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1、第二十一讲圆的认识,一、圆的定义及圆的轴对称性1.定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转_,另一个端点A所形成的图形.2.轴对称性:圆是_,任何一条_都是它的对称轴.,一周,轴对称图形,直径所在直,线,二、垂径定理及推论1.垂径定理:垂直于弦的直径_,并且平分弦所对的_.2.推论:平分弦(不是直径)的直径_,并且平分弦所对的_.,平分弦,两条弧,垂直于弦,两条弧,三、圆周角定理及推论1.定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角_,都等于这条弧所对的圆心角的_.,相等,一半,2.推论:(1)半圆(或直径)所对的圆周角是_,90的圆周角所对的弦是_.(2)在同圆或等圆中,如果两个
2、圆周角_,它们所对的弧一定_.,直角,直径,相等,相等,四、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角_.,互补,【自我诊断】(打“”或“”)1.直径是圆中最长的弦.()2.平分弦的直径一定垂直于弦.()3.相等的圆心角所对的弦相等.()4.90的圆心角所对的弦是直径.(),5.一条弦所对的圆周角一定是锐角.()6.如图,AB是O的直径,AOC=110,则D=35.(),考点一 垂径定理及其推论【示范题1】(2017长沙中考)如图,AB为O的直径,弦CDAB于点E,已知CD=6,BE=1,则O的半径为_.,【思路点拨】连接OC,由垂径定理知,点E是CD的中点,CE=CD,在RtOCE中,利用勾股定理
3、即可得到关于半径的方程,解方程求得圆的半径即可.,【自主解答】连接OC,如图所示:AB是O的直径,CDAB,CE=CD=6=3,OEC=90,设O的半径为x.则OC=x,OE=x-1,在RtOCE中,根据勾股定理得:CE2+OE2=OC2,即32+(x-1)2=x2,解得x=5.所以O的半径为5.答案:5,【答题关键指导】垂径定理运用中的“两注意”(1)两条辅助线:一是过圆心作弦的垂线,二是连接圆心和弦的一端(即半径),这样把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形中,运用勾股定理求解.,(2)方程思想:在直接运用垂径定理求线段的长度时,常常将未知的一条线段设为x,利用勾股定理构造关于x的方
4、程解决问题.,【变式训练】1.(2017泸州中考)如图,AB是O的直径,弦CDAB于点E,若AB=8,AE=1,则弦CD的长是()A.B.2 C.6D.8,【解析】选B.连接OC,则OC=4,OE=3,在RtOCE中,CE=因为ABCD,所以CD=2CE=2.,2.(2017大连中考)如图,在O中,弦AB=8 cm,OC AB,垂足为C,OC=3cm,则O的半径为_cm.,【解析】连接OA,OCAB,AB=8,AC=4,OC=3,OA=答案:5,3.(2017眉山中考)如图,AB是O的弦,半径OCAB于点D,且AB=8 cm,DC=2 cm,则OC=_cm.,【解析】连接OA,OCAB,AD=
5、AB=4 cm,设O的半径为R,在RtOAD中,由勾股定理得,OA2=AD2+OD2,R2=42+(R-2)2,解得R=5cm,OC=5 cm.答案:5,考点二 圆周角与圆心角【考情分析】圆周角定理及其推论和圆心角、弧、弦之间的关系是中考命题的热点,常常结合垂径定理、直角三角形、全等三角形、相似三角形等进行命题,呈现形式多样化,有选择题、填空题和解答题.,命题角度1:在同圆或等圆中,圆周角、弧、弦之间的关系【示范题2】(2017宜昌中考)如图,四边形ABCD内接于O,AC平分BAD,则下列结论正确的是()A.AB=ADB.BC=CDC.D.BCA=ACD,【思路点拨】根据圆周角、弧、弦的关系对
6、各选项进行逐一判断即可.,【自主解答】选B.A.ACB与ACD的大小关系不确定,AB与AD不一定相等,故本选项错误;B.AC平分BAD,BAC=DAC,BC=CD,故本选项正确;C.ACB与ACD的大小关系不确定,不一定相等,故本选项错误;D.BCA与DCA的大小关系不确定,故本选项错误.,命题角度2:利用同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系求圆周角或圆心角的度数【示范题3】(2017临沂中考)如图,BAC的平分线交ABC的外接圆于点D,ABC的平分线交AD于点E,(1)求证:DE=DB.(2)若BAC=90,BD=4,求ABC外接圆的半径.,【思路点拨】(1)由角平分线得出ABE=CBE,BA
7、E=CAD,得出 由圆周角定理得出DBC=CAD,证出DBC=BAE,再由三角形的外角性质得出DBE=DEB,即可得出DE=DB.,(2)由(1)得:,得出CD=BD=4,由圆周角定理得出BC是直径,BDC=90,由勾股定理求出BC=即可得出ABC外接圆的半径.,【自主解答】(1)BE平分ABC,AD平分BAC,ABE=CBE,BAE=CAD,DBC=CAD,DBC=BAE,DBE=CBE+DBC,DEB=ABE+BAE,DBE=DEB,DE=DB.,(2)连接CD,如图所示:由(1)得:,CD=BD=4,BAC=90,BC是直径,BDC=90,BC=ABC外接圆的半径=,【答题关键指导】1.
8、解决与圆有关的角度的相关计算时,一般先判断角是圆周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解.,2.在圆中当有直径这一条件时,往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件,含45角,可设法构造等腰直角三角形;含30或60角,则设法构造含有30角的直角三角形.,【变式训练】1.(2017青岛中考)如图,AB是O的直径,点C,D,E在O上,若AED=20,则BCD的度数为()A.100B.110C.115D.120,【解析】选B.连接AC,因为AB是O的直径,所以ACB=90,因为AED=20,所以ACD=20,所以BCD=ACB
9、+ACD=110.,2.(2017重庆中考A卷)如图,BC是O的直径,点A在圆上,连接AO,AC,AOB=64,则ACB=_.,【解析】AO=OC,ACB=OAC,AOB=64,ACB+OAC=64,ACB=642=32.答案:32,3.(2017绍兴中考)如图,一块含45角的直角三角板,它的一个锐角顶点A在O上,边AB,AC分别与O交于点D,E,则DOE的度数为_.,【解析】BAC=45,由圆周角定理可得DOE=2BAC=90.答案:90,考点三 圆内接四边形【示范题4】(2017广东中考)如图,四边形ABCD内接于O,DA=DC,CBE=50,则DAC的大小为()A.130B.100C.6
10、5D.50,【思路点拨】先根据补角的性质求出ABC的度数,再由圆内接四边形的性质求出ADC的度数,由等腰三角形的性质求得DAC的度数.,【自主解答】选C.CBE=50,ABC=180-CBE=180-50=130,四边形ABCD为O的内接四边形,D=180-ABC=180-130=50,DA=DC,DAC=65.,【答题关键指导】圆内接四边形的角的“两种”关系(1)对角互补:若四边形ABCD为O的内接四边形,则A+C=180,B+D=180.(2)任一外角与其相邻的内角的对角相等,简称圆内接四边形的外角等于其内对角.,【变式训练】1.(2017西宁中考)如图,四边形ABCD内接于O,点E在BC的延长线上,若BOD=120,则DCE=_.,【解析】BOD=120,A=BOD=60.四边形ABCD是O的内接四边形,DCE=A=60.答案:60,2.(2017准安中考)如图,在圆内接四边形ABCD中,若A,B,C的度数之比为435,则D的度数是_.,【解析】A,B,C的度数之比为435,设A=4x,则B=3x,C=5x,四边形ABCD是圆内接四边形,A+C=180,即4x+5x=180,解得x=20,B=3x=60,D=180-60=120.答案:120,
