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1、二次函数与几何综合1朝阳区25已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，3），过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线y= x+5经过D、M两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）连接AM、AC、BC，试比较MAB和ACB的大小，并说明你的理由.2崇文区25已知：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，直线与该二次函数的图象交于D、B两点，其中点D在y轴上，点B的坐标为（3，0）.（1）求k的值和这个二次函数的解析式；（2）设抛物线的顶点为C，点F为线段DB上的一点，且使得DCF=ODB，求出此时点F的坐标
2、；（3）在（2）的条件下，若点P为直线DB上的一个动点，过点P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E.问：是否存在这样的点P，使得以点P、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.3昌平24.已知抛物线y= - x2 + m x n 的对称轴为x= -2，且与x轴只有一个交点.（1）求m，n的值；（2）把抛物线沿x轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C，求抛物线C的解析式；（3）已知P是y轴上的一个动点，定点B的坐标为（0，1），问：在抛物线C上是否存在点D，使BPD为等边三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理
3、由.4朝阳区24. 抛物线与x轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6.（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点P，使得SPAM=3SACM，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.5、（广东省深圳市）如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OBOC ，tanACO（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x
4、轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积.6、（四川资阳）如图，已知点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线（1）求抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交O于点D，连结BD，求直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物
5、线上是否存在点P，使得PDBCBD?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由7（2009年广东广州）如图13，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ABC的面积为。（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。8（2009年潍坊市）24如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点（
6、1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由OxyNCDEFBMA9（2009年山东临沂市）26（本小题满分13分）如图，抛物线经过三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标OxyABC41（第26题图）10（2009年四川遂宁市）25.如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的
7、横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由1、25解：（1）CDx轴且点C（0，3），设点D的坐标为(x，3) 直线y= x+5经过D点，3= x+5x=2即点D(2，3) 根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（1，y），又直线y= x+5经过M点，y =1+5，y =4即M（1，4）设抛物线的解析式为点C（0，3）在抛物线上，a=1即抛物线的解析式为3分（2）作BPAC于点P，MNAB于点N由（1）中抛物线
8、可得点A（3，0），B（1，0），AB=4，AO=CO=3，AC=PAB45ABP=45，PA=PB=PC=ACPA=在RtBPC中，tanBCP=2在RtANM中，M（-1，4），MN=4AN=2tanNAM=2BCPNAM即ACBMAB8分2崇文区25解：（1） 直线经过点B（3，0）， 可求出. 1分由题意可知， 点D的坐标为（0，3）. 抛物线经过点B和点D， 解得 抛物线的解析式为.3分 （2）在线段DB上存在这样的点P，使得DCP=ODB .如图，可求顶点C的坐标为（1，4）.由题意，可知ODB45.过点D作此抛物线对称轴的垂线DG，可知DG=CG=1,所以此时DCG=45,点F的
9、坐标为（1，2）. 5分 （3）存在这样的点P，使得以点P、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.由题意知PECF， 要使以点P、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形只要满足PE=CF=2即可. 点P在直线DB上， 可设点P的坐标为 （）. 点E在抛物线 上， 可设点E的坐标为 （）. 当时，解得 ； 当时，解得 . 不合题意，舍去. 满足题意的点P的横坐标分别为. 8分说明：本试卷中的试题都只给出了一种解法，对于其他解法请参照评分标准相应给分.3昌平24解：（1）抛物线的对称轴为， -1分抛物线与轴只有一个交点 ， -2分 （2） ， 抛物线C的解析式为 -3分（3）假设点D存在，设D 作轴
10、于点，如图则a，b1 由DPB为等边三角形，得RtDHB中，HBD=60 D在抛物线C上 ， 或 或 满足条件的点存在，分别为 -7分5【思路点拨】（2）可先以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形时，求F点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。（3）讨论当直线MN在x轴上方时、当直线MN在x轴下方时二种情况。（4）构建S关于x的二次函数，求它的最大值。解：（1）由已知得：C（0，3），A（1，0） 将A、B、C三点的坐标代入得 解得： 所以这个二次函数的表达式为： （2）存在，F点的坐标为（2，3） 易得D（1，4），所以直线CD的解析式为：E点的坐标为（3，0） 以A、C、E、F为顶点的四边
11、形为平行四边形F点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，3）符合存在点F，坐标为（2，3） （3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，3），直线AG为设P（x，），则Q（x，x1），PQ 当时，APG的面积最大此时P点的坐标为， 6解：(1) 以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，OCA+OCB=90，又OCB+OBC=90，OCA=OBC，又AOC= COB=90，AOC COB，又A(1，0)，B(9，0)，解得OC=3(负值舍去)C(0，3)，设抛物线解析式为y=a(x+1)(x9)，3=a(0+1)(09)，解得a=，二次函数的解析
12、式为y=(x+1)(x9)，即y=x2x3 (2) AB为O的直径，且A(1，0)，B(9，0)，OO=4，O(4，0)，点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交O于点D，BCD=BCE=90=45，连结OD交BC于点M，则BOD=2BCD=245=90，OO=4，OD=AB=5D(4，5)设直线BD的解析式为y=kx+b（k0）解得直线BD的解析式为y=x9.(3) 假设在抛物线上存在点P，使得PDB=CBD，设射线DP交O于点Q，则分两种情况(如答案图1所示)：O(4，0)，D(4，5)，B(9，0)，C(0，3)把点C、D绕点O逆时针旋转90，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，因
13、此，点Q1(7，4)符合，D(4，5)，Q1(7，4)，用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x解方程组得点P1坐标为(，)，坐标为(，)不符合题意，舍去Q1(7，4)，点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2(7，4)也符合D(4，5)，Q2(7，4)用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x17解方程组得点P2坐标为(14，25)，坐标为(3，8)不符合题意，舍去符合条件的点P有两个：P1(，)，P2(14，25)7 25.解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OCAB=,得AB=， 设A（a,0）,B(b,0)AB=b-a=，解得p=,但p0,所以p=。 所以解析式为： （2
14、）令y=0，解方程得，得,所以A(,0),B(2,0),在直角三角形AOC 中可求得AC=,同样可求得BC=,，显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形。AB 为斜边，所以外接圆的直径为AB=,所以.（3）存在，ACBC,若以AC为底边，则BD/AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式 为y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4，解方程组得D（,9） 若以BC为底边，则BC/AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b，把 A(,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组得D() 综上，所以存在两点
15、：（,9）或()。8 24解：（1）圆心在坐标原点，圆的半径为1，点的坐标分别为抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点，2分点在抛物线上，将的坐标代入，得： 解之，得：抛物线的解析式为：4分（2）抛物线的对称轴为，OxyNCDEFBMAP6分连结，又，8分（3）点在抛物线上9分设过点的直线为：，将点的坐标代入，得：，直线为：10分过点作圆的切线与轴平行，点的纵坐标为，将代入，得：点的坐标为，11分当时，所以，点在抛物线上12分说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数9 26解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为将，代入，得解得此抛物线的
16、解析式为（3分）（2）存在（4分）如图，设点的横坐标为，OxyABC41（第26题图）DPME则点的纵坐标为，当时，又，当时，即解得（舍去），（6分）当时，即解得，（均不合题意，舍去）当时，（7分）类似地可求出当时，（8分）当时，综上所述，符合条件的点为或或（9分）（3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为过作轴的平行线交于由题意可求得直线的解析式为（10分）点的坐标为（11分）当时，面积最大（13分）10 25.设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k顶点C的横坐标为4，且过点(0，)y=a(x-4)2+k 又对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6A(1，0)，B(7，0)0=
17、9a+k 由解得a=，k=二次函数的解析式为：y=(x-4)2点A、B关于直线x=4对称PA=PBPA+PD=PB+PDDB当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值DB与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x轴交于点MPMOD，BPM=BDO，又PBM=DBOBPMBDO 点P的坐标为(4，)由知点C(4，)，又AM=3，在RtAMC中，cotACM=，ACM=60o，AC=BC，ACB=120o当点Q在x轴上方时，过Q作QNx轴于N如果AB=BQ，由ABCABQ有BQ=6，ABQ=120o，则QBN=60oQN=3，BN=3，ON=10，此时点Q(10，)，如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，)当点Q在x轴下方时，QAB就是ACB，此时点Q的坐标是(4，)，经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上综上所述，存在这样的点Q，使QABABC点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)
