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1、一元二次方程的解法zxxk,直接开平方法,因式分解法,知识回顾,一元二次方程的一般形式是什么?,ax2+bx+c=0（a0）,ax 2 叫做二次项，a 叫做二次项系数，a0,bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，,c 叫做常数项,新课讲解：,解下列方程:,（1）x2=4,（2）x2 1=0,解：,即 x=2,直接开平方法,解:(x+1)(x-1)=0,x+1=0,或 x-1=0,x1=-1,x2=1,因式分解法zxxk,思考:,(1)方程 x2=4 能否用因式分解法来解?,(2)方程 x2-1=0能否用直接开平方来解?,x1=2,x2=-2,例1.解下列方程:,(1)x2 2=0,(2)16
2、x2 25=0,解:,x2=2,解:,例题,例2.解下列方程:,(1)3x2+2x=0,(2)x2=3x,解:,x(3x+2)=0,x=0 或 3 x+2=0,解:,x2 3 x=0,x(x 3)=0zxxk,x1=0 x2=3,例题,知识点总结,一元二次方程解法:,(1)直接开平方法,(2)因式分解法,（2）当右边为零，而左边可以分解因式时，可以用因式分解法.,（1）当左边是一个完全平方形式，而右边是一个非负常数时，用直接开平方法非常简单；,(1)x2=169,(2)45 x2=0,(3)12 y225=0,(4)x2 2 x=0,(5)(t-2)(t+1)=0,(6)x(x+1)5 x=0
3、,1.解下列方程:,演练,x1=13,x2=-13,x1=,x2=-,x1=,x2=-,x1=0,x2=2,t1=2,t2=-1,x1=0,x2=4,例3.解下列方程：,分析:两个方程都可以转化为2=a的形式，用直接开平方法解,解:,x12,x1-1,x2 3,原方程可以变形为,有,得,例题,思考：这两个方程能否使用因式分解法来解？如果可以，比较一下哪种方法更简单?,此题利用因式分解法解比较困难,所以应该用直接开平方法来解.,得 x1=-3,x2=1,解法二：,方程左边分解因式:,(x+1+2)(x+1-2)=0,x+3=0 或 x-1=0,我们在解一元二次方程时,应该视情况选择合适的方法,读
4、一读,移项,得x(3x2)=6(3x2),小张和小林一起解方程 x(3x2)-6(3x2)=0,小张将方程左边分解因式，得(3x2)(x6)=0,所以 3x20 或 x60,得,小林的解法是这样的：,方程两边都除以 3x2,得 x6,小林说：“我的方法多简便！”,小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？,形如 ax2=b(a 0)的方程,我们可以用直接开平方法;,本节课我们学习了用直接开平方法和因式分解法解稍复杂的一元二次方程.,比较容易分解成两个一次因式的积的方程,应该运用因式分解法.,在用因式分解法的时候,注意不要丢根.,小结,一元二次方程的解法,配方法,（1）x2+2x=5,（2）x2-4x+
5、3=0,思考：,例1.,解下列方程：,（1）原方程两边都加上1，得,解:,x2+2x+1=6,6,(x+1)2,即:_=_,x+1,_,_,（1）x2+2x=5,（2）x2-4x+3=0,例1.,解下列方程：,x2=1,x1=3,第（2）小题还可以用其他的方法来解吗？,（因式分解法）,（2）原方程化为,解:,x2-4x+4=-3+4,1,(x-2)2,即:_=_,x-2,1,_,_,归 纳:,上面，我们把方程 x2 4x+3=0 变形为(x-2)2=1,这种解一元二次方程的方法叫做配方法,它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而能直接开平方求解,用配方法解下列方程：,例2
6、,(1)x2-6x-7=0,即:(x-3)2=16,移项,得,方程左边配方，得,x 3=4,得 x1=7,x2=-1,解:,x2 2x3+32=7+32,(2)x2+3x+1=0,解:移项,得,方程左边配方，得,即:,x2+3x=-1,x2-6x=7,1填空：,(1)x2+6x+()=(x+)2,9,3,(2)x2-8x+()=(x-)2,4,(4)4x2-6x+()=4(x-)2=(2x-)2,(3)x2+x+()=(x+)2,16,2用配方法解下列方程：,(1)x2+8x 2=0,(2)x2-5x-6=0,演练,x1=,x2=,x1=-1,x2=6,例.用配方法解方程:,x2+px+q=0
7、(p 2 4q 0),移项，得,解:,x2+px=-q,方程左边配方，得,即,得,注：当系数为字母时,配方还是与数字系数一样的.,如何用配方法解下列方程？,注：当二次项系数不为1时,在使用配方法的时候只要先将二次项系数化为1之后就和二次项系数为1的方程用同样的步骤进行配方即可.,思 考:,(1)3x2-6x-1=0,(2)2x24=5x,(3)12t+3 t 2-2=0,用配方法解下列方程:,(1)3x2-6x-1=0,(2)2x24=5x,解:,演练,解:,(3)12t+3 t 2-2=0,解:,演练,一元二次方程的解法,公式法,用配方法解一元二次方程a bxc0（a0）,解:a0,方程两边
8、都除以a,得,移项,得,配方,得,a0,所以4a2 0,当b24ac0时,直接开平方,得,一元二次方程ax2bxc0 的求根公式：,利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的根这种解方程的方法叫做公式法,例1用公式法解下列方程：,（1）2x2x60；（2）x24x2；,解:(1)a2,b1,c6,b24ac 1242(6)14849，,(2)将方程化为一般式,得,x24x20,b24ac24，,a=1，b=4，c=-2,(3)5x2-4x-120;(4)4x2+4x+101-8x,解：原方程整理，得 4x 2 12x90,注：当 时方程有两个相等的实数解.,解：,
9、竖直上抛物体的高度h和时间t符合关系式.爆竹点燃后以初速度v0=20米/秒上升，经过多少时间爆竹离地15米？（重力加速度g10米/秒）,解:当v0=20,h=15时，,答:经过1s或3s爆竹离地15m.,经检验：t1，t2均符合题意,练习,小结：,公式法适用于所有的一元二次方程，在使用求根公式的时候一定要先将方程转化成一元二次方程的一般形式，才能正确地确定方程的系数.,回顾梳理：,解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何选择的？,一般情况下，形如 的方程适合用直接开平方法，其中x还可以表示含有未知数的整式；比较容易分解成两个一次因式的积等于0的方程应该用因式分解法；当二次项系数为1而一次项系数
10、为偶数的时候比较适合用配方法；公式法适用于所有的方程.,用合适的方法解方程：,如何来判断一个一元二次方程的解的情况呢？,思考,一元二次方程 当且仅当系数a、b、c满足条件 时有实数根,当且仅当 b2 4ac0时，右式 有平方根.直接开平方，得,一元二次方程ax2 bxc0（a0）的根有三种情况：,当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根；,当b24ac0时，方程有两个相等的实数根；,当b24ac0时，方程没有实数根,这里的 b24ac 叫做一元二次方程的根的判别式,记作.,例1.不解方程，判断下列关于x的方程的根的情况：,解:(1)a=2，b=3，c=-4，原方程有两个不相等的实数根.,(2)原方程化为一般式得:原方程有两个相等的实数根.,解：原方程化为,原方程没有实数根,原方程有两个实数根,例2.m取什么值时，关于x的方程 有两个相等的实数根？求出这时方程的根,运用,解：a=2，b=-（m+2），c=2m-2，,原方程有两个相等的实数根,例3.求证：无论k为何值时，关于x的方程 都没有实数根.,运用,无论k取何值，原方程都没有实数根.,证明：,本节课我们学习了用判别式来判断一元二次方程根的情况，注意要在方程是一般式的情况下来确定a、b、c的值，反过来当我们已知方程根的情况我们就能判断出判别式的符号从而来求出方程中字母的值.,课堂小结：,
