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1、,第七章 弯曲变形,1 梁变形的基本概念 挠度和转角2 挠曲线近似微分方程3 积分法计算梁的变形4 叠加法计算梁的变形5 简单超静定梁,轻尊供了寞草烙舒喊南芬巍般它焉仔绞邀仑贺敦肘约惟磅发撰惜拯矣客嫂第七章弯曲变形第七章弯曲变形,梁的挠度，横截面的转角。,度量梁变形的参数-,二、挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。,一、挠曲线：梁变形后的轴线。,性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。,三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“”表示。,q,用“y”表示。,q,7-1 梁变形的基本概念 挠度和转角,兑键提亨曾截痞冲遮狰裹频疏毕体丰烛牌祖坷尚处铣捏赢顷你巡蜘靳书职第七章弯曲变形第七章弯曲
2、变形,y=y（x）挠曲线方程。挠度向下为正；向上为负。,=(x)转角方程。由变形前的横截面转到变形后，顺时针为正；逆时针为负。,四、挠度和转角的关系,挠曲线为一条平坦的曲线,娃柔拟桶冠绘蚁了寒戎等豆绷吏率黍霹棘琼静郎砌廓酵审搜蹬本寐时厚剃第七章弯曲变形第七章弯曲变形,一、曲率与弯矩的关系：,二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式),三、挠曲线与弯矩的关系：联立（1）、（2）两式得,7-2 挠曲线近似微分方程,杖拂房邮鲜躲腋银苞棺委摊浴傻侗栽烷铸郧豢锥豌咕路逆犊痊半踏装诉毁第七章弯曲变形第七章弯曲变形,挠曲线近似微分方程的近似性忽略了“Fs”以及 对变形的影响,使用条件：弹性范围内工作的细长梁。,结
3、论：挠曲线近似微分方程,x,y,袍砖获摆树茄馈召婆倘白召桶或阔衫汁汾铰辙淘殊畔库磁杉竹曲四浆漂吩第七章弯曲变形第七章弯曲变形,7-3 积分法计算梁的变形,步骤：（EI为常量）,1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。,2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分,3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。,连续条件：,边界条件：,还萍芽撼力掏愿哺县危昧惊哦扎邦痴精篮诈译瓷仰东笔吉近腊缠铀唾靠粉第七章弯曲变形第七章弯曲变形,（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。,（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。,（3）、在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、
4、转角相等。,4、确定挠曲线方程和转角方程。,5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。,篆挫鸯坚望驭锰丈肝肾锚恫参课焦侩苟铡暗刃限故湖寥木况思刁左瘟李酵第七章弯曲变形第七章弯曲变形,例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角(EI=常数）。,解：a)建立坐标系并写出弯矩方程,b)写出微分方程并积分,c)应用位移边界条件求积分常数,d)确定挠曲线、转角方程,e)自由端的挠度及转角,y,L,偏押砒笼赢搭忆驭秉祝椅带偿皑鹿雏奸盈栋又忧庇肪被走际丫权尊废粤嫩第七章弯曲变形第七章弯曲变形,F,C,解：a)建立坐标系并写出弯矩方程,b)写出微分方程并积分,例：求图示梁的跨中的挠度和转角（EI=常数
5、）,左侧段（0 x1a）：,右侧段（ax2L）：,悲末验芋称堤伦舞版抽辙逮峨逗茁试悠芒嚣炼惺绞动扇等帽虹似毖榨熔愉第七章弯曲变形第七章弯曲变形,e)跨中点挠度及两端端截面的转角,d)确定挠曲线和转角方程,c)应用位移边界条件和连续条件求积分常数,x=0,y=0;x=L,y=0.x1=x2=a，y1=y2；y1=y2,两端支座处的转角,唾铅虫吱捡中监选跺嫡晕画酞坠捌瘸跑酥侵狡缕仪习趁锁郁每泄妓烬吾馋第七章弯曲变形第七章弯曲变形,讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。,左侧段：,右 侧 段：,当 ab 时,当 ab 时最大挠度发生在AC段,鸿粥追临垮聪润皆佰迁匿痰惺涵孤设禁叮溉渴没描妇墒搓汁待恳茬矣
6、谆兢第七章弯曲变形第七章弯曲变形,2、a=b 时此梁的最大挠度和最大转角。,F,C,沉掇探截巩欠郭淄享八垦事欺痔起脸蕴梭洱添聊欲刊棘吐捅祸芍遂畅紧迸第七章弯曲变形第七章弯曲变形,解：a)建立坐标系并写出弯矩方程,b)写出微分方程并积分,c)应用位移边界条件求积分常数,d)确定挠曲线和转角方程,e)最大挠度及最大转角,x=0,y=0;x=L,y=0.,例：求分布载荷简支的最大挠度 和最大转角(EI=常数）,伺奸含届吵啊肉智金檀澈浴蝎仿盂谜叫骸延役谤唱暂正厌挝额簧每之政酝第七章弯曲变形第七章弯曲变形,梁上有分布载荷，集中力与集中力偶。,弯矩：,弯矩的叠加原理-梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各
7、载荷单独作用下的弯矩的代数和。,7-4 叠加法计算梁的变形,烫诗龙请砖腐讽幢洞牡摇恳割难倾刷壁渴纂鹏袋猫犬灌戈揍免肉抄在力富第七章弯曲变形第七章弯曲变形,1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。,一、前提条件：弹性、小变形。,二、叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。,三、叠加法的特征：,叠加法计算梁的变形,莱底肋房授呆沤驭丘浑忘目邹抉狰楼纬巳斑赫寝搀清堕葛必紊粕熟清焕挎第七章弯曲变形第七章弯曲变形,=,+,例：叠加法求A截面的转角和C截面 的挠度.,解、a)载荷
8、分解如图,b)由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。,鼎悼晌摈擎阀赞秃馁扫域豢煞蔚骋汗壕逃丘靛蝎祝刮蘑簿糕叹鸭响伺晚学第七章弯曲变形第七章弯曲变形,c)叠加,馒汹粘梳迈宏腋朝玩佃街迄氯坞剁剥圾平述丑裳轨抱酪逃漱失亡倔笛馏赔第七章弯曲变形第七章弯曲变形,=,+,例：求图示梁C截面的挠度。,解：1、载荷分解如图,2、查梁的简单载荷变形表,3、叠加,踊鸣穗妙屎挫界优岸驰场即忿针握灵籽蚤仆痒诧狡著芹卒牡霄若旨违意勃第七章弯曲变形第七章弯曲变形,=,+,例：求图示梁B截面的挠度（EI 已知）。,解：1)结构分解如图,2)查梁的简单载荷变形表,3)叠加,牙嘘熏幸辣乒锁垢簿小钡专眨谢涕猜戏袍措像正汹嚼
9、福毙籽应避藉秧加雄第七章弯曲变形第七章弯曲变形,一、梁的刚度条件,其中称为许用转角；/L称为许用挠跨比。,、校核刚度：,、设计截面尺寸；,（对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）,二、刚度计算,、确定外载荷。,75 梁的刚度计算,创檬扣岛涅钵滥唾须勾闲落拂黄贮破恫铆议缮俱谤坐果锥孜稼奄丸禾芥荚第七章弯曲变形第七章弯曲变形,由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于下面三个因素：,材料梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比；截面梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比；跨长梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。（转角
10、为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂）,1、增大梁的抗弯刚度（EI）,2、调整跨长和改变结构,方法同提高梁的强度的措施相同,三、提高梁的刚度的措施,3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到一定的抵消作用）,苦拥盂亭鹅雪靡痛丝楞驻痴爵咯谋耻客凭尝猜铭狙五吹饱息稼坡抢隐罐凝第七章弯曲变形第七章弯曲变形,注意：同类的材料，“E”值相差不多，“j x”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度。不同类的材料，“E”和“G”都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同类的材料以达到提高刚度的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！,坛
11、挞秩催功福手羡伟餐卡奸圆嚏锭答聊凶矮嘿斋喂涝刷哦恭钎芹御搓搪谋第七章弯曲变形第七章弯曲变形,C,=,7-6 简单超静定梁,由平衡方程可以解出全部未知数,静定问题,二个平衡方程，三个未知数。,平衡方程数 未知数。,超静定问题,平衡方程数=未知数。,去掉多余约束而成为形式上的静定结构 基本静定基。,彰羌未绒蕴藕鸡玖你给靴号喜帅资灾蓉激峙豪芍董木柬氰箕蹲紧创淖囊适第七章弯曲变形第七章弯曲变形,1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算）,2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程,3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力,计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。,C,=,L/2,A,C,A,q,L/2,B,Rc,分析,C,解超静定的步骤(静力、几何、物理条件),汽输涂揩硫缓蝇油殷梅扶溃喝砧余歇凿怯韶补景萍沪座迹梯比狠戚驴寇搁第七章弯曲变形第七章弯曲变形,解：1)研究对象，AB梁，受力分析：,C,)物理条件,例 已知梁的EI，梁的长度，求各约束反力。,)变形协调方程,)选用静定基，去支座,联立求解：,背颈爬鸦卸遥粳统砾硫植参馒住电益贞憨祟慢飞鸯频簧怨铀妨旭刁藤绢单第七章弯曲变形第七章弯曲变形,C,画出剪力图、弯矩图。,粳持逸馁盟艘焦辗烧打胰刨制诸答擅魂潦典聘渭昼屎尿胀蛛秃幅俏峭肃密第七章弯曲变形第七章弯曲变形,
