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1、高等数学竞赛辅导材料（上）CH1.函数 极限与连续 1. 求的反函数.2. 求的反函数.3. 求 的反函数.4. 设 ,求. 5. 设是定义在内的一个函数,满足关系: ,求.6. 设对一切实数,满足关系式: ,求.7. 设函数的图形关于两直线和分别对称,证明:函数为周期函数.8. 设 ,试问是否连续.9. 求的表达式.10. 设,求11. 求下列极限1) 2) ()3) 4) 5) 6)7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 12. 设均为正数,求13. 设, 求.14. 设.求15. 设,求.16. 证明方程在(0,1)上必有一个实根,并求.
2、17. 求.18. 设双曲线上横坐标分别为与点,.过点,及双曲线的顶点的圆之圆心记为,求当时,点的极限位置.CH2 导 数1. 求下列函数的导数:1) 2)3) 4)5) 6) 2. 设,求3. 设,求4. 问在处有几阶导数?5. 问在处有几阶导数?6. 当时,与是同阶无穷小.求.7. 设为非零常数,求,并求此极限值.8. 设与为等价无穷小,.求证:1), 2).9. 求下列函数的阶导数: 1) 2) 3) 4) 5)10. 设,为正整数,求在点处的值.11. 设,为正整数,求.12. 求下列函数的二阶导数:1) 2)3) 4) 13.设,求.14.求导数:1)2)3)4) 15.设,问当为何
3、值时,在处可导?并求.16.设,求当时及的值.17.设是单调连续函数的反函数,已知,求的值.18.设对任意实数, 有,且, 证明.19.设对任何恒有,且,试求与的关系.20.设,求.21.设在处连续,且存在,试证在处可导.22.设其中在点的领域内一阶导数连续,求.23.设在点可导,证明.24.设具有二阶连续导数,且求.25.设与为等价无穷小,求证: 1) , 2) .26.设,且为常数.证明: .27.设为常数, 且, .证明.28.设函数在上满足,对任意均有成立,其中为正常数,试证明恒为常数.CH3 中 值 定 理 及 导 数 应 用1. 求下列极限:1) , 2) ,3), 4) ,5 )
4、, 6),7), 8),2. 设在上连续,在内可导, 且, 证明存在,使得.3. 设在上连续,在内可导, 且, 证明存在,使得.4. 设函数在上连续,在内可导,且证明至少存在一点,使得.5. 设函数在上连续,在内可导,且, ,证明至少存在一点,使得.6. 设在上可微,证明存在,使=.7. 设在上连续,在内可导, 且, 证明存在,使得.8. 设在上连续,在内可导, 且, 证明存在,使得.9. 设,试证:,其中.10. 证明至少存在一点,使得.11. 设在上连续,在内可导,且.证明在内至少有一点使.12. 设在上连续,在内二阶可导,又设连接两点的直线和曲线相交于点,求证存在,使得.13. 设,在上
5、可微,证明存在,使.14. 设函数在上连续,在内可导,且,证明在内至少存在一点,使得.15. 设在上定义的函数存在且单调减少,证明:.16. 设在上连续,且当时,其中是常数,证明:如果,那么方程在上有且仅有一个根.17. 设在二阶可导, 且, 证明存在,使得.18. 设在上二阶可微,则.19. 设函数在上二次可微,且,证明: 对任意的,有,.20. 设在上,证明:对任意的 ,有.21. 若函数在上连续,在内有二阶导数, 则在内至少存在一点,使.22. 设在上连续,且,证明:在内至少有一个零点.23. 判断方程有几个实数.24. 设函数在上二次可微,且,又,证明方程在内+有且仅有一个实根.25.
6、 判定方程是否有根,有实根时,指出所在区间.26. 试讨论方程的实根.27. 证明方程至多有三个实根.28. 证明恒等式:.29. 证明下列不等式:1)., 2).,3).设,则,4)., 5).,6), 7),8),9),10).30. 设在上连续,.证明:当时,单调增加.31. 求函数的极值.32. 求在上的最大值和最小值.33. 求函数的凹凸区间和拐点.34. 求的极值.35. 求数列中值最大的一项.36. 设某人自A点开车,到B点停止,沿直线行驶,全程长1000米,费时60秒,试证该车在途中某一点加速度的绝对值不小于.37. 当,试证:,且, .38. 设, 且,求证:在内至少有个零点
7、.CH4 不 定 积 分1. 求下列不定积分:1)., 2).,3), 4),5)., 6),7), 8),9), 10),11), 12) ,13), 14),15), 16) ,17), 18),19), 20) ,21), 22),23), 24)25), 26),27) , 28).2. .确定系数,使下列式子成立 .3. .设, 求.4. 已知,求及.5. 求.6. 设的一个原函数为,求.7. 求.8. 设函数为的原函数,当时,有,且,求.9. 设,求.10. 设是由方程确定的函数,求.CH5 定 积 分1. 求下列定积分的值:1), 2),3), 4),5), 6),7), 8),
8、9), 10)10), 12),13) , 14) .15) 16) 2. 求下列极限:1), 2),3), 4) 求,3. 求下列函数的导数: 1), 2),3), 4),5), 6).4. 试确定,使得为有限值,并求此值.5. 设一阶连续可微,试求.6. 设,试求. 7. 设,求.8. 设,求.9. 设,证明:1)是偶函数, 2)在上单调增加.10. 对一切实数,连续,且.证明1)为偶函数, 2) 在上单调增加.11. 设在内连续,且,证明:(1) 若为偶函数,则也为偶函数;(2) 若非增,则非减.12. 由所确定的函数.试讨论其极值点.13. 求由方程所确定的可导函数的可能极值点,并讨论
9、这些点是极大值还是极小值.14. 设是连续的正值函数,.试证明:曲线在上是下凸的.15. 设是的连续函数,求.16. 设是连续函数,求.17. 求.18. 设, 求.19. 求证: .20. 设且,求.21. 求.22. 求连续函数,使得满足.23. 设, 求在的值.24. 设,求.25. 设,求.26. 设可导,且,求.27. 设是以为周期的周期函数,证明:.28. 设函数在上连续,且,证明: .29. 求.30. 求.31. 求.32. 求.33. 求.34. 求.35. 求.36. 设在上连续,且,求.37. 设在上有二阶连续导数,证明: .38. 设在上有一阶连续导数,证明:在内至少有一点, .39. 设在上有二阶连续导数,证明存在,使得 .40. 证明不等式1), 2),3), 4),5), 6), 41. 证明: .42. 设在上有连续导数,且证明.43. 设在上连续,在内可微,且,求证: .44. 设在上是连续增函数,证明:.45. 设在上可微,单调增加,证明:.46. 设在上连续可导, 为常数,证明:.47. 求下列广义积分: 1), 2),3), 4),5), 6),7), 8).47.已知,求.- 40 -
