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1、1、把上述参数代入，求解系统的实际模型；a) 摆杆角度和小车位移之间的传递函数；M=1.096;m=0.109;b=0.1;l=0.25;I=0.0034;g=9.8;n1=m*l 0 0;d1=I+m*l2 0 -m*g*l;Phi1=tf(n1,d1)返回：Transfer function: 0.02725 s2-0.01021 s2 - 0.2671b) 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数；继续输入： n2=m*l;d2=d1; Phi2=tf(n2,d2)返回：Transfer function: 0.02725-0.01021 s2 - 0.2671c) 摆杆角度和小车所受外界作用
2、力的传递函数；继续输入：q=(M+m)*(I+m*l2)-(m*l)2; n3=m*l/q 0 0;d3=1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0;Phi3=tf(n3,d3)返回：Transfer function: 2.357 s2-s4 + 0.08832 s3 - 27.83 s2 - 2.309 sd) 以外界作用力作为输入的系统状态方程；继续输入：q2=(I*(M+m)+M*m*l2);A1=0 1 0 0;0 -(I+m*l2)*b/q2 m2*g*l2/q2 0;0 0 0 1;0 -m*l*b/q2 m*g*l*(M+m)/q2 0
3、;B1=0;(I+m*l2)/q2;0;m*l/q2;C1=1 0 0 0;0 0 1 0;D1=0;0;sys1=ss(A1,B1,C1,D1)返回：a = x1 x2 x3 x4 x1 0 1 0 0 x2 0 -0.08832 0.6293 0 x3 0 0 0 1 x4 0 -0.2357 27.83 0 b = u1 x1 0 x2 0.8832 x3 0 x4 2.357 c = x1 x2 x3 x4 y1 1 0 0 0 y2 0 0 1 0 d = u1 y1 0 y2 0e) 以小车加速度作为输入的系统状态方程；继续输入：A2=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1
4、;0 0 3/(4*l) 0;B2=0;1;0;3/(4*l);C2=C1;D2=D1;sys2=ss(A2,B2,C2,D2)返回：a = x1 x2 x3 x4 x1 0 1 0 0 x2 0 0 0 0 x3 0 0 0 1 x4 0 0 3 0 b = u1 x1 0 x2 1 x3 0 x4 3 c = x1 x2 x3 x4 y1 1 0 0 0 y2 0 0 1 0 d = u1 y1 0 y2 02、根据倒立摆系统数学模型（以小车的加速度为输入的模型，即sys2），判断开环系统的稳定性、可控性和可观性；稳定性：继续输入：eig(A2)返回：ans = 1.7321 -1.732
5、1 0 0有一个位于正实轴的根和两个位于原点的根，表明系统是不稳定的。可控性和可观性：继续输入：Qc2=ctrb(A2,B2)Qo2=obsv(A2,C2)Rc2=rank(Qc2)Ro2=rank(Qo2)返回：Qc2 = 0 1 0 0 1 0 0 0 0 3 0 9 3 0 9 0Qo2 = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3Rc2 = 4Ro2 = 4可控性和可观性判别矩阵是满秩的，所以系统完全能控，完全能观。3、利用matlab画出倒立摆系统（以小车的加速度为输入的模型）阶跃响应曲线；继续输入
6、：step(sys2)得到：可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。4.利用matlab画出倒立摆系统（以小车的加速度为输入的模型）的根轨迹；继续输入：A2_1=0 1;0 0;B2_1=0;1;C2_1=1 0;D2_1=0;sys2_1=ss(A2_1,B2_1,C2_1,D2_1);A2_2= 0 1;3/(4*l) 0;B2_2=0;3/(4*l);C2_2=1 0;D2_2=0;sys2_2=ss(A2_2,B2_2,C2_2,D2_2);rlocus(sys2_1)rlocus(sys2_2)得到：直线倒立摆 MATLAB 仿真实验在MATLAB下绘制原系统（
7、Phi2）的Bode图和乃奎斯特图。继续输入：bode(Phi2)，grid继续输入：margin(Phi2)得到幅值裕量和相角裕量输入nyquist(Phi2)得到乃奎斯特曲线：可以得到，系统没有零点，但存在两个极点，其中一个极点位于右半s 平面，根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是：当 从 到+ 变化时，开环传递函数G( j ) 沿逆时针方向包围-1 点p 圈，其中p 为开环传递函数在右半S 平面内的极点数。对于直线一级倒立摆，由奈奎斯特图我们可以看出，开环传递函数在S 右半平面有一个极点，因此G( j ) 需要沿逆时针方向包围-1 点一圈。可以看出，系统的奈奎斯特图并没有逆
8、时针绕-1 点一圈，因此系统不稳定，需要设计控制器来镇定系统。2、超前校正控制设计（绘制校正后系统的Bode图和乃奎斯特图）直线一级倒立摆的频域法设计结构图如4-1所示。其中G(s)为直线一级倒立摆的开环传递函数，G (s) c 为超前校正控制器。n1、 设计控制器G (s) c ，使得系统的静态误差位置系数为10，相位裕量为50，增益裕量等于或大于10db。继续输入：Pm2=55*pi/180;%超前矫正设计，将期望相角裕量换算成弧度s=tf(s);%定义s为传递函数变量Phi2_0=10/(0.01021/0.2671)*s2-1);%矫正前系统开环传递函数，取静态位置误差系数为10mag
9、2,phase2,w=bode(Phi2_0);alfa=(1-sin(Pm2)/(1+sin(Pm2);%计算a值adb=20*log10(mag2);am=10*log10(alfa);wc=spline(adb,w,am);%计算期望的矫正后系统穿越频率T=1/(wc*sqrt(alfa);alfaT=alfa*T;Gc2=tf(T 1,alfaT 1)%得到Gc(s)返回：Transfer function:0.1044 s + 1-0.01383 s + 1上式即为超前矫正器。n2、 绘制校正后系统的Bode图和和乃奎斯特图，读出校正后系统的相位裕量和幅值裕量，判断是否满足要求的相位
10、裕量和幅值裕量。继续输入：margin(Gc2*Phi2_0)%绘制系统伯德图并求出幅值裕量和相角裕量继续输入：nyquist(Gc2*Phi2_0)实验三：经典控制理论 一级倒立摆的PID 控制仿真实验Kp=9时：Kp=40：Kp=40，Ki=0，Kd=4：Kp=40，Ki=0，Kd=10：Kp=40，Ki=20，Kd=4：Kp=40，Ki=40，Kd=4：实验四：现代控制理论 一级倒立摆的极点配置控制仿真实验n 1、设计极点配置控制器u= -Kx，要求系统的调节时间大约为3秒和阻尼比为0.5；由前面实验可知，以小车加速度为输入时，系统完全能控，完全能观。输入：M=1.096;m=0.109
11、;b=0.1;l=0.25;I=0.0034;g=9.8;q=(M+m)*(I+m*l2)-(m*l)2;n1=m*l 0 0;d1=I+m*l2 0 -m*g*l;Phi1=tf(n1,d1);n2=m*l;d2=d1;Phi2=tf(n2,d2);n3=m*l/q 0 0;d3=1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0;Phi3=tf(n3,d3);q2=(I*(M+m)+M*m*l2);A1=0 1 0 0;0 -(I+m*l2)*b/q2 m2*g*l2/q2 0;0 0 0 1;0 -m*l*b/q2 m*g*l*(M+m)/q2 0;B1
12、=0;(I+m*l2)/q2;0;m*l/q2;C1=1 0 0 0;0 0 1 0;D1=0;0;sys1=ss(A1,B1,C1,D1);A2=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 3/(4*l) 0;B2=0;1;0;3/(4*l);C2=C1;D2=D1;sys2=ss(A2,B2,C2,D2);A2_1=0 1;0 0;B2_1=0;1;C2_1=1 0;D2_1=0;sys2_1=ss(A2_1,B2_1,C2_1,D2_1);A2_2= 0 1;3/(4*l) 0;B2_2=0;3/(4*l);C2_2=1 0;D2_2=0;sys2_2=ss(A2_2,B2_
13、2,C2_2,D2_2);P2_1=-1/2+1.732/2*j -1/2-1.732/2*j; K2_1=place(A2_1,B2_1,P2_1) % 配置极点P2_2=P2_1;K2_2=place(A2_2,B2_2,P2_2) % 配置极点返回：K2_1 = 1.0000 1.0000K2_2 = 1.3333 0.3333n 2、绘制原系统的脉冲响应曲线；系统sys2_1的单位脉冲响应：输入：impulse(sys2_1)系统sys2_的单位脉冲响应：输入：impulse(sys2_2)n 3、绘制校正后（极点配置）系统的脉冲响应曲线；校正后的系统矩阵分别变为：A=A-B*K B=B C=C D=D;故继续输入：（1）sys2_1_K2_1=ss(A2_1-B2_1*K2_1,B2_1,C2_1,D2_1);impulse(sys2_1_K2_1)得到（2）sys2_2_K2_2=ss(A2_2-B2_2*K2_2,B2_2,C2_2,D2_2);impulse(sys2_2_K2_2)
