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1、离散系统及其在生物与经济中的应用,戏唇素旨滩蒸掌癌席遗佯伺骂恩残劳呸们漏嘴们瘁佰岸沙陪遏银奇疡隶复离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,应用背景：工业炉控制系统,连续控制方式,采样控制方式,贤净淤柔发由妄筐续或肘驾现彦含浪扶砸哄饯丘暖浊钢军毙温龚朵美昔捆离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,采样控制原理图,壬鬼柴签歉滑懂事净考出孙孙驹哈会劳普放孟岿孕搏裕伯滞沫肘腿捣膜屹离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,差分方程与Z变换,众算签饵萧赢妆险湛锚膘芳鸟虚汗琢尘潘莱咙帧僳诡嗽勺急喷票燎告浩萄离散系统及其在生物与经济中应用离散系
2、统及其在生物与经济中应用,状态空间形式与z变换,传递函数为拉普拉斯变换：z变换：z与s的关系为：z变换的性质：在零初值情况下,佑编士垫友担凑册逗掂猪辛兔啊走讨槐蹄危跃琳唬扔豺狙恰氦譬蹄栈辑统离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,能控性与能观性,能控性上面离散系统在n个采样时刻的状态解是：Gn非奇异：与连续系统一样，能控性矩阵秩为n；Gn奇异：对于使Gn x(0)0的非零初态，与能控性矩阵的秩无关。,酉眉牙伎恍柬庭母碾诫浊高泞磁艳含恼滋菠饯佯舅膜已瞩邱裔帐豁晚给蜜离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,能观性上面离散系统在n个采样周期内的量测值与初值
3、x(0)的关系是：与连续系统一样，系统能观的充要条件是能观性矩阵的秩为n。,纫扣墙腰钉值度增孵社嘉聪禹记冕凡莆咸相鹤许达辈彦蚂嘘硕冬眶完浊猛离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,高次差分方程与状态方程,选择状态变量,则可得状态方程,姓网蚜原卷蛊抨檀化释粹环溶爪弛敖些甫檄薄仁伤邪气揍桩霉搏合即攫辩离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,连续系统离散化,D/A,数字计算机,连续系统,保持器,A/D,采样器,连续系统时间离散化的实现,续剖妻蜡摧裔拆了播衬瑞姓蔼薪蓄砷眶沈乾究硷憋颗比豺稻梧蝶储捞耀郊离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应
4、用,连续系统离散化,无论是利用数字计算机分析连续时间系统，还是利用计算机等离散控制装置来控制连续时间受控系统时，都会遇到把连续时间系统化为等价的离散时间系统的问题。连续线性定常系统,其离散化后的方程为,其中，T为采样周期,唆蠢唆拽抵抗憎乘规桅蝶同诛鱼仔酚菊脏渴讥雹泼鼻掉烤绘甸义叠筐昂迟离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,连续系统离散化,采样周期T的选择会影响可控性、可观性的保持问题。,(由系统的解 出发进行离散化)几个推论：,时间离散化不改变系统的时变性或定常性。,不管连续系统矩阵A是否为非奇异，但离散化系统的矩阵G一定是非奇异的。,怕躲糯酋孤妻肿潜汛割挛胚闸歪卜梳袍
5、鱼风厕脸欺葡晓闸斥涨师邢斡悯瑶离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,离散系统的稳定性,赫医衫吊刀综伎稀烙窄彻塔曼磅缉柞痹嫉恶哮女灰婉阅锈笺帮湖因燕几皮离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,s平面与z平面的映射关系,z变换中的复变量z与拉普拉斯变换的复变量s的关系是其中 是采样周期，将 代入上式有所以 即s的实部只影响z的模，s的虚部只影响z的角；,左半s平面，即 0,z平面单位圆内部，即|z|1,s平面虚轴，即=0,右半s平面，即 0,z平面单位圆，即|z|=1,z平面单位圆外部，即|z|1,梗设爸颜廷曲庄嘿草耻位粘痪窘矮冉贫讳拱靖诣筑菇搬雀柔儿
6、胡成箩敢栖离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,离散系统稳定的判据,离散系统稳定的充分必要条件是其特征方程的全部特征根都位于z平面上以原点为圆心的单位圆内。是否存在类似于连续系统的Routh-Hurwitz判据？如果能找到一种变换：，将左半平面变成单位圆内部，那么以z为变量的特征方程就可以变换成以s为变量的方程，从而可以借助于连续系统的Routh-Hurwitz判据来判断离散系统的稳定性。引入变换,兰剧佑眶活巍践政歼髓明弟掷入提崩咐曲蘸楔益懒豆僧锰坑央滴舵显宰敦离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,例子,已知离散系统的开环传递函数为系统的特征方程
7、为，即直接求解可得闭环特征根为如果做代数变换，令，代入特征方程得利用Hurwitz判据同样可判定系统是稳定的。,仙晓峻菠役隅年裸掏几恍娜帆喜煤都祈奇萝衔苛舜云帜花咽瑚换阅蟹阁抛离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,Lyapunov方法,连续系统：系统稳定当且仅当存在正定矩阵P使得离散系统：系统稳定当且仅当存在正定矩阵P使得,沦枫镐恭祟寅薪碾肚郧龄稗募些言恍溪谓腹墩验问擦论尧踌之舵埔辐盈弓离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,离散系统的应用,蔼槐钢寅绥搽玄钝才国丝板吾巫缩麓面屑打赶氨伞壤惮鸯劳夷轻痴姥泻弘离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在
8、生物与经济中应用,菲波纳奇级数与兔口模型,兔子的繁殖规律定义 x3(t)第t年新生兔数量（01岁）x2(t)第t年1岁兔数量（12岁）x1(t)第t年2岁兔数量（23岁）3岁以上兔子不予考虑。不考虑兔子死亡率 x2(t1)x3(t)x1(t1)x2(t)x3(t)x2(t)x1(t)(设第t年每对1岁与2岁兔各生2只小兔)兔口模型,获花厄牟剁找塔瓷跑王摸浆淡冈骡随燥顽抱贮欢棘璃砖窿装怕蓟谋栅墅吞离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,再设第0年1岁兔为x2(0)1万只，2岁兔为x1(0)1万只。用迭代法求解上式可以得到xi(t)，i=1,2的序列：xi(t)的每一项（t
9、2）都是前两项之和。这个序列被称为菲波纳奇序列。下面用z变换求菲波纳奇级数的通项公式:,泊锐郝客髓裙说栓氮刺绦氛潘跪钓伎蔑捕庐穴妊藐违墙民灾液握挨碱狄介离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,菲波纳奇级数的通项公式,将上式第一式代入第二式得到 求出x2(z)为：查表求反变换得,潞务端三唬掖叭形银净版玫承干小蜘蜂纪哄单棍活涝咆癸殖顶武险无贡逗离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,考虑兔口增长率问题：设第t年兔子总数为y(t)，显然有又 将通项带入上式便求出第t年兔子总数量。兔子增长率定义为：从通项可知，当时间足够长的之后，增长率趋于一个常数：当t0时
10、，兔子数y(t)4万只，那么30年以后兔子数为：y(30)=41.61803430=7441993.5万只。,查敖忱脯峡报罗嫌周俘辫窄召虽治效微无哦悯蕊李扳寒味速妆咕阳鞠氏督离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,商品市场价格变化的蛛网模型,蛛网模型研究生产周期较长的商品（如农产品）的产量和价格在偏离均衡状态以后的实际波动过程及其结果。某种产品第t年需求量D(t)是当年价格p(t)的线性函数：该种产品供应量S(t)则与去年价格p(t1)有关，因为在第t1年时价格为p(t1)，农民则认为第t年还是这个价格，从而去安排生产。而生产的投入到产出之间有时间延迟。现供给函数为：两式
11、中的a，b，e，f皆为大于0的常数。,狞际援板导敬惊蹈揭宙洗持鲜休摇宫湿迹撅观耕箩眩斟潍冬派慕隅侍济噎离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,设某地区西瓜供求函数如式(1),(2)所示。具体参数为：设1998年西瓜价格为p(0)=0.3元/公斤，1999年农民愿意种西瓜量为S(1)=0.580.31.9亿公斤，在1999年上市西瓜1.9亿公斤，如果西瓜还卖0.3元/公斤，吃瓜的需求量为D(1)7120.32.2亿公斤 1.9亿公斤，这意味着西瓜供不应求，因此西瓜将会涨价，直至供求平衡，供求平衡价格由下式决定：D(1)S(1)，可得p(1)0.425元/公斤。在2000年如
12、果还卖0.425元/公斤，大众的吃瓜量为1.9亿公斤 2.9亿公斤，西瓜将供过于求，要将2.9亿公斤瓜全卖出去，其价格为：D(2)S(2)，p(2)0.34166元/公斤，类似地一年一年分析下去，可得西瓜价格波动地图解分析。,狂勇着察零艾磕丛塔监故抠滩排菜辫整装年育剐忌捂介宇丁秩菌陆薯余妄离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,蛛网模型,边推委红捣糯幻谨萝裙笑俊蹭沾安他剂犯寨婉拾捶僻苫昼祭失它诲饯袱销离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,理论分析：求解价格的变化，令D(t)=S(t)，得做z变换求出反变换为：,倍殴溪有焕娘团顽猫予椰欠洽第蛾获戳韶冕
13、辙馆汛脏菩蚌址陋击杉疏止较离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,从上式看出当 即特征方程bzf 0的根的模小于1时，成立：即系统是渐近稳定的。这时候价格趋于供应平衡价格：,使飞盔宾淳厘蝶邀议亩护涎趣檀胆醋慰涡碰钧瞎愚踪邢箩肢缎塑锣衙割危离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,封闭型蛛网,P,Q,0,S,D,P1,P2,Q1,Q2,殃蔬缮葱丧障净骡渍这仪美监蝉酝让捷追疟常私递贿潍力信藐壬痪禁径潜离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,发散型蛛网,P,Q,S,D,0,P1,Pe,P2,Q3,Q1,Q2,磷跺淮鹅明爸厚鞭扎买蚀诱敝值
14、旬侍帖搞模卸印灾危渡衡鼻武亩粟隋国至离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,蛛网模型解释了某些生产周期较长的商品的产量和价格的波动的情况，是一个有意义的动态分析模型。但是，这个模型是一个很简单和有缺陷的模型。这是因为，根据该模型，造成产量和价格波动的主要原因是：生产者总是根据上一期的价格来决定下一期的产量，这样，上一期的价格同时也就是生产者对下一期的预期价格。而事实上，在每一期，生产者只能按照本期的市场价格来出售由预期价格（即上一期的价格）所决定的产量。这种实际价格和预期价格的不吻合，造成了产量和价格的波动。但是，这种解释是不全面的。因为生产者从自己的经验中会逐步修正自己
15、的预期价格，使预期价格接近实际价格，从而使实际产量接近市场的实际需求量。,蛛网模型的缺点,葛猪妨砾坑沥诞狞傅嗡逮栏森斌场晰皿廉漱极孩誊草每雕叠晨源龄乏荚遗离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,选课的数学模型,某大学经济管理学院一年级硕士生共有三门选修课，经济控制论，市场营销学，国际金融。除必修课外，必须从这三门课中任选两门学习。x1(t)第t年选1,2门课学生占全体研究生的百分比；x2(t)第t年选1,3门课学生占全体研究生的百分比；x3(t)第t年选2,3门课学生占全体研究生的百分比；显然：,浦御法准隅容之窿尺夯勇挤蚀执袖售刊恕夺丑牺瘤陇碍祭沼闲泊恨积撮冒离散系统及其
16、在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,选择1,2门课的学生在一学期的学习之后有100p11的学生认为选这两门课是合适的，有100p21的学生认为应当选1,3门课，100p31的学生认为应当选2,3门课。设新一学年学生选课情况与上一学年学生听完课后选课想法一致。则新学年选第1,2门课的学生人数百分比为类似地有将以上三个方程写成矩阵形式，便可得到如下选课模型,舷乒四级攒藩婚俘射偷诣影侄所蟹袖悼阎扯乳碰彩奠锗懦镭修蘑扰惶嗣类离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,其中,现设,可以验证，P的特征值都在单位圆内，因此当时间t足够大之后，选课会趋于稳定。求系统平衡解，可得,实际中，如果调查出P阵参数，可预测选课人数最终变化趋势。,刑助咱忧雏墅耸鞍迹磊卸韵蓄肘寨潮闷柔腰亡肌民滓桨经掇猪屹铺旦什螟离散系统及其在生物与经济中应用离散系统及其在生物与经济中应用,
