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1、3.4.1基本不等式 公主岭一中 王春芳一、教学过程：（一）创设情景，提出问题；右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。(1) 你能通过下面的模拟图找出一些相等关系或不等关系吗？【分析】在正方形中有4个全等的直角三角形设直角三角形两条直角边长为，那么正方形的边长为于是，4个直角三角形的面积之和，正方形的面积由图可知，即（二）抽象归纳：一般地，对于任意实数a,b，有，当且仅当ab时，等号成立。(2)一般地,对于任意实数,我们有,当且仅当时,等号成立.请你证明它?【分析】（作差法）：，当时取等号
2、（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数）(3)如果,我们用分别代替,可得什么不等关系?设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础. 答案：。【归纳总结】如果a,b都是正数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。我们称此不等式为基本不等式。 其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数。（三）理解升华：1、文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。2、联想数列的知识理解基本不等式已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系？
3、两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。3、符号语言叙述：若，则有，当且仅当a=b时，。问 怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：当a=b时，取等号，即；仅当a=b时，取等号，即。4、探究基本不等式证明方法： 问 如何证明基本不等式？方法一：作差比较或由展开证明。方法二：分析法：由于，于是要证明 ，只要证明 ， 来源:学科网即证 ，即 ，该式显然成立，所以，当时取等号 5、探究基本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。如图,
4、AB是圆的直径,点C是AB上一点, ,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.【分析】根据射影定理可得： 由于Rt中直角边斜边，于是有当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立故而再次证明：当时，（当且仅当时，等号成立）（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。来源:学科网ZXXK（四）基本不等式的应用例1（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、
5、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【设计意图】通过该例题的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化。基本不等式的主要应用就是求函数的最值，通过该例题的设计，让学生了解根据基本不等式的结构(即和式积式)，我们有“和定积最小，积定和最大”的相关定理。询问有同学用其它方法吗？如果你没学基本不等式能做吗？二次函数思想【师生活动】解：(1)设该矩形的长、宽分别为x米、y米，则根据题意有：xy=100由基本不等式可知：（等号在x=y时取得）所以当x=y=10时，x+y有最小值20来源:Z。xx。k.Com答：这个矩形的长、宽分别为10米时，所用篱笆最短，最短的篱笆是20米。
6、(2) 设该矩形的长、宽分别为x米、y米，则根据题意有：2x+2y=36，即x+y=18由基本不等式可知：（等号在x=y时取得）所以，等号在x=y=9时取得答：这个矩形的长、宽分别为9米时，菜园的面积最大，最大面积是81平方米。例2. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为48003，深为3如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？【设计意图】1.通过该例题的设置，让学生了解在实际问题中我们也可以利用均值不等式求最值。2.通过设未知量，列方程或不等式。让学生了解这些过程其实质就是将实际问题转化为数学问题的过程。【师生活
7、动】1.如何设未知量，如何将实际问题转化为数学问题？2.如何解决上述的数学问题？3.将数学结果还原成实际问题的结论。【分析】水池呈长方体形，它的高是3m，底面长与宽没有确定。如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了。因此，应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低【解】设底面的长为x m，宽为y m，水池的总造价为z元。根据题意，有由容积为4800m3,可得 即由基本不等式与不等式的性质，可得即当，即时，等号成立答：将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元。（五）总结拓展，提升思想问题9：通过本节课的学习，大家有哪些收获。引导学生从怎样发现结论，证明
8、结论，应用结论三个步骤了解研究问题的一般方法，并注意应用基本不等式的3个条件。来源:Zxxk.Com问题10：两数的几何平均数不大于它们的算术平均数能推广到三个数，甚至多个数的情况吗？（六）探究归纳下列命题中正确的是对于任意实数a,b，均有；当时，由于，当且仅当时，即x=1时，等号成立。所以函数的最小值为2；当时，有；所以函数在的最小值为4。以上命题均是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式成立的条件，及当且仅当时，等号成立。这些“陷阱”要让学生自己往里跳，然后自己再从中爬出来，完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。结论：
9、若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值；若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。 简记为：“一正、二定、三相等”。6、程序、数据、语句（七）均值不等式求最值A.数据结构B.数据存储C.数据流D.外部实体（1）时，求的最小值；（2）时，求的最大值；C.文档和调试可能不充分D.加强了开发过程中的用户参与程度变式一：若，求的最小值；贷：资产减值损失 20变式二：若，求的最大值；变式三：若，求的最小值；变式四：若，求的最小值；（4）若，求的最大值；D5 040万元变式一：已知，求的最小值；题解 引起弥散性血管内凝血的常见病有感染性疾病、肿瘤性疾病、妇产科疾病
10、、创伤及手术。其中感染性疾病居首位，约占所有原发病的1/3。（5）若，求的最小值；来源:学*科*网Z*X*X*K(5)甲公司20 X 4年度合并利润表中包括的其他综合收益涉及事项如下：变式：若，求的最小值。该题组的设计实际上是根据“一正、二定、三相等”三个条件设计的三个题组，整个设计由浅入深，教师在教学的过程中通过有效的提问，采用小组讨论、生生合作、师生探究的方式组织教学工作。教师课堂驾驭能力强，关注每一位学生，多数学生均有不同程度的收获。但教学过程中，教师只为了获得问题的结论，而不关注学生的思考过程。如（3）的变式一有学生认为最小值为，不知道为什么要拼凑为，其实这个问题解决了，（4）的变式二
11、也就解决了。又如（5）教师只关注了答案为18的同学的思维过程，有的学生错解为，所以最小值为16，学生认为等号成立的条件为且，显然不能同时成立。而这部分学生恰好没有受到老师的特别关注。二、课堂目标检测（1）求的值域；C内毒素作用于凝血因子（2）：若，求的最大值；来源:学科网(3)202年12月31日，甲公司按面值l00元发行了l00万份可转换债券，取得发行收入总额10 000万元。该债券的期限为3年，票面年利率为5，按年支付利息；每份债券均可在到期前的任何时间转换为甲公司10股普通股；在债券到期前，持有者有权 利在任何时候要求甲公司按面值赎回该债券。甲公司发行该债券时，二级市场上与之类似但没有转
12、股权的债券市场年利率为6。假定在债券发行日，以市场利率计 算的可转换债券本金和利息的现值为9 400万元，市场上类似可转换债券持有者提前要求赎回债券权利(提前赎回权)的公允价值为60万元。甲公司将嵌入可转换债券的转股权和提前赎同权作为衍生 工具予以分拆，并作如下会计处理：（3）：设，求的最大值；三、课堂小结7() 内毒素、抗原抗体复合物、凝血酶等可直接损伤血小板，使其聚集并释放血小板内含有的丰富的促凝物质和血管活性物质，促进血液凝固。血小板内主要的促凝物质和主要作用是血小板第3因子：提供催化反应表面，加速凝血酶原激活物的形成；血小板第4因子：抗肝素作用；血小板第2因子：促进凝血因子I转变成纤维蛋白；-血小板球蛋白(-TG)：促进血栓形成。血小板内主要的血管活性物质和主要作用是血栓素A2、ADP：使血小板进一步聚集，形成血小板血栓；5-羟色胺、儿茶酚胺：使血管收缩、血流减缓(血栓素A2也有此作用)。回顾本节课的主要内容：基本不等式及两个结论：1、两个正数积为定值，则和有最小值。2、两个正数的和为定值，则积有最大值。简记为：“一正、二定、三相等”。
