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1、分式方程的增根与无解增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值，比如解方程、：。为了去分母，方程两边乘以，得由解得。甲：原方程的解是。乙：可是当时，原方程两边的值相等吗？甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟！当时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦？乙：求解过程完全正确，没有任何的差错。甲：那为什么会出现这种情况呢？乙：因为原来方程中未知数x的取值范围是且，而去分母化为整式方程后，未知数x的取值范围扩大为全体实数。这样，从方程解出的未知数的值就有可能不是方程的解。甲：如此说来，从方程变形为方程，这种变
2、形并不能保证两个方程的解相同，那么，如何知道从整式方程解出的未知数的值是或不是原方程的解呢？乙：很简单，两个字：检验。可以把方程解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母，看是否使公分母等于0，如果公分母为0，则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。甲：那么，这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程无解。甲：啊？！为什么会无解呢？乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论x取何值，都不能使方程两边的值相等，因此原方程无解，又如对于方程，不论x取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。甲：是不是有增根的分式方程就是
3、无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？乙：不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看，方程，去分母后化为，解得或，此时，是增根，但原方程并不是无解，而是有一个解，而方程，去分母后化为，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。甲：看起来增根并不是什么“好东西”，有没有办法可以避免增根？乙：有是有，不过解起来比较费劲，有时划不来，还不如解后再检验。比如解方程，可先把右边化为0，得。左边通分计算，得，即，分子分解因式，再约分，得，由分子，得你看，原来那个增根就没有出现。增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，如上面方程的增根，它虽然不是方程的解，但却是去分母
4、后所得整式方程的解，利用这种关系可以解决分式方程的有关问题，你看：已知关于x的方程有增根，求k的值。首先把原方程去分母，化为。因为原方程的最简公分母是 ，所以方程的增根可能是或若增根为，代入方程，得，；若增根为，代入方程，得，。故当或时，原方程会有增根。甲：虽然无解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定无解，但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系，这是怎么一回事？乙：你说的没错，增根与无解都是分式方程的“常客”，它们虽然还没有达到形影不离的程度，但两者还是常常相伴而行的，在有些分式方程问题中，讨论无解的情形时应考虑增根，例如：已知关于x的方程无解，求m的值。先把原方程化为。（1）若方程无解，则原方程也无解，方程化为，当，而时，方程无解，此时。（2）若方程有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当方程的解为时原方程无解，代入方程，得，故。综合（1）、（2），当或时，原方程无解。
