[工学]浅谈水准测量的误差来源及控制方法.doc

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1、目录第1章绪论11.1论文研究的背景和意义11.2研究现状11.3论文的主要内容和研究方法21.4本章小结2第2章水准测量的基本原理和方法32.1水准测量的基本原理32.1.1高差法32.1.2仪高法42.2水准测量方法与水准路线52.3本章小结6第3章水准测量的问题及控制方法73.1水准测量中出现的问题73.2仪器误差（系统误差）及控制方法73.2.1视准轴不平行水准管轴产生的误差及控制方法73.2.2水准尺误差及控制方法93.2.3小结93.3观测误差和控制方法93.3.1符合水准管气泡居中误差及控制方法93.3.2调焦误差和视差的影响及控制方法103.3.3水准尺的倾斜误差及控制方法10

2、3.3.4小结113.4外界条件影响和控制方法123.4.1地球曲率及大气折光影响的误差及控制方法123.4.2温度对仪器的影响133.4.3仪器升降和水准尺下沉的影响133.4.4小结13第4章水准测量内业处理154.1简单水准路线的内业处理154.1.1高差闭合差的计算与检核154.1.2高差闭合差的调整154.1.3计算待定点的高程164.2水准网的平差处理164.2.1水准网的条件平差164.2.2水准网的间接平差204.4本章小结24第5章总结与展望255.1总结255.2展望25参考文献26致谢27附录28石家庄铁道大学四方学院毕业论文第1章绪论1.1论文研究的背景和意义水准测量的

3、基本原理是根据几何关系利用仪器提供的水平视线观测立在两点间上的水准尺以测定两点间的高差。目的是测出一系列点的高程。高程测量是是测量任务中的重要一部分。其中水准测量在工程建设应用中发挥着很重要的作用。它为施工放样、设备安装、变形监测及分析与预报领域中提供基础资料,为工程的顺利进行做铺垫。为了高精度测定地面点的高程,精密水准测量仍然是目前唯一行之有效的野外观测方法。除了作为建立国家统一高程系统的基础工作,为各类地形测绘和工程建设提供高程起算数据外,同时还被用于研究地球的形状和大小,确定各海洋面的高差和倾斜,获取现代地壳运动的垂直分量,建立地球重心场得理论与方法以及探索分析地震活动趋势等各类科学问题

4、。随着科学技术的发展,对地面点高程的精度要求也在不断提高。测量人员按照规范作业，会在很大程度上提高作业速度、效率和质量，把水准测量的误差限制最小，做到精益求精，以更好地为工程的顺利进行服务。1.2研究现状随着高精度电子水准仪的问世，使得精密水准测量工作的自动化程度大大提高，同时基本上克服了过去水准观测过程中所存在的人为误差，是水准测量的精度有了明显提高，偶然误差对测量成果的影响与系统误差相比，已处于次要地位。因此，从误差理论的角度来看，要进一步提高地面高程点的精度们就要随水准测量中存在的各项系统误差进行研究分析，根据其对观测成果的影响规律，提出减弱或消除系统误差影响的措施。据统计，在黄委会勘测

5、规划设计研究院任职的丁万庆院士参加了一千多公里国家一等复测的观测工作，他指出观测成果中有8个分段往返测闭合差连续出现负值，累计达-33.63mm，7个分段往返测闭合差连续出现正值，累计达+41.92mm。据统计在62300km路线上，不符值累计达-1183mm，水准观测成果中，确实存在着系统误差。1.3论文的主要内容和研究方法这里主要论述水准测量在工程测量中的基本原理，以及在勘察设计过程中水准测量的问题及控制方法。其分为：(1)仪器误差(系统误差)及控制方法；(2)观测误差及控制方法；(3)外界条件影响和控制方法；(4)内业控制。1.4本章小结 本章通过论文研究的背景和意义再结合国内外学者研究

6、的成果，让我们知道水准测量中确实存在着误差。在这里系统的从几个方面总结了减小误差的控制方法。为此，测量人员应按照规范作业，会在很大程度上提高作业速度、效率和质量，把水准测量的误差限制最小，做到精益求精，以更好地为工程的顺利进行服务。第2章水准测量的基本原理和方法2.1水准测量的基本原理水准测量是利用一条水平视线，并借助水准尺，来测定地面两点间的高差，这样就可由已知点的高程推算出未知点的高程。测定待测点高程的方法有高差法和仪高法两种。 2.1.1高差法如图2-1所示，若已知A点的高程，欲测定B点的高程。在A、B两点上竖立两根尺子，并在A、B两点之间安置一架可以得到水平视线的仪器。假设水准仪的水平

7、视线在尺子上的位置读数分别为A尺（后视）读数为，B尺（前视）读数为，则a、b两点之间的高程差（简称高差）为3： （2-1）于是B点的高程为： （2-2） （2-3）这种利用高差计算待测点高程的方法，称高差法。这种尺子称为水准尺，所用的仪器称为水准仪。图2-1 水准测量原理2.1.2仪高法由式2-3可以写为 （2-4）如图2-2所示，即 （2-5）上式中是仪器水平视线的高程，常称为仪器高程或视线高程。仪高法是，计算一次仪高，就可以测算出几个前视点的高程。即放置一次仪器，可以测出数个前视点的高程。综上所述，高差法和仪高法都是利用水准仪提供的水平视线测定地面点高程。必须注意：（1）前视与后视的概念一

8、定要清楚，不能误解为往前看或往后看所得的水准尺读数。（2）两点间高差是有正负的，计算高程时，高差应连其符号一并运算。在书写时，注意的下标，是表示B点相对于A点的高差；则表示是A点相对于B点的高差。与的绝对值相等，但符号相反。图2-2 仪高法水准测量2.2水准测量方法与水准路线当地面上两点间的距离较长或高差较大时,仅安置一次仪器不能直接测得两点间的高差,则进行连续的分段测量,将所得各段高差相加、即可求得两点间的高差。如某一点的高程通过转1、转2、转3、转n等点传递到另一点,这些用来传递高程的点,称为转点。任意转点位置的变动,都会直接影响到某一点的高程,因此,转点位置应选在坚实的地面上,在其上放置

9、尺垫并踩实2。如图2-3所示，已知A点的高程=43.150m，欲测B点高程，在AB线路上增加1、2、3、4、等中间点，将AB高差分成若干个水准测站。其中间点仅起传递高程的作用，称为转点（Turning Point），简写为TP。转点无固定标志，无需算出高程。每安置一次仪器，便可测得一个高差，即 （2-6）将各式相加,得 （2-7）则B点的高程为 （2-8）图2-3 高差法连续水准测量水准路线是水准测量进行的路线。根据测区的具体情况,可选用不同的水准路线,水准路线分为附合水准路线、闭合水准路线、支水准路线等三种。（1）附合水准路线：当测区附近有高级水准点时,可由一高级水准点开始,沿着待测各高程的

10、水准点1、2作水准测量,最后附合到另一高级水准点叫附合水准路线。（2）闭合水准路线：当测区附近有一高级水准点时,可从该点出发,沿着待测的水准点进行水准测量,最后仍回到起始点,形成一个闭合的路线。（3）支水准路线：从某一水准点出发,进行水准测量到另一个点,即不符合到另一点,也不形成闭合的水准路线。下图所示附合水准路线为例，已知水准点A、B和待定点1、2、3将整个路线分为四个测段。2.3本章小结本章主要阐述了水准测量的原理和方法，从高差法和仪高法两个方面详细的讲解了测定待测点高程的方法。使我对这两种方法有了更深入的理解。第3章水准测量的问题及控制方法3.1水准测量中出现的问题水准测量是采用几何原理

11、，利用水平视线测定两点间高差。仪器使用DS3型水准仪，工具是3m的双面木质水准标尺和尺垫。渠道工程测量一般使用DS3型微倾式自动安平水准仪，每公里能达到的精度是3mm，水准仪在一个测站使用的基本程序是安置仪器、粗略整平、瞄准水准尺、精确整平和读数。我们在实际勘测过程中按这个顺序施行，在每一水准点段测完后复核结果。在一个测区内所有的工程采用同一个高程系统，现在应用三等水准点观测方法采取往返测量，并且按照双面水准标尺和中丝测高法并且每站按照“后前前后”的观测程序进行观测读数，最终成果整理要求高差闭合差达到平原微丘区三等水准测量的精度不大于。平原微丘地区影响水准测量精度的主要因素是水准路线的长度，长

12、度越长，精度越低。山区，则是测站，测站越多，精度越低4。水准测量误差有：(1)仪器误差；(2)观测误差；(3)外界条件的影响。3.2仪器误差（系统误差）及控制方法3.2.1视准轴不平行水准管轴产生的误差及控制方法根据水准测量原理，水准仪必须提供一条水平视线，才能正确地测出两点间高差。因此，水准仪应满足的几何条件是:(1)圆水准器轴应平行于仪器的竖轴； (2)十字丝的中丝（横丝）应垂直于仪器的竖轴； (3)水准管轴平行于视准轴。 图3-1 水准仪主要轴线仪器虽在测量前经过校正，仍会存在残余误差。一方面是制造误差，即仪器在制造过程中就存在制造缺陷误差，这项误差是无法消除的；另一方面是检验和校正后的

13、残余误差。在这些误差中，影响最大、表现突出的就是照准轴和水准管轴不平行的误差，即i角误差。设A、B分别为同一测站的后视点和前视点，SA、SB分别为后视和前视的距离，XA、XB为由于视准轴与水准管轴不平行而引起的读数误差。如果不考虑地球曲率和大气折光的影响，B点对A点的高差为： （3-1）因 （3-2）故 （3-3）对于一测段有 （3-4）通过分析，i角误差的影响与仪器至前后视标尺的视距差及视距积累有关。因此造成水准管气泡居中，水准管轴居于水平位置而望远镜视准轴却发生倾斜，致使读数误差。要消除i角误差的影响，在实际作业中只要做到前后视距相等即可，这种误与视距长度成正比。观测时可通过中间法（前后视

14、距相等）和距离补偿法（前视距离和等于后视距离总和）消除。针对中间法在实际过程中的控制，立尺人是关键，通过应用普通皮尺测距离，之后立尺，简单易行。而距离补偿法不仅繁琐，并且不容易掌握。残余i角也不是固定不变的，即使在同一测站上，后视和前视的i角往往由于太阳光照射的不同而不一样。为了避免这种误差的产生，在阳光下进行观测必须用测伞遮住仪器。在照准同一测站的前、后视尺时，尽量避免调焦。 3.2.2水准尺误差及控制方法主要包含尺长误差（尺子长度不准确）、刻划误差（尺上的分划不均匀）和零点差（尺的零刻划位置不准确），对于较精密的水准测量，一般应选用尺长误差和刻划误差小的标尺。对于尺长误差较大水准尺，使用时

15、应在最后的高差加上水准尺每1m的尺长改正。水准尺的底面与标尺第一个分格的起始线（黑面为零、红面为4687或4787）应当是一致的。但由于使用磨损等原因，有时不能完全一致，这个差数是标尺的零点差（包括黑红面零点差及一对标尺零点差）。标尺零点差的影响对于测站数为偶数的水准路线是可以自行抵消的。当测站数为奇数时，高差中含有这种误差的影响。所以，在水准测量中，每测段的测站数应取偶数为好，这样就消除标尺的零点差对高程的影响，同时可以减弱刻划误差和尺长误差的影响。3.2.3小结水准测量中的系统误差，将直接影响地面点的精度。只要对水准测量的仪器、工具及作业方法、外界条件等进行研究，分析产生系统误差的原因，制

16、定出相应的措施，则有可能避免或削弱这种误差的影响。当然，影响地面点高程精度的因素很多，尚待进一步深入的探讨。3.3观测误差和控制方法3.3.1符合水准管气泡居中误差及控制方法水准测量的主要条件是视线必须水平。假设当水准仪不存在i角误差的情况下，我们用微倾螺旋使管水准气泡居中，此时一般认为管水准轴就水平了因而望远镜照准轴水平了。其实不然，在观察到气泡居中的一瞬间，还不能认为水准轴是水平的。由于符合水准气泡未能做到严格居中，造成望远镜视准轴倾斜，产生读数误差。读数误差的大小与水准管的灵敏度有关，主要是水准管分划值的大小。此外，读数误差与视线长度成正比。水准管居中误差一般认为是，根据公式：5 （3-

17、5）DS3级水准仪水准管的分划值一般为20，视线长度S为75m，=206265，那么，m居=0.4mm。由此看来，只要观测时符合水准管气泡能够认真仔细进行居中，且对视线长度加以限制，与中间法一致，此误差可以消除6。3.3.2调焦误差和视差的影响及控制方法在观测时，若在照准后、前尺时均调焦，必然使在前、后尺读数时i角高度不一致，从而引起读数误差。前后视距相等时可避免在一站中重复调焦。当存在视差时，尺像不与十字丝平面重合，观测时眼睛所在的位置不同，读出的数也不同，因此，产生读数误差。所以在每次读数前，控制方法就是要仔细进行物镜对光，消除视差。普通水准测量中水准尺以厘米刻画，考虑仪器的基本性能，影响

18、估读精度的因素主要与十字丝的粗细、望远镜放大倍率及视线长度等因素有关。其中视线长度影响较大，有关规范对不同等级水准测量时的视线均作了规定，作业时应认真执行。3.3.3水准尺的倾斜误差及控制方法水准尺如果是向视线的左右倾斜，观测时通过望远镜十字丝很容易察觉而纠正。但是，如果水准尺的倾斜方向与视线方向一致，则不易察觉。尺子倾斜总是使尺上读数增大。它对读数的影响与尺的倾斜角和尺上读数的大小（即视线距地面的高度）有关。尺的倾斜角越大，对读数的影响就越大；尺上读数越大，对读数的影响就越大。如图2所示。当水准尺的倾斜角为时，其尺上读数为，则由图3-2可知 （3-6） （3-7）图3-2 水准尺倾斜对读数影

19、响即的大小取决于水准尺倾斜角和标尺上读数的大小。所产生的读数误差为。当时，由此可以看出，此项影响是不可忽视的，通常我们立镜高度是1.7m, 则。因此，在水准测量中，立尺是一项十分重要的工作，一定要认真立尺，使尺处于铅垂位置。尺上有圆水准的应使气泡居中。必要时可用摇尺法，即读数时尺底置于点上，尺的上部在视线方向前后慢慢摇动，读取最小的读数。当地面坡度较大时，尤其应注意将尺子扶直，并应限制尺的最大读数。最重要的是在转点位置。水准尺下沉的误差是指仪器在搬迁过程中，转点发生下沉，使迁站后的后视读数增大，算得的高差也增大。如果采取往返测，往测高差增大，返测高差减小，所以取往返高差的平均值，可以减弱水准尺

20、下沉的影响。最有效的方法是应用尺垫，在转点的地方必须放置尺垫，并将其踩实，以防止水准尺在观测过程中下沉。3.3.4小结 水准测量中的观测误差，主要是通过读数产生的误差，本节从符合水准管气泡居中误差，调焦误差和视差的影响，水准尺的倾斜误差三个方面详细阐述了观测误差的来源，也讨论了这三方面的各自的控制方法。从中我们可以看出，误差不可避免，但我们应该有细心观察，果断读数，认真负责的态度，尽量较小误差来源，才能让我们的观测成果更加真实可用。3.4外界条件影响和控制方法3.4.1地球曲率及大气折光影响的误差及控制方法大地水准面BAbababaHAHB图3-3地球曲率及大气折光的影响如上图3-3所示，A、

21、B为地面上两点，大地水准面是一个曲面，如果水准仪的视线平行于大地水准面，则A、B两点的正确高差为： （3-8）但是，水平视线在水准尺上的读数分别为、。、之差与、之差，就是地球曲率对读数的影响，用表示。即： （3-9）式中 D水准仪到水准尺的距离（km）； R地球的平均半径，R=6 371km。由于大气折光的影响，视线是一条曲线，在水准尺上的读数分别为a、b；a、a之差与b、b之差，就是大气折光对读数的影响，用r表示。在稳定的气象条件下，r约为c的1/7，即 （3-10）地球曲率和大气折光的共同影响为： （3-11）由于地球曲率的缘故，在同一水准面上的两个点其高差并不为零。由此产生用水平面代替水

22、准面对高程的影响，可以用公式表示地球半R =6 371Km，当D =1Km时，C =8cm；显然，以水平面代替水准面时高程所产生的误差要远大于测量高程的误差。所以，对于高程而言，即使距离很短，也不能将水准面当作水平面，一定要考虑地球曲率对高程的影响。实测中采用中间法可自动消除曲率对前后视读数的影响。大气折光使视线成为一条曲率约为地球半径7倍的曲线，使读数减小，可以用公式表示，视线离地面越近，折射越大，因此，视线距离地面的高度不应小于0.3m，并且其影响也可用中间法消除或减弱。8此外，应选择有利的时间，一日之中，上午10时至下午4时这段时间大气比较稳定，便于消除大气折光的影响，但在中午前后观测时

23、，尺像会有跳动，影响读数，应避开这段时间，阴天、有微风的天气可全天观测。日照及风力引起的误差影响是综合的，比较复杂。如果光照会造成仪器各部分受热不均使轴线关系发生改变、风大时会使仪器抖动、不易精平等会引起误差。处选择好的天气测量外，给仪器打伞遮光等都是消除和减弱其影响的好办法。3.4.2温度对仪器的影响温度会引起仪器的部件涨缩，从而可能引起视准轴的构件（物镜，十字丝和调焦镜）相对位置的变化，或者引起视准轴相对与水准管轴位置的变化。由于光学测量仪器是精密仪器，不大的位移量可能使轴线产生几秒偏差，从而使测量结果的误差增大。不均匀的温度对仪器的性能影响尤其大。例如从前方或后方日光照射水准管，就能使气

24、泡“趋向太阳”，水准管轴的零位置就改变了。温度的变化不仅引起大气折光的变化，而且当烈日照射水准管时，由于水准管本身和管内液体温度升高，气泡向着温度高的方向移动，影响仪器水平，产生气泡居中误差，观测时应注意撑伞遮阳。3.4.3仪器升降和水准尺下沉的影响在观测中，由于仪器的自重、测站上土质松软等原因，使仪器随时间逐渐下沉或由于土壤的弹性会使仪器上升，它将使尺上读数减小或增大。为减小下沉的影响，仪器应安置在土质坚实的地方，脚架要踏实。在测站采用往返观测法，提高观测速度，可消除其影响。3.4.4小结本节主要从外界条件方面对水准测量误差来源进行分析。通过地球曲率，大气折光，温度对仪器的影响，因仪器的升降

25、和水准尺下沉造成的读数误差，这几个方面详细的阐明了外界条件所造成的水准测量误差。同样，也提出了相应的控制方法来解决这一问题。第4章水准测量内业处理4.1简单水准路线的内业处理水准测量的内业即计算路线的高差闭合差，如其符合要求则予以调整，最终推算出待定点的高程。4.1.1高差闭合差的计算与检核终端水准点的已知高程和经水准路线观测、推算的高程之差值称为高差闭合差。附合水准路线高差闭合差为：8 (4-1)闭合水准路线高差闭合差为： (4-2)为了检查高差闭合差是否符合要求，还应计算高差闭合差的容许值（即其限差）。一般水准测量该容许值规定为 平地 mm (4-3) 山地 mm (4-4)式中，水准路线

26、全长，以km为单位；路线测站总数。4.1.2高差闭合差的调整若高差闭合差小于容许值，说明观测成果符合要求，但应进行调整。方法是将高差闭合差反符号，按与测段的长度(平地)或测站数(山地)成正比，依下式计算各测段的高差改正数，加入到测段的高差观测值中： （4-5） （4-6）式中，路线总长；第测段长度 (km) ()； 测站总数；第测段测站数。4.1.3计算待定点的高程将高差观测值加上改正数即得各测段改正后高差： ; （4-7）据此，即可依次推算各待定点的高程。4.2水准网的平差处理由于测量仪器的精度不完善和人为因素及外界条件的影响，测量误差总是不可避免的。为了提高成果的质量，处理好这些测量中存在

27、的误差问题，观测值的个数往往要多于确定未知量所必须观测的个数，也就是要进行多余观测。有了多余观测，势必在观测结果之间产生矛盾，测量平差的目的就在于消除这些矛盾而求得观测量的最可靠结果并评定测量成果的精度。测量平差采用的原理就是“最小二乘法”。测量原理：测量平差是用最小二乘法原理处理各种观测结果的理论和计算方法。测量平差的目的在于消除各观测值间的矛盾，以求得最可靠的结果和评定测量结果的精度。任何测量，只要有多余观测，就有平差的问题8。平差的目的：为了提高成果的质量，处理好测量中存在的误差问题，要进行多余观测，有了多余观测，势必在观测结果之间产生矛盾，测量平差目的就在于消除这些矛盾而求得观测量的最

28、可靠的结果，并评定测量成果的精度。4.2.1水准网的条件平差条件平差原理：在条件观测平差中，以n个观测值的平差值作为未知数，列出v个未知数的条件式，在情况下，用条件极值的方法求出一组v值，进而求出平差值。8基础方程和它的解设某平差问题，有个带有相互独立的正态随机误差的观测值，其相应的权阵是对角阵，当有个多余观测时，则平差值应满足个平差值条件方程为： （4-10）式中：观测值；权阵；改正数；平差值； 、（=1、2、）为条件方程的系数； 、为条件方程的常项数以（=1、2、）代入(4-10)得条件方程： (4-11)式中、为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即： （4-12）令 则(4-10

29、)及（4-11）上两式的矩阵表达式为： （4-13） （4-14）改正数条件方程式中的解不是唯一的解，根据最小二乘原理，在的无穷多组解中，取最小的一组解是唯一的，的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。为此,设称为联系数向量，它的唯数与条件方程个数相等，按拉格朗日乘数法解条件极值问题时，要组成新的函数：将对求一阶导数，并令其为零得： （4-15）上式称为改正数方程，其纯量形式为： （=1、2、） （4-16）代 入 得： （4-17）上式称为联系数法方程，简称法方程。式中法方程系数距阵，为： （4-18）因，故是阶的对称方阵。法方程的纯量形式为： （4-19）从法方程解出联系数后，将值代入改正数方

30、程，求出改正数值，再求平差值，这样就完成了按条件平差求平差值的工作。精度评定当各被观测量的平差值求出后，下一步就是对观测精度及平差值或平差值函数的精度进行评定，下面来讨论这个问题。条件平差中单位权中误差： （4-20） 或 （4-21）从中误差计算公式可知，为了计算，关键是计算。下面将讨论的计算方法。（1）由直接计算 （4-22）（2）由联系数及常数项计算因 故 （4-23）（3）直接在高斯杜力特表格中解算将（4-13）的矩阵方程写为纯量形式则有： 令 则 （4-24）平差值函数的权倒数设有平差值函数为: （4-25）它的权函数式为： （4-26）令 则 （4-27） （4-28）4.2.2水

31、准网的间接平差间接平差原理：间接平差法（参数平差法）是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值4。 在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L1、L2和L3。求此三角形各内角的最或然值。若能选取两个内角的最或然值作为参数、，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式: （4-29）可得: （4-30）为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令，则（4-30）式可写成如下形式: （4-31）式(

32、4-30)叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程(包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”)，每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。单纯为消除矛盾，、可有多组解，为此引入最小二乘原则：可求得唯一解。因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。对上述三角形，引入最小二乘原则，要求： ，设观测值为等精度独立观测，则有：按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得：代入误差方程式，得到观测值的最或然值此结

33、果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。一般地，间接平差的函数模型为： （4-32）平差时，为了计算方便和计算的数值稳定性，一般对参数 都取近似值 ，令 （4-33）代入（4-32）式，并令 （4-34）由此可得误差方程 （4-35） 式中 为误差方程的自由项，对于经典间接平差，将未知参数 视为非随机参数，不考虑其先验统计性质，根据（4-33）式，可得平差后，由（4-34）式可得。间接平差的随机模型为： （4-36）平差准则为： （4-37） 间接平差就是在最小二乘准则要求下求出误差方程中的待定参数 ，在数学中是求多元函数的

34、自由极值问题。 设平差问题中有n个观测值L，已知其协因数阵，必要观测数为t，选定t个独立参数 ，其近似值为，观测值L与改正数V之和，称为观测量的平差值。按具体平差问题，可列出n个平差值方程为： （4-38）则平差值方程的矩阵形式为： （4-39）令 （4-40）式中 为参数的充分近似值，于是可得误差方程式为： （4-41）按最小二乘原理，上式的 必须满足的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法，得：转置后得： （4-42）以上所得的（4-41）和（4-42）式中的待求量是 个和 个 ，而方程个数也是个，有唯一解，称此两式为间接平差的基础方程。 解此基础方程，一般是将（4-

35、41）式代入（4-42）式，以便先消去，得： （4-43）令上式可简写成： （4-44）式中系数阵为满秩矩阵，即， 有唯一解，上式称为间接平差的法方程。解之，得 ： （4-45）或 （4-46）将求出的 代入误差方程（4-41），即可求得改正数V，从而平差结果为 （4-47）特别地，当P为对角阵时，即观测值之间相互独立，则法方程（4-44）的纯量形式为： （4-48）按间接平差法求平差值的计算步骤：（1）根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数；（2）将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数非线性要将其线性化，列出误差方程（4-41）；（3）由误差方程系数B和自由项组成法方程（

36、4-44），法方程个数等于参数的个数t ；（4）解算法方程，求出参数，计算参数的平差值；（5）由误差方程计算V，求出观测量平差值；（6）评定精度。4.4本章小结本章从简单水准路线的内业处理和水准网的平差处理两方面阐述了水准测量中误差来源的内业控制。我从中认识到误差不可避免，但这更要求我们不管是外业测量，还是内业处理都要我们有一颗强烈的责任心，认真做好内业处理，反复检查。使误差达到最小，以提高我们的测量精度。第5章总结与展望5.1总结本文阐述了水准测量的误差来源有三个方面: 仪器误差（系统误差）；观测误（偶然误差）；外界条件影响。以及相应的控制方法：讨论这些误差的性质来源和它们对测量成果的影响是为了在实际作业中尽可能避免和减弱它们以提高测量精度。在实际作业中，就应该要求作业人员提高理论水平增加外业作业水平，不断积累工作经验，尽可能地消除或减弱误差观测精度。5.2展望虽然测量误差是不可避免的，也无法完全消除其影响，但是只要掌握了误差产生的规律，采取相应的措施，就可将其消减到最小（允许范围内），要达到这一目标，就需要观测者在测量过程中对每一个数字每一步操作都要认真，不出差错；要认识到偶尔的粗心大意就会造成局部或全部返工。测量工作又是一项集体完成的任务，还