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1、二次函数y=ax2的图像内容 二次函数y=ax2的图像教学目标(一)知道二次函数的意义；(二)会画y=x2,y=ax2的图象，并了解a的变化图形的影响；(三)会根据已知条件用待定系数法求出函数式y=ax2;(四)掌握抛物线y=ax2图象的性质；(五)加深对于数形结合思想认识.教学重点和难点重点：知识二次函数的意义；会求二次函数式y=ax2;会画y=ax2的图象.难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系.教学过程设计(一)复习1.一次函数式的一般形式是什么?(y=kx+b(k0，k是常数)2.一次函数中的“次”字是指什么?(函数中自变量的指数)(二)新课我们已学习了正比例函数及一次
2、函数，现在来看看下面三个例子中，函数y与自变量x之间的函数式是什么形式.1.正方体的一边长为x(cm)，那么它的表面积y(cm2)与x关系式是 _.答：y:6x2. 2.如图13-61，苗圃的形状是直角梯形ABCD,ABDC，BCCD.其中AB，AD是已有的墙，BAD=135，另外两边BC与CD的长度之和为30米，如果梯形的高BC为变量x(米)，梯形面积为y(米2)，则y与x的关系式是 _.解：作AECD于点E，则有因为BAD=135，则ADC=45.所以BC=AE=ED.又因为BC+CE+ED=30,则AB=30-2x,CD=30-x,故y=(AB+CD)BC=(30-2x)+(30-x)x
3、.所以y=-x2+30x(其中0x30).3.化工厂在一月份生产某种产品200吨，三月份生产y吨，则y与月平均增长率x(自变量的关系是_.解：一月份为200吨，二月份为200x+200=200(x+1)，三月份为200(x+1)x+200(x+1)=200(x+1)(x+1)=200(x+1)2.所以y=200(x+1)2.即y=200x2+400x+200. 在 y=6x2, y=-x2+30x, y=200x2+400x+200,这三个式子中，虽然函有一项的、两项的、三项的，但自变量的最高次项都是二次. 一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)，那么，y叫做x的二次函数.
4、注意：(1)必须a0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2) 在式中，x的取值范围是任意实数.例1 下列解析式中，哪些是二次函式?分析：必须是整式才能谈次数”.其中(1)，(2)是分式，(5)是无理式，所以都不是二次函数.(6)是四次函数，(4)展开整理后是y=3x，是一次函数，所以只有(3)是二次函数，y=二次函数式的一般形式是 y=ax2+bx+c (a0).我们先从最简单的y=ax2入手研究它.先画y=x2,初步了解图象形状；再画y=x2,y=2x2,y=x2,y=-3x2，从对比中，找出系数a对图像的影响. 列表时的x取值，以原点O为中心为好.按照表格，描出各点(图13-6
5、2).然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来(图13-63)从表格及图13-63可见，y=x2有以下性质 (1) x取值范围是实数集； (2)当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等；对应在图象中是，图象关于y轴对称； (3)当x0时，y值随x的增大而减小；当x0时，y值随x的增大而增大.对应在图象中是，在x轴的负半轴，当点的横坐标由小到大变化时，点的位置逐渐下降；在x轴正半轴，当点的横坐标由小到大变化时，点的位置逐渐上升；(4)图像的最低点是原点 (0，0).例2 在同一坐标平面中(1) 画出y=x2,y=2x2=,y=-x2,y=-3x2的图象；(2) 根据图象
6、说明系数，2，-,-3对图象的影响及这些图象之间的关系.解：(1)见图13-64. (说明) ：为了避免图形画得太长，图中的横轴单位长与纵轴单位长不相同)(2) 因为x20，所以y=x20，y=2x20;y=-x20,y=-3x20.这个数量关系联系到图象，就是对y=ax2的图像. 当a0时，图象的开口向上，最低点为(0，0)；当a0时，图象的开口向下，最高点为(0，0)；当a的绝对值越大，则图象越靠近y轴；y=ax2(a0),的图象叫做抛物线，图象关于y轴对称.对称轴与抛物的交点叫做抛物线的顶点；对于y=ax2(a0),自变量由负向正逐渐增大时；当a0时，图象上的点，先下降到顶点，然后再上升
7、，即函数值y，先减小到0，然后再增大；当a时，图象上的点，先上升到顶点，然后再下降.即函数值y，先增大到0，然后再减小.例3 已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8). (1) 判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上； (2) 求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.分析：因为y=ax 中只有一个待定系数a，所以有一个条件就可求出a，从而求出此抛物线的函数式.解：(1)把(-2,-8)代入y=ax2,得-8=a(-2)2,解出a=-2，所求函数为y=-2x2,因为-4-2(-1)2,所以点B(-1,-4)不在此抛物线上；(2)由-6=-2x2,得x2=3,x=.所以此抛物线上，纵坐标为-6的点
8、有两个，它们分别(，6)与(-,-6).(三)课堂练习顶点在原点且以y轴为对称轴的抛物线过(2,-4)，则此抛物线上纵坐轴为-10的点的坐标是 _.分析：y=ax2,由-4=a4,a=-1.所以 y=-x2.再由-10=-x2,x.所以点为 (-,-10)和(,-10).(四)小结1.二次函数式了一般形式是y=ax2+bx+c(a0,a,b,c是常数).2.y=ax2的图像是抛物线，关于y轴对称，顶点是原点.a0时，开口向上；a0的那部分.4.用描点法所画出的图形是部分的，近似的.5.求y=ax2的解析式，需要一个条件.五（作业）1. 1. 已知a0,b0，一次函数是y=ax+b，二次函数是y
9、=ax2，则下面图13-65中，可以成立的是（ ）2.填空：已知二次函数y=-x2; y=;y=15x2; y=-4x2;y=-x2; y=4x2. (1)其中开口向上的有_(填题号)； (2)其中开口向下且开口最大的是_(填题号)； (3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后渐变小的有_(填题号).3.m是什么值时，函数y=(m-4)xm2-5m+6是关于x的二次函数?4.已知函数y=ax2+bx+c.(1) 当a,b,c是怎样的数时，它是正比例函数?答：_；(2) 当a,b,c是怎样的数时，它是一次函数?答：_；(3) 当a,b,c是怎样的数时，它是二次函数?答：_.5.下列各函
10、数中，哪是正比例函数?哪是一次函数?哪是二次函数? 答： 其中是正比例函数的有_(填题号)； 其中是一次函数的有_(填题号)； 其中是二次函数的有_(填题号).6.正方形边长是3，若边长增加x，则面积增加y，求y与x之间的函数关系.7.已知函数y=ax2的图象过点(,2).求此图象上纵坐标为时的点的坐标 .8.从图象上看，函数y=-5x2有最大值还是有最小值?如果有，是最大值还是最小值?这个值是多少?作业的答案或提示1.选(C).因为在(A)中，直线的a0而抛物线的a0，不能成立.在(B)，(D)中，直线的b0与已知予盾.2.(1)开口向上的有，；(2)开口向下且开口最大的是；(3)，.3.令
11、m2-5m+6=2,得m=1,m=4(舍去).m=1时，y=-3x2.4.(1)a=0且c=0且b0; (2)a=0且b0; (3)a0.5.是正比例函数的有，是一次函数的有，是二次函数的有，.6.y=(3+x)2-32=x2+6x.8.y=-5x2图象开口向下，有最大值.这个最大值是0.课堂教学设计说明这节课要使学生明了y=ax2，的图象是抛物线，这是研究一般二次函数图象的基础.能过列表及画图，要使学生理解y=ax2的性质.本节课在一开始，由三个实际问题引出三个不同形式的解析式y=6x2,y=-x2+30x,y=200x2+400x+200.然后介绍二次函数一般式的定义.并设计了例1，让学生辨认哪个是二次函数.接着讲解y=x2的图象画法(这是画抛物线的基本步骤，务必掌握)，并总结出的性质.为了说明y=ax2中系数a对图形影响，设计了例2，并作出了规律性的结论，例2的相互制约的思想.还培养学生以运动的运动的观点来认识事物.例3的设计思想是求函数y=ax2的解析式，利用“点在图象上相当于上点的坐标适合函数式”这个数形结合的思想，各利用特定系数法求系数a.再利用上述数形结合思想，判断某点是否在图像上及已知点的纵坐标求横坐标.作业中补充的第1题，综合了二次函数与一次函数对图形的影响.补充的第3题仅加深了二次函数概念，还训练学生审题的能力(应舍去m=4).
