轴的直线，长对正，求得adbc的水平投影（注意重影点的标法）。步骤二：根据点的投影，求出点e。步骤三：过e，作一条平行于oz轴的直线，高平齐，求得abcd的侧面投影（注意重影点的标法）。步骤四：绘制完成后，检查各点三面投影标记的字符
8、名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,3-7在ABC上过B点作水平线BD；过C点作侧平线CE。,X,O,b,d,a,d,c,e,a,b,1,1,e,c,分析：水平线性质，在V面的投影是平行于ox的一条直线。在H面投影反映实形。侧平线性质，在V面和H面的投影是垂直于ox的直线。在W面投影反映实形。点B和点C在平面ABC上，故水平线BD和侧平线CE的投影都在平面的投影内。步骤一：在V面，过b点，作一条平行于ox轴的直线，交ac于d。步骤二：根据点d在ac和点的投影性质，确定d点，即得水平线BD的两面投影。步骤三：过c和c做直线垂直于ox，于V面连接be，确定e，be交ac于1
9、。步骤四：根据点的投影性质，在H面ac上，确定1点投影，从而确定e点的投影。步骤五：绘制完成后，检查各点二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,3-8过下列平面上的A点，作该平面上的正平线。,X,O,b,a,c,a,b,1,1,c,分析：正平线性质，在H面的投影是平行于ox的一条直线。在V面投影反映实形。正平线过A点且属于平面ABC，故正平线的投影都在平面的投影内。步骤一：在H面，过a点，作一条平行于ox轴的直线，交bc于1。步骤二：根据点1在直线bc上和点的投影性质，确定V面的1点，即得正平线A1的两面投影。步骤三：绘制完成后，检查各点二面投影标记的字符
10、名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,3-9已知ABC平面上的直线M N及平面图形P的一个投影，求它们的另一投影。,X,O,b,a,a,b,1,1,c,c,n,m,m,n,分析：已知ABC平面上的直线MN，所以，MN的投影在ABC投影上。步骤一：标出mn与bc的交点投影1。步骤二：根据点1在直线bc上和点的投影性质，确定V面bc上，找到1点。步骤三：延长nm交abc于一点，此处，交点正好是a点，连接a1。步骤四：根据点的投影性质，确定nm点的投影。步骤五：绘制完成后，检查各点二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,X,O,c,a,p,
11、c,n,a,b,d,e,f,g,h,b,1,1,f,2,2,g,d,h,e,分析：相交两直线确定一个平面。所以P平面的两面投影是确定的。现在就是平面上确定点的问题。由ab和ab的投影性质可以判断，AB为侧垂线，而cd平行于ab，所以CD也为侧垂线。由ad和a d的投影可知 AD为侧平线。步骤一：由分析可知CD为侧垂线，过c点，得d点。步骤二：根据线段的定比分性，确定e和h点的投影。步骤三：延长cf和cg交cd于1点和2点。步骤四：根据点的投影，在V面确定1点和2点。步骤五：根据点的投影，在V面确定f点和g点。步骤六：顺次连接defgha完成P面的V面的投影。步骤七：绘制完成后，检查各点二面投影
12、标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,3-10设正方形ABCD在正垂面EFMN内，并知其对角线AC的两面投影，求作正方形的两面投影。,X,O,b(d),a,a,b,d,c,e,n,f,m,n(e),m(f),c,解法一,分析：正方形ABCD在正垂面EFMN内，所以，正方形ABCD也是正垂面，且AC为正平线，ac为AC的实长；BD为正垂线，bd积聚在ac的中点上，且bd=ac。步骤一：由分析可知，取ac的中点标出b（d）点。步骤二：ac和bd互相垂直平分，且bd=ac。步骤三：顺次连接abcd。步骤四：绘制完成后，检查各点二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加
13、深所求作的图形，使之更加美观整洁。,X,O,b(d),a,a,b,d,c,e,n,f,m,n(e),m(f),c,解法二,分析：正方形ABCD在正垂面EFMN内，所以，正方形ABCD也是正垂面，且AC为正平线，ac为AC的实长；BD为正垂线，bd积聚在ac的中点上，且bd=ac。步骤一：由分析可知，作ac的垂直平分线，标出b（d）点。步骤二：取bd=ac，ac和bd互相垂直平分。步骤三：顺次连接abcd。步骤四：绘制完成后，检查各点二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,3-11在ABC上取一点D，使D点比B点低15，并在B点之前17。,X,O,b,a,a
14、,b,d,d,c,c,n,m,m,n,15,17,p,q,m,n,步骤一：在V面b之下15个单位，作一辅助水平面P,分别交ab和bc于m点和n点，所要求作的D点的V面投影d必在直线mn上。步骤二：因为M点和N点在直线AB和BC上，根据直线上点的投影性质，在H面，求作m点和n点，确定辅助平面P上的直线MN的水平投影。步骤三：在H面b之前17个单位，作一辅助正平面q，所要求作的D点的H面投影d必在正平面q上。故正平面q与mn的交点即为d点。步骤四：根据d必在直线mn上和点的投影性质，求作出d。步骤五：绘制完成后，检查各点二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,
15、3-12补全五边形ABCDE平面的H面投影，并补出面上点k。,X,O,a,e,b,c,d,e,a,b,c,d,2,1,1,2,3,3,k,k,步骤一：连接五边形ABCDE平面的BE对角，在V面，连接对角ac交于点1。步骤二：根据点的投影性质确定H面1点投影，连接a1，确定H面c点投影。步骤三：在H面上，连接bc。步骤四：在V面，连接对角ad交于点2。步骤五：根据点的投影性质确定H面2点投影，连接a2，确定H面d点投影。步骤六：在H面上，连接cd和de。步骤七：在H面上，连接ak交cd于3，在V面cd上找到3点。步骤八：在V面上，连接a3，根据点的投影性质和直线上点的投影性质，确定k点。步骤九：
16、绘制完成后，检查各点二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,3-13求四边形ABCD面的、倾角。,b,X,O,b,a,a,1,d,c,d,c,1,2,2,b,X,O,b,a,a,d,c,d,c,3,3,4,4,b,X,O,b,a,a,1,d,c,d,c,1,2,2,3,3,4,4,步骤一：由分析可知，首先在四边形ABCD面找一条水平线，a1ox轴，完成a1投影。步骤二：根据直角投影定理，在H面，过b点作a1的垂线，交a1于2点，求作2。步骤三：线段B2就是平面ABCD相对H面的最大坡度线，求线段B2和H面所成的角，就是要求的。步骤四：根据正投影的性质，绘制
17、投影直角三角形，取b2为一直角边，b2投影的z为另一直角边，构成直角三角形，z所对应的角就是要求的。步骤五：同理，在四边形ABCD面找一条正平线，a3ox轴，完成a3投影。步骤六：根据直角投影定理，在V面，过b点作a3的垂线，交a3于4点，求作4点。步骤七：线段B4就是平面ABCD相对V面的最大坡度线，求线段B4和V面所成的角，就是要求的。步骤八：根据正投影的性质，绘制投影直角三角形，取b4 为一直角边，b4投影的y为另一直角边，构成直角三角形，y所对应的角就是要求的。步骤九：绘制完成后，检查各点二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,3-14在下面投影图
18、中，过直线AB作正垂面P和铅垂面Q，过直线CD作侧垂面R。,b,b,a,a,X,O,Ph,Qv,1,2,Pv,Qh,分析：过AB直线，作正垂面P和铅垂面Q，则正垂面P和铅垂面Q包含直线AB，正垂面P的V面积聚，且过ab，与H面相交的迹线垂直ox轴，且与P的V面积聚线交于ox轴上。同理铅垂面Q的H面积聚，且过ab，与V面相交的迹线垂直ox轴，且与Q的H面积聚线交于ox轴上。步骤一：延长ab交ox轴于1点，则直线1ab就是要求作的正垂面P的V面积聚投影Pv迹线。步骤二：在H面内，过1点，作ox轴的垂线，则得要求作的正垂面P与H面的交线Ph迹线。步骤三：直线1ab和交线Ph迹线就构成了要求作的正垂面
19、P。步骤四：同理，延长ab交ox轴于2点，则直线ab2就是要求作的铅垂面Q的H面积聚投影Qh迹线。步骤五：在V面内，过2点，作ox轴的垂线，则得要求作的铅垂面Q与V面的交线Qv迹线。步骤六：直线ab2和交线Qv迹线就构成了要求作的铅垂面Q。,d,d,c,c,X,O,c,d,Rv,YH,YW,Z,Rh,Rw,3,4,分析：过CD直线作侧垂面R，首先求出CD直线的侧面投影cd，则侧垂面R包含直线CD，侧垂面R的W面积聚，且过cd，交OZ轴和OYw轴于3点和4点，与V面相交的迹线垂直OZ轴，且与R的W面积聚线交于OZ轴3点上，与H面相交的迹线垂直OYH轴，且与R的W面积聚线交于OYw轴4点宽相等。步
20、骤一：根据点的投影性质，作出侧面投影cd。步骤二：延长cd交OZ轴和OYw轴于3点和4点。则直线4cd3就是要求作的侧垂面R的W面积聚投影Rw迹线。步骤三：在V面内，过3点，作OZ轴的垂线，则得要求作的侧垂面R与V面的交线Rv迹线。步骤四：在H面内，根据宽相等，过4点，作OYH轴的垂线，则得要求作的侧垂面R与H面的交线Rh迹线。步骤五：直线4cd3和交线Rh迹线、交线Rv迹线就构成了要求作的侧垂面R。步骤六：绘制完成后，检查各点三面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,3-15已知四边形平面ABCD的AD边平行于V面，BC边平行于H面，试完成该平面的V面投影
21、。,1,1,b,b,a,d,c,c,a,d,X,O,分析：已知四边形平面ABCD的AD边平行于V面，BC边平行于H面，所以，AD边是正平线，BC边是水平线，符合相应的平行线投影规律。解法一：步骤一：在H面，过a点作bc的平行线，交cd于1点，则a1也是一条水平线。步骤二：过a点，作一条直线平行于OX轴，其上取点1，则a1和a1就是水平线A1的投影，联接b1并延长，c点就应该在这条直线上。步骤三：过c点，根据BC边是水平线，作cb直线平行于OX轴。根据点的投影规律，获得b点的投影。步骤四：绘制完成后，顺次联接abcd，完成作图。检查各点二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使
22、之更加美观整洁。,k,k,b,b,a,d,c,c,a,d,X,O,解法二：步骤一：延长cb和da交于k点，则k点同时属于cb和da。步骤二：延长da，根据点的投影规律得k点。步骤三：过k点，根据BC边是水平线，作kcb直线平行于OX轴。根据点的投影规律，获得b点和c点的投影。步骤四：绘制完成后，顺次联接abcd，完成作图。检查各点二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,3-16 AB为某平面对H面的最大坡度线，求该平面上距V面为25的正平线。,1,1,b,b,a,a,X,O,2,3,3,4,4,解法一迹线法,分析：AB为某平面对H面的最大坡度线，则AB的水
23、平投影和水平线水平投影呈90的角，两条相交直线确定的平面就是某平面。然后再求该平面上距V面为25的正平线解法一迹线法：步骤一：延长ab交OX轴于1点，则1点就是ab和水平面的交点1的立面投影，根据点的投影规律，确定1点。步骤二：AB为某平面对H面的最大坡度线，过1点，作ab的垂线，交OX轴于2点，ab直线和12迹线组成的平面就是要求的某平面。步骤三：平面上距V面为25的正平线，在H面，距离OX25的位置，作平行于OX轴的直线，交ab直线和12迹线于4和3两点，所以，3点的投影在OX轴上，4点的投影在ab上，连接34即的所求的正平线的立面投影。步骤四：绘制完成后，检查各点二面投影标记的字符名称要
24、齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,5,5,b,b,a,a,X,O,6,6,7,7,解法二任意水平线,n,m,n,m,解法二任意水平线：步骤一：AB为某平面对H面的最大坡度线，合适的位置，作ab的垂线mn，交点为5，且这条线必须是水平线，根据点的投影规律找到5，并作一直线mn过5点，且平行于OX轴，则AB和MN直线组成某平面。步骤二：平面上距V面为25的正平线，在H面，距离OX25的位置，作平行于OX轴的直线，交ab直线和mn直线于7和6两点，根据点在直线上的的投影规律，确定6和7两点，连接67即的所求的正平线的立面投影。步骤三：绘制完成后，检查各点二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,
