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1、一、二维随机变量及其分布函数,二、二维离散型随机变量,三、二维连续型随机变量,第一节 二维随机变量,图示,一、二维随机变量及其分布函数,1.定义,实例1 炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量.,二维随机变量(X,Y)的性质不仅与 X、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.,实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况,则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量(H,W).,说明,2.二维随机变量的分布函数,(1)分布函数的定义,的概率，,(2)分布函数的性质,且有,若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.,二、二维
2、离散型随机变量,1.定义,2.二维离散型随机变量的分布律,二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为,问题：如何求（X，Y）的分布律？,（1）分别确定X，Y的可能取值；,（2）求每个,方法一：利用概率的乘法公式计算,方法二：直接利用古典概率计算,解,且由乘法公式得,例1,X，Y=0，1，2，且X+Y2,则(X,Y)的可能取值,解,抽取两支都是绿笔,抽取一支绿笔,一支红笔,例2 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔的盒子里,随机抽取两支,若 X、Y 分别表示抽出的蓝笔数和红笔数,求(X,Y)的分布律.,故所求分布律为,说明,离散型随机变量(X,Y)的分布函数归纳为,1.定义,三、二维连续型
3、随机变量,2.性质,推广 n 维随机变量的概念,定义,二、离散型随机变量的边缘分布律,三、连续型随机变量的边缘分布,一、边缘分布函数,第二节 边缘分布,一、边缘分布函数,同理,二、离散型随机变量的边缘分布律,补例1 已知下列联合分布律求其边缘分布律.,解,把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设,可由对称性求得,再由古典概率计算得：,补例2,解,所有计算结果列表如下：,解,类似地计算出其他结果：,比较发现，补例2与补例3两者有完全相同的边缘分布，而联合分布却是不相同的,注意,联合分布,边缘分布,解,例1,三、连续型随机变量的边缘分布,同理可得 Y 的边缘分布函数,Y 的边缘概率密度.,解,
4、例2,例3,解,由于,于是,则有,即,同理可得,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,一、离散型随机变量的条件分布,二、连续型随机变量的条件分布,第三节 条件分布,问题,一、离散型随机变量的条件分布,定义,条件分布律实际上就是由条件概率得到的。,例1,解,由上述分布律的表格可得,例2 一射手进行射击,击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止.设以X 表示首次击中目标所进行的射击次数,以Y 表示总共进行的的射击次数.试求 X 和 Y 的联合分布律及条件分布律.,解,现在求条件分布律,由于,定义,二、连续型随机变量的条件分布,类似的定义,解,例3,又知边缘概率密度为,解,例4,作
5、业 第三章 习题,第84页开始第2,3,5题,一、随机变量的相互独立性,二、二维随机变量的推广,第四节 相互独立的随机变量,一、随机变量的相互独立性,1.定义,这里是利用两个事件相互独立的概念引出两个随机变量相互独立的概念。,2.说明,(1)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,注,问题,（1）如何判断两个随机变量是否相互独立？,见书P73,（2）如何由相互独立的随机变量的边缘分布求它们的联合分布？,注意,联合分布,边缘分布,因为 X 与 Y 相互独立,解,所以,求随机变量(X,Y)的分布律.,注意,联合分布律,边缘分布律,解,由于X 与Y 相互独立,补例2,解,补例3,(1)由分布律的性
6、质知,特别有,又,(2)因为 X 与 Y 相互独立,所以有,二、二维随机变量的推广,1.分布函数,2.概率密度函数,其它依次类推.,3.边缘分布函数,4.边缘概率密度函数,5.相互独立性,设 相互独立，,若均为离散型r.v.，则它们的联合分布律为,若均为连续型r.v.，则它们的联合概率密度函数为,6.重要结论,二、离散型随机变量函数的分布,一、问题的引入,第五节两个随机变量的函数的分布,为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布.,一、问题的引入,二、离散型随机变量函数的分布,例1,解,等价于,概率,结论,例2 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为,求随机变量 Z=X+Y 的分布
7、律.,解,一、重点与难点,二、主要内容,三、典型例题,第三章多维随机变量及其分布习 题 课,一、重点与难点,1.重点,二维离散型随机变量的分布（联合分布律、边缘分布律、条件分布律）,随机变量的独立性,2.难点,二维随机变量的分布之间的关系,二维离散型随机变量的函数的分布律,定 义,联 合 分 布 函 数,联 合 分 布 律,联 合 概 率 密 度,边 缘 分 布,条 件 分 布,两 个 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布,随 机 变 量 的 相 互 独 立 性,定义,性质,二维随机变量,推 广,二、主要内容,二维随机变量,(1)定义,二维随机变量的分布函数,且有,(2)性质,(3)n 维随
8、机变量的概念,二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为:,二维离散型随机变量的分布律,离散型随机变量(X,Y)的分布函数为,二维连续型随机变量的概率密度,(1)定义,(2)性质,表示介于 f(x,y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.,(3)说明,(4)两个常用的分布,设 D 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,则称(X,Y)在D上服从均匀分布.,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布.,边缘分布函数,为随机变量(X,Y)关于 Y 的边缘分布函数.,离散型随机变量的边缘分布,随机变量关于X 和 Y 的边缘分布函数分别为,联合分布,边缘分布,连续型随机变量的边缘分布,同理得 Y 的边缘概率密度,(1)离散型随机变量的条件分布,随机变量的条件分布,同理可定义,(2)连续型随机变量的条件分布,联合分布、边缘分布、条件分布的关系,联合分布,随机变量的相互独立性,说明,(1)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,二维随机变量的推广,其它依次类推.,(5)随机变量相互独立的定义的推广,随机变量函数的分布,(1)离散型随机变量函数的分布,当 X,Y 独立时,(2)连续型随机变量函数的分布,当 X,Y 独立时,则有,推广,三、典型例题,例1,解,例2,思路,解,
