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1、导数选择题之构造函数法解不等式的一类题一、单选题1定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为 A B C D 2设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值围是（ ）A B C D 3定义在上的偶函数的导函数，若对任意的正实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值围为（ ）A B C D 4已知函数定义在数集上的偶函数，当时恒有，且，则不等式的解集为()A B C D 5定义在上的函数满足，则不等式的解集为（ ）A B C D 6设定义在上的函数满足任意都有，且时，有，则的大小关系是 （ ）A B C D 7已知偶函数满足，且，则的解集为A B C D 8定义在R
2、上的函数满足：是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A B C D 9已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）A B C D 10定义在上的函数f(x)满足，则不等式的解集为A B C D 11已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数若，则实数的取值围为（ ）A B C D 12已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对于xR，均有f(x)f(x)，则有（ ）A e2017f(2017)e2017f(0) B e2017f(2017)f(0)，f(2017)f(0)，f(2017)e2017f(0) D e2017f(2017)f(0)，f(20
3、17)e2017f(0)13已知可导函数的定义域为，其导函数满足,则不等式的解集为A B C D 14函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）A B C D 15已知函数的导数是，若，都有成立，则( )A B C D 16已知函数满足条件：当时，则下列不等式正确的是（ ）A B C D 17定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（ ）A B C D 18已知函数是偶函数，且当时其导函数满足，若，则（ ）A B C D 19设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值围是（ ）A B C D 参考答案1B【解析】【分析】构造函数，则得的单调性，再根据为
4、奇函数得，转化不等式为，最后根据单调性性质解不等式.【详解】构造函数，则，所以在上单独递减，因为为奇函数，所以.因此不等式等价于，即，选B.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等2A【解析】分析：构造函数，首先判断函数的奇偶性，利用可判断时函数的单调性，结合函数图象列不等式组可得结果.详解：设，则的导数为，因为时，即成立，所以当时，恒大于零，当时，函数为增函数，又，函数为定义域上的偶函数，当时，函数为减函数，又函数的图象性质类似如图，数形结合可得，不等式，或，可得或，使得成立的的取值围
5、是，故选A.点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题. 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.3A【解析】【详解】分析：构造新函数，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解详解：设
6、，则 ，由已知当时，在上是减函数，又是偶函数，也是偶函数，不等式即为，即，即故选A点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式解题关键是构造新函数新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造如，等等4B【解析】分析：设，结合求导法则，以及题中的条件，可以断定函数在相应区间上的单调性，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可.详解：设，所以，因为当时，有恒成立，所以当时，所以在上递增，因为，所以，所以是奇函数，所以在上递增，因为，所以，当时，等价于，所以，所以，当时，等价于，所以，所以，所以原不等式的解集为，故选B.点睛：该题考查的是有关函数的问题，结合题中所给
7、的条件，结合商函数求导法则构造新函数，结合函数的单调性与导数的符号的关系，得到相应的结果，在求时的情况的时候，可以直接根据函数是偶函数求得结果.5B【解析】分析：根据题意，设，对其求导分析可得在区间上递减，利用的值可得的值，进而将原不等式转化为，结合函数的单调性、定义域，分析可得答案.详解：根据题意，设，则，又由函数定义在上，且有，则，则在区间上递减，若，则，则，即不等式的解集为.故选：B.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系，关键是构造函数，并分析其单调性.6C【解析】根据题意，函数满足任意都有，则有，则是周期为的函数，则有 ，设，则导数为，又由时，则有，则有，则函数在上为减函数
8、，则有，即，又由 ，则有，变形可得，故选C.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.7C【解析】【分析】构造函数，由可得在递增，结合奇偶性转化原不等式为从而可得结果.【详解
9、】由得，令，时，递增，又时，不等式等价于是偶函数，也是偶函数，可得或，所以的解集为或，故选C.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.8B【解析】【分析】构造函数，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【详解】设， 则则，在定义域单调递增，则不等式的解集为故选【点睛】本题主要
10、考查了函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键。9A【解析】分析：先构造函数，再根据函数单调性解不等式.详解：令，因为，所以因此解集为 ，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等10C【解析】【分析】构造函数，可得，在上单调递增，原不等式等价于，利用单调性可得结果.【详解】设，由可得，所以在上单调递增，又因为，不等式等价于，因此，即等式的解集为，故选C.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中
11、数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.11D【解析】【分析】根据题意，构造函数，利用导数研究其单调性，可得 在上单调递减，将，转化为，即，从而可得实数的取值围.【详解】令，则.函数在上单调递减，即.且，解得.实数的取值围为故选D【点睛】本题考查利用导数研究不等式问题.利用导
12、数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“”和“”的联系构造函数.12D【解析】【分析】构造函数，由可得函数在上单调递减，利用单调性可得结果.【详解】构造函数，则，因为，均有，并且，故函数在上单调递减，即 ， 即，故选D.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类
13、不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.13B【解析】【分析】构造函数 ，将不等式转化为 ，再根据定义域以及单调性化简求解.【详解】令因为，所以因为在单调递减，所以，选B.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等14C【解析】分析：由题意构造函数求导可知函数是区间上的增函数，把原不等式转化为，结合求得x的围.详解：则函数是区间上的增函数.由不等式，得，解得，又由，得，即.
14、故选C.点睛：该题考查的是有关解不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点应用导数研究函数的单调性，构造新函数，结合题意求得对应的不等式的解集.15D【解析】分析：由题意构造函数，结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果.详解：令，则：，由，都有成立，可得在区间恒成立，即函数是区间单调递减，据此可得：，即，则.本题选择D选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使
15、用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.16C【解析】【分析】令，得到在递增，有，从而得到答案【详解】构造函数. 在 恒成立， 在上是增函数， 得，故选.【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）=x2f（x）-x2是解题的关键，属中档题17D【解析】【分析】：先构造的原函数，由此题意，得出原函数单增函数，由此判断函数值的大小。【详解】：先构造的原函数，因为，则，那么在不等式的两边同时乘以不等号不变，所以原函数单增函数，由此，
16、所以，所以A错，所以B错 ，所以C错故选D。【点睛】：已知抽象函数的性质解不等式的基本解法有两种：（1）构造满足题目条件的特殊函数，（2）还原抽象函数，利用抽象函数的性质求解。18B【解析】分析：先根据函数图象的平移，得到函数的图象关于直线对称，再通过讨论导数的符号得到函数的单调性，将，转化到同一个单调区间上进行比较大小详解：是偶函数，图象关于轴对称， 的图象关于直线对称当时，即函数在上为增函数，则即故选点睛：本题主要考查了导数在研究函数中的应用，由已知条件结合导数确定函数的单调性，然后判定大小关系，读懂题意，理解函数性质是关键，本题较为综合，有一定难度。19D【解析】分析：构造函数，可得在上
17、为减函数，可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，原不等式等价于或，解可得的取值围，即可得到结论.详解：根据题意，设，其导数，又由当时，则有，即函数在上为减函数，又由，则在区间上，又由，则，在区间上，又由，则，则在和上，又由为奇函数，则在区间和上，都有，或，解可得或，则的取值围是，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
