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1、第十一讲反比例函数,一、反比例函数解析式的三种形式1.y=_(k0,k为常数).2.y=k_(k0,k为常数).3.xy=_(k0,k为常数).,x-1,k,二、反比例函数的图象与性质1.反比例函数y=(k为常数,k0)的图象是_,且关于_对称.2.反比例函数y=(k为常数,k0)的图象和性质,双曲线,原点,一、三,二、四,减小,增大,【自我诊断】(打“”或“”)1.一般地,形如y=(k为常数,k0)的函数称为反比例函数.()2.若xy=3,则y是x的反比例函数.(),3.过双曲线y=上任意一点,向两坐标轴作垂线,则以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为2.()4.已知双曲线y=经过点(
2、-2,1),则k的值等于-1.(),5.若函数y=的图象在同一象限内,y随x的增大而增大,则m的值可能为-3.()6.已知y与x2成反比例,并且当x=-1时,y=2,那么当x=4时,y等于.(),考点一 反比例函数的图象和性质【考情分析】反比例函数的图象和性质的层级为理解并能应用.在各地的中考考查中均有体现,特别是图象与性质的应用是一个重要的考向,考查的方式为直接应用性质判断字母的取值范围、确定反比例函数所在,的象限、函数值的大小比较、多图象问题、比例系数k的几何意义等,多以选择题、填空题的形式出现.,命题角度1:比较函数值的大小【示范题1】(2017天津中考)若点A(-1,y1),B(1,y
3、2),C(3,y3)在反比例函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1y2y3B.y2y3y1C.y3y2y1D.y2y1y3,【思路点拨】把点A,B,C三点的坐标代入反比例函数y=,分别计算出y1,y2,y3的值进行比较或画出y=的草图,描出A,B,C三点,进行判断,注意点A,B,C不在同一象限.【自主解答】选B.把A,B,C三点代入反比例函数y=得y1=3,y2=-3,y3=-1,所以y2y3y1.,命题角度2:反比例函数图象的应用【示范题2】(2017日照中考)反比例函数y=的图象如图所示,则一次函数y=kx+b(k0)的图象大致是(),【思路点拨】先根据反比例函数图象
4、判断k,b的符号,再根据一次函数的图象与系数的关系作出正确选择.,【自主解答】选D.y=的图象经过第一、三象限,kb0,k,b同号,A.图象过第一、二、四象限,则k0,此时,k,b异号,故此选项不合题意;B.图象过第二、四象限,则k0,图象经过原点,则b=0,此时,kb=0,故此选项不合题意;,C.图象过第一、三、四象限,则k0,图象经过y轴负半轴,则b0,图象经过y轴正半轴,则b0,此时,k,b同号,故此选项符合题意.,命题角度3:k的几何意义【示范题3】(2017枣庄中考)如图,反比例函数y=的图象经过矩形OABC的边AB的中点D,则矩形OABC的面积为_.,【思路点拨】可设D点坐标为(x
5、,y),则可表示出B点坐标,从而可表示出矩形OABC的面积,利用xy=2可求得答案.,【自主解答】设D点坐标为(x,y),反比例函数y=的图象经过点D,xy=2,D为AB的中点,B(x,2y),OA=x,OC=2y,S矩形OABC=OAOC=x2y=2xy=22=4.答案:4,【答题关键指导】y=(k0)中系数k的几何意义1.在反比例函数y=(k0)图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.,2.在反比例函数的图象上任取一点向坐标轴作垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是定值.,【变式训练】1.(2017青岛中考)一次函数y=kx+b
6、(k0)的图象经过A(-1,-4),B(2,2)两点,P为反比例函数y=图象上一动点,O为坐标原点,过点P作y轴的垂线,垂足为C,则PCO的面积为()A.2B.4C.8D.不确定,【解析】选A.把点A(-1,-4),B(2,2)分别代入y=kx+b得 解得 所以y=所以xy=-4,所以SPCO=|xy|=|-4|=2.,2.(2017潍坊中考)一次函数y=ax+b与反比例函数y=其中ab0,a,b为常数,它们在同一坐标系中的图象可以是(),【解析】选C.ab0,b0,与反比例函数过第二、四象限矛盾,故错误;选项B,一次函数经过第一、二、四象限,即a0,故a-b0与反比例函数过第一、三象限矛盾,
7、故错误;选项C,一次函数经过,第一、三、四象限,即a0,b0与反比例函数过第一、三象限吻合,故正确;选项D,一次函数经过第二、三、四象限,即a0,b0,与ab0矛盾,故错误.,3.(2017菏泽中考)直线y=kx(k0)与双曲线y=交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点,则3x1y2-9x2y1的值为_.,【解析】由题可知点A(x1,y1),B(x2,y2)关于原点对称,x1=-x2,y1=-y2,把A(x1,y1)代入双曲线y=,得x1y1=6,所以3x1y2-9x2y1=-3x1y1+9x1y1=-18+54=36.答案:36,考点二 反比例函数的实际应用【示范题4】(2017丽水中考
8、)丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售,记汽车行驶时间为t小时,平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时).根据经验,v,t的一组对应值如表:,(1)根据表中的数据,求出平均速度v(千米/小时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式.,(2)汽车上午7:30从丽水出发,能否在上午10:00之前到达杭州市场?请说明理由.(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5t4,求平均速度v的取值范围.,【思路点拨】(1)根据表中的数据,尝试运用构造反比例函数模型v=取一组整数值代入求出k,再取几组值代入检验是否符合.(2)经过的时间t=10-7.5,代入v=求出v值,其值
9、要不超过100,才成立.,(3)根据反比例函数,k0,且t0,则v随t的增大而减小的,故分别把t=3.5,t=4,求得v的最大值和最小值.,【自主解答】(1)根据表格中数据,可知v=v=75时,t=4,k=754=300,v=(2)10-7.5=2.5,t=2.5时,v=120100,汽车上午7:30从丽水出发,不能在上午10:00之前到达杭州市场.,(3)3.5t4,75v 答:平均速度v的取值范围是75v,【答题关键指导】列反比例函数解决实际问题的步骤(1)审清题意,找出题目中的常量、变量,并理清常量与变量之间的关系.(2)根据常量与变量之间的关系,设出函数解析式,待定的系数用字母表示.,
10、(3)由题目的已知条件列出方程,求出待定系数.(4)写出函数解析式,并注意解析式中变量的取值范围.(5)用函数的图象和性质解决实际问题.,【变式训练】(2017烟台中考)数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况,发现该冷柜的工作过程是:当温度达到设定温度-20时,制冷停止,此后冷柜中的温度开始逐渐上升,当上升到-4时,制冷开始,温度开始逐渐下,降,当冷柜自动制冷至-20时,制冷再次停止,按照以上方式循环进行.同学们记录了“44min内15个时间点冷柜中的温度y()随时间x(min)的变化情况,制成下表:,(1)通过分析发现,冷柜中的温度y是时间x的函数.当4x20时,写出一个符合表中数据的函数
11、解析式_;当20 x24时,写出一个符合表中数据的函数解析式_.(2)a的值为_.,(3)如图,在直角坐标系中,已描出了上表中部分数据对应的点,请描出剩余数据对应的点,并画出当4x44时温度y随时间x变化的函数图象.,【解析】(1)由表格可知当4x20时,xy=-80,y=根据表格可知每经过1分钟,温度降低4,当20 x24时,y=-4(x-20)-4,整理得y=-4x+76.,(2)由表格可知第42分钟时的温度与第22分钟时温度相同,a=-12.,(3)如图所示:,考点三 反比例函数的综合应用【示范题5】(2017菏泽中考)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象在第一象限交于A,B
12、两点,B点的坐标为(3,2),连接OA,OB,过点B作BDy轴,垂足为点D,交OA于点C,若OC=CA.,(1)求一次函数和反比例函数的表达式.(2)求AOB的面积.,【思路点拨】(1)利用B点的坐标为(3,2),求反比例函数的表达式;利用BDy轴和OC=CA,得A点的坐标为利用待定系数法求一次函数的表达式.(2)利用三角形中位线的性质,求出CD的长,进而求出BC的长,再利用AOB的面积=ABC的面积+BOC的面积求得答案.,【自主解答】(1)反比例函数经过点B(3,2),2=即a=6,反比例函数的解析式为y=过点A作AEy轴于点E,BDy轴,OC=CA,CD是AOE的中位线,即OE=2OD=
13、4,又点A在反比例函数y=图象上,所以点A的坐标为(,4),一次函数的解析式为y=x+6.,(2)由(1)可知,CD是AOE的中位线,所以CD=BC=BD-CD=AOB的面积=ABC的面积+BOC的面积=,【答题关键指导】一次函数与反比例函数的综合应用的三个方面(1)探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法.(2)探求两函数解析式常利用两函数图象的交点坐标.(3)探求两图象交点坐标,常利用解方程(组)的方法求解.,【变式训练】1.(2017东营中考)如图,一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A,B两点,与反比例函数y=的图象在第一象限的交点为C,CDx轴,垂足为D.若OB=3,OD=6,A
14、OB的面积为3.,(1)求一次函数与反比例函数的解析式.(2)直接写出当x0时,kx+b-0的解集.,【解析】(1)SAOB=3,OB=3,OA=2,B(3,0),A(0,-2),代入y=kx+b得:解得:一次函数的解析式为y=-2,OD=6,D(6,0),CDx轴,当x=6时,y=6-2=2,C(6,2),n=62=12,反比例函数的解析式是y=,(2)由图象可知,当x0时,kx+b-0的解集是0 x6.,2.(2017聊城中考)如图,分别位于反比例函数 在第一象限图象上的A,B两点与原点O在同一直线上,且,(1)求反比例函数y=的表达式.(2)过点A作x轴的平行线交y=的图象于点C,连接B
15、C,求ABC的面积.,【解析】(1)作AE,BF分别垂直于x轴,垂足为E,F.AOEBOF,又 由点A在函数y=的图象上,设A的坐标是 OF=3m,BF=即B的坐标是 又点B在y=的图象上,解得k=9,则反比例函数y=的表达式是y=,(2)由(1)可知,又已知过点A作x轴的平行线交y=的图象于点C.C的纵坐标是 把y=代入y=得x=9m,C的坐标是 AC=9m-m=8m.SABC=8m=8.,3.(2017白银中考)已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于第一象限内的P Q(4,m)两点,与x轴交于A点.(1)分别求出这两个函数的表达式.(2)写出点P关于原点的对称点P的坐标.(3)求PAO的正弦值.,【解析】(1)点P在反比例函数的图象上,把点P 代入y=可得:k2=4,反比例函数的表达式为y=Q(4,1).,把P Q(4,1)分别代入y=k1x+b中,得一次函数的表达式为y=-2x+9.(2)P,(3)过点P作PDx轴,垂足为D.P OD=,PD=8,点A在y=-2x+9的图象上,点A 即OA=DA=5,
