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1、 完全信息动态博弈博弈中的得益，是各参与人追求的根本目标，关于得益的信息是博弈中最重要的信息之一。在一些博弈中参与人对自己的得益情况完全清楚，对其他参与人的得益也都很清楚，如前面介绍过的囚徒困境，猜硬币等；还有一些博弈中，参与人对其他参与人的得益情况并不了解，例如投标、拍卖活动中，各参与人对其他参与人的标的的估价很难了解，即使最后的成交价是明确的，但各参与人仍然无法知道其他参与人中标、拍得标的的真正得益是多少。一般地，参与人完全了解所有参与人的得益情况的博弈称为“完全信息博弈”，不完全了解其他参与人的得益情况的博弈称为“不完全信息博弈”。博弈中的过程，是博弈结构的重要部分，根据博弈过程的不同，
2、可以将博弈分为：“静态博弈”、“动态博弈”和“重复博弈”。如果参与人选择战略时是同时或可以看作同时的博弈称为“静态博弈”；若各参与人战略的选择和行动不仅有先后顺序，后选择、后行动的参与人在自己选择行动之前，可以看到前面的过程，这种博弈称为“动态博弈”（也称为“多阶段博弈”）。动态博弈中在轮到行为时对博弈的进程完全了解的参与人，称为具有“完美信息”的参与人，如果动态博弈的所有参与人都有完美信息，称为“完美信息的动态博弈”。相应的轮到行为时对博弈的进程不完全了解的参与人，称为具有“不完美信息”，这样的动态博弈称为“不完美信息的动态博弈”。1 完全且完美信息动态博弈动态博弈中一个参与人的一次行为称为
3、一个“阶段”。由于每个参与人在动态博弈中可能不止一次行为，因此，每个参与人在一个动态博弈中就可能有数个甚至许多个博弈阶段。动态博弈一般用扩展形表示，括弧中前一个数字代表乙的得益，后一个数字代表甲的得益。动态博弈的一个中心问题是“可信性”问题。所谓可信性是指动态博弈中先行为的参与人是否该相信后行为的参与人会采取对自己有利的或不利的行为。因为后行为方将来会采取对先行为方有利的行为相当于一种“许诺”，而将来会采取对先行为方不利的行为相当于一种“威胁”，因此我们可将可信性分为“许诺的可信性”和“威胁的可信性”。1.1开金矿博弈我们以“开金矿博弈”为例来讨论可信性问题。甲要开采一价值4万元的金矿，缺1万
4、元的资金，向乙借1万元，许诺采到金子后与乙平分。乙是否借钱给甲呢？图1乙最需要关心的就是甲采到金子后是否会履行诺言跟自己平分，因为万一甲采到金子后不但不跟乙平分，而且还赖帐或卷款潜逃，则乙连自己的本钱都收不回来。关键的是要判断的许诺是否可信！以自身利益最大化原则，甲必然选择不分！ 乙清楚甲的行为准则，最好的选择是不借！对乙来说，甲的许诺是不可信的！要想使甲的许诺成为可信的，加上第三阶段，让乙在甲违约时采用法律手段-“打官司”，乙的利益受到法律保护，甲的许诺是可信的。乙在第一阶段选择借，甲在第二阶段选择分。 图2 可信的诺言和威胁 图3 法律保障不足的开金矿博弈在第三阶段乙打官司不能收回本钱，还
5、要承受1万元的损失，这时乙打官司的威胁是不可信的。本博弈的分析可以看出，在一个个体都有私心，都只注重自身的利益的社会里，完善公正的法律制度不淡能够保障社会的公平，还能提高社会经济活动的效率，是实现最有效率的社会分工的重要保障。可信性是动态博弈分析的一个中心问题。1.2逆推归纳法分析动态博弈的方法是从最后一个阶段参与人的行为开始分析，逐步倒退回前一个阶段相应参与人的行为选择，一直到第一阶段的方法，称为“逆推归纳法”。逆推归纳法实际上是重复剔除劣战略方法在扩展式博弈中的应用。我们从最后一个决策结开始往回倒推，每一步剔除在该决策结上参与人的劣选择，因此，在均衡路径，每一个参与人在每一个信息集上的选择
6、都是占优选择。逆推归纳法可以用于许多动态博弈的分析求解，除了有些不完美信息动态博弈以外，是解析动态博弈的基本方法。在分析动态博弈问题时，我们必须发展新的均衡概念。2 子博弈完美纳什均衡动态博弈中存在不可信的行为选择，纳什均衡具有不稳定性。为了排除不可信的威胁或承诺因素，博弈理论又一次得到了发展，泽尔腾（1965）提出了“子博弈完美纳什均衡”，用来分析动态博弈。子博弈完美纳什均衡要求均衡战略的行为在每一个信息集上都是最优的。为此，我们首先引进“子博弈”的概念。简单的说，子博弈是原博弈的一个局部构成的次级博弈，它本身可以作为一个独立的博弈进行分析。2.1子博弈定义8.1 由一个动态博弈第一阶段以外
7、的某个阶段开始的后续博弈阶段构成，它必须有初始信息集，具备进行博弈所需要的各种信息，能够自成一个博弈的原博弈的一部分，称为原动态博弈的一个“子博弈”。以三阶段开金矿博弈为例，如果乙在第一阶段选择了“借”，动态博弈进行到第二阶段甲作选择。这时甲选择是否分成，然后轮到乙作选择是否打官司。这本身构成了一个两阶段的动态博弈，是原博弈的一个“子博弈”。当甲选择不分，博弈进行到乙选择打官司还是不打的第三阶段，是子博弈的子博弈，称后面的子博弈是原博弈“的二级子博弈”。如图中两层虚线框出。图4 开金矿博弈的两级子博弈例如，开金矿博弈，两个虚线框代表两个“子博弈”。应用逆推归纳法分析，在最后的子博弈中，乙在“打
8、官司”和“不打”中选择“打官司”，因为10，成为图5；这时甲在分与不分中选择分，因为21，成为图6；第一阶段乙的选择是借。 图5 开金矿（守信）-逆推第一步 图6开金矿（守信）-逆推第二步上面用逆推归纳法导出的动态博弈的结果是由各阶段轮到行为的参与人的一种行为依次构成的，在开金矿博弈中结果为(借，分)，是由乙在第一阶段的借和甲在第二阶段的分构成。当然该博弈本来应该有三个阶段，但当甲在第二阶段选择分时第三阶段就没有必要进行下去了，因此结果中只有两个阶段的行为。需要注意的是乙的第三阶段虽然没有进行，但是它是保证第二阶段甲选择分的关键，所以乙的战略中必须包含这个选择。2.2子博弈完美纳什均衡有了子博
9、弈的概念，我们引进适合动态博弈的新的均衡概念，它必须满足(1)既是纳什均衡，从而具有战略稳定性，(2)又不能包含任何的不会信守的许诺或威胁。这样的动态博弈的战略组合称为“子博弈完美纳什均衡”。定义8.2 如果动态博弈中各参与人的策略在动态博弈本身和所有子博弈中都构成一个纳什均衡，则称该策略组合为一个“子博弈完美纳什均衡”。“子博弈完美纳什均衡”是分析动态博弈，或者说完全且完美信息动态博弈的关键概念。而逆推归纳法正是(至少在完美信息动态博弈范围之内)寻找动态博弈的子博弈完美纳什均衡的基本方法。子博弈完美纳什均衡能够排除均衡策略中不可信的威胁或许诺，就意味着每阶段各参与人的选择都是按最大利益原则决
10、策的，因此在每个子博弈中都只能采用纳什均衡的策略或行为选择。3 应用举例3.1寡占的斯塔克博格(Stackelberg)模型斯塔克博格模型是一种动态的寡头市场博弈模型。该模型假设寡头市场上的两个厂商中，一方较强一方较弱。较强的一方领先行动，而较弱的一方则跟在较强的一方之后行动。由于该模型中两厂商的选择是有先后的，且后一厂商(跟随者看着前一厂商的选择的，因此这是一个动态博弈。但是，因为两参与人的决策内容是产量水平，而可能的产量水平有无限多个，因此这是一个双方都有无限多种可能的选择的无限策略博弈。斯塔克博格模型与古诺模型相比，唯一的不同是前者有一个选择的次序问题，其他如参与人、策略空间和得益函数等
11、完全都是相同的。价格函数：；产品完全相同（没有固定成本，边际成本相等）；总产量（连续产量）；总成本分别为：。得益函数：根据逆推归纳法的思路，我们首先要分析第二阶段厂商2的决策，为此，我们先假设厂商1的选择为是已经确定的。这实际上就是在定的情况下求使实现最大值的，它必须满足： 8.1实际上它就是厂商2对厂商1的策略的一个反应函数。厂商1知道厂商2的这种决策思路，因此他在选择的时就知道是根据(1)式确定的，因此可将(1)式代入他自己的得益函数，然后再求其最大值。 8.2上式对的导数为0，可得，双方的得益分别为4.5和2.25。与两寡头同时选择的古诺模型的结果相比，斯塔克博格模型的结果有很大的不同。
12、它的产量大于古诺模型，价格低于古诺模型，总利润(两厂商得益之和)小于古诺模型。但是，厂商1的得益却大于古诺模型中厂商1的得益，更大于厂商2的得益。这是因为该模型中两厂商所处地位不同，厂商1具有先行的主动，且他又把握住了理性的厂商2总归会根据自己的选择而合理抉择的心理，选择较大的产量得到了好处。结论：本博弈也揭示了这样一个事实，即在信息不对称的博弈中，信息较多的参与人(如本博弈中的厂商2，他在决策之前可先知道厂商1的实际选择，因此他拥有较多的信息)不一定能得到较多的得益。这一点也正是多人博弈与单人博弈的不同之处。3.2工会和厂商的博弈里昂惕夫(Leontief)1946年提出了一个工会和厂商之间
13、关于工资和雇佣的博弈模型。假设完全由工会决定工资，而厂商则根据工资的高低决定雇佣工人的数量。假设工会和厂商之间关于工资率和雇佣数的博弈过程是这样的：首先由工会决定工资率，然后厂商根据工会决定的工资率决定雇佣多少劳动，工会和厂商选择的内容分别是工资率和雇佣数。工会的效用必然是工资和雇佣数人两者的函数，即；假设收益是劳动雇佣数L的函数，厂商的利润也是工资率和劳动雇佣数的函数得益：效用和利润 我们用逆推归纳法来解这个博弈，第一步我们先求第二阶段(最后一阶段)厂商对工会的工资率的反应函数，应该是下面最大值问题的解。经济意义是厂商增加雇佣的边际收益(雇佣最后一个单位劳动所能增加的收益)要等于工资率(边际
14、成本)。 的距离最大，而这距离当然就是厂商的利润了。图7 厂商的反应函数图8 工会的无差异曲线第二步回到第一阶段工会面临的选择。由于工会了解厂商的决策规则和方法，因此它完全清楚对应自己的每种工资率，厂商将会选择的雇佣数一定是。 工会需要解决的决策问题就变成如下的最大值问题，即如何选择使它满足：该博弈的均衡解就是，因为该路径中不包含任何不会信守的威胁或诺言,因此它是一个子博弈完美纳什均衡。根据工会的效用函数作出它在和之间的无差异曲线，如图8，则越是位置高的无差异曲线越代表工会的效用较高。3.3讨价还价博弈 假设有两人就如何分割1万元进行谈判，并且已经定下了这样的规则：首先由参与人1提出一个分割比
15、例，对此，参与人2可以接受也可以拒绝；如果参与人2拒绝参与人1的方案，则他自己应提出另一个方案，让参与人1选择接受与否。如此循环。在上述循环过程中，只要有任何一方接受对方的方案博弈就告结束，而如果方案被拒绝，则被拒绝的方案就与以后的讨价还价过程不再有关系。由于谈判费用和利息损失等，双方的得益都要打一次折扣，折扣率为，我们称它为消耗系数。如果限制讨价还价最多只能进行三个阶段，到第三阶段乙必须接受甲的方案，这就是一个三阶段的讨价还价博弈。 图9 三阶段讨价还价本博弈有两个关键点:第一是第三阶段参与人1的方案是有强制力的，即进行到这一阶段，参与人1提出的分割：是双方必须接受的，并且对这一点两参与人都
16、非常清楚。第二是多进行一个阶段总得益就会减少一个比例，因此对双方来说都是让谈判拖得太长是不利的，必须让对方得的数额，不如早点让他得到，免得自己的得益每况愈下。下面是对三阶段谈判博弈时序的更为详细的描述： 在第一阶段开始时，参与人1建议他分走1万元的，留给参与人2的份额为；参与人2或者接受这一条件(这种情况下，博弈结束，参与人1的收益为，参与人2的收益为)，或者拒绝这一条件(这种情况下，博弈将继续进行，进入第二阶段)； 在第二阶段的开始，参与人2提议参与人1分得1万元的，留给参与人2的份额为(请注意在阶段t，总是表示分给参与人1的，而不论是谁先提出的条件)；参与人1或者接受条件(这种情况下，博弈
17、结束，参与人1的收益和参与人2的收益)，或者拒绝这一条件(这种情况下，博弈继续进行，进入第三阶段)；在第三阶段的开始，参与人1得到1万元的，参与人2得到，这里。用逆推向归纳法解出此三阶段博弈的解。首先分析博弈的第三阶段。参与人1提出的条件，参与人2必须接受，通常他会独得1万元！假定参与人1得到，参与人2得到，这时的得益分别为。逆推到博弈的第二阶段，参与人2怎样提出最优条件，才能使自己的得益最大？如果参与人2提出条件使参与人1的得益小于第三阶段的得益，那么参与人l一定会拒绝参与人2在这一阶段的条件，博弈进行到第三阶段。参与人2提出的条件既要满足参与人接受，又要使自己的得益比在第三阶段的得益大，才
18、是最优的条件。应满足参与人1的得益，即。这时参与人2的得益为。因为，该得益比第三阶段的得益要大一些。回到第一阶段参与人1的情况，他在一开始就知道第三阶段的得益是，也知道第二阶段参与人2的战略，他在第一阶段的最优条件就是：，即，是这个博弈的子博弈完美纳什均衡。这个博弈的问题和结果，在经济活动中有很多现实的例子，如利益的分配，债务纠纷，财产继承权的争执等。3.4国际竞争和最优关税现在我们对前面所讨论的博弈型加以丰富。在完全且完美信息动态博弈中，我们继续假定博弈的进行分为一系列的阶段，下一阶段开始前参与者可观察到前面所有阶段的行动。不同之处在于，这种模型中在某个阶段中存在着同时行动。我们主要讨论两阶
19、段各有两个参与人同时选择的动态博弈，更多阶段和更多参与人不过是两阶段的简单推广。一般地，我们假设： 1. 博弈中有四个参与人l，2，3，4。 2. 参与人l和参与人2在第一阶段同时在各自的可选战略集合A1和A2中分别选择a1和a2。3. 参与人3和参与人4在看到参与人1和参与人2的选择(a1，a2)以后，在第二阶段中，同时在各自的可选战略集合A3和A4中分别选择a3和a4 。 4. 所有参与人的得益都取决于a1，a2， a3和a4，参与人i的得益为ui(a1，a2， a3 ，a4)，是各参与人战略的函数。 许多经济学问题都符合以上的特点，经典的例子如，银行的挤兑，国际竞争和最优关税，工作竞争。
20、很多经济问题可以在上述条件稍加变动后建立模型。解决这类问题的方法仍然是逆向归纳的思想。下面我们以国际竞争和最优关税博弈为例来讨论这种具有同时选择的动态博弈，这是博弈理论在国际经济学中的应用。 设我们讨论的是两个相似的国家，我们分别称它们为国家1和国家2，国家1和国家2在本博弈中作为参与人是确定对进口商品征收关税的税率。 假设两国各有一个企业(可看作是国内所有企业的集合体)生产既内销又出口的相互竞争的商品，我们称它们为企业1和企业2。两国的消费者在各自的国内市场上购买国货或进口货。国家市场上的商品总量：，则市场出清价格：。企业生产供内销和供出口，因此，当，当。再设两企业的边际生产成本同为常数，且
21、都无固定成本，则企业的生产总成本为。当企业出口时，因为进口国征收的关税也是它的成本，设国家的关税率为，企业的出口成本为，国内销售成本仍为。假设首先由两国政府同时制订关税率；然后企业1和企业2根据，同时决定内销和出口产量。企业的利润：国家作为参与人的得益则是它们所关心的社会总福利，包括消费者剩余，本国企业的利润和国家的关税收入三部分：从第二阶段开始，假设两国已选择关税率分别为，则如果是在设定情况下两企业之间的一个纳什均衡，那么必须是下列最大值问题的解：由于利润可以分成企业在国内市场的利润和国外市场的利润两部分之和，且国内市场的利润取决于，国外市场的利润取决于，因此上述最大值问题就可分解为下列两个
22、最大值问题： 8.48.3如果没有关税，则本博弈就相当于是国内国外两个市场的古诺模型，两企业在两市场的均衡产量确实都为(ac)3，与古诺模型的均衡产量完全一样。由于有关税存在，一国的关税具有保护本国企业，提高本国企业国内市场占有率，打击外国企业的作用，也是世界各国普遍设置关税，想要提高本国关税的主要原因。 现在我们回到第一阶段两个国家之间的博弈，即两国家同时选择。因为国家1相国家2都清楚两国企业的决策方法，即知道当它们选定以后，两企业的均衡一定是，因此，两国的得益为，为了方便起见，我们简单地用，来表示上述两国的得益。国家要选择，满足上式达到最大，令导数为零时，解得：这就是两企业在第二阶段的最佳内销和出口产量选择。这是一个子博弈纳什均衡解。
