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1、中考常见压轴题类型一、相似三角形存在型问题如图，已知抛物线的方程C1：（m0）与轴相交于点B、C，与轴相交于点E，且点B在点C的左侧。（1） 若抛物线C1过点M（2，2），求m的值；（2） 在（1）的条件下，求BCE的面积；（3） 在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH + EH最小，并求出点H的坐标。（4） 在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B，C，F为顶点的三角形与 BCE相似？若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由。CEBOxy图1CEBOxy解：（1）点M（2，2）在抛物线C1上，解得（2）由（1），则，令，解得：，B（，0），C（4，0）令得，E（0，
2、2）SBCE（3）如图1，当时，易得抛物线C1的对称轴为直线，又B，C两点关于直线对称，连接EC交直线于点H，则此时BH + EH最小，设直线EC：，将E（0，2），C（4，0）代入得 解得：，将代入得，点H的坐标为（1，）（5） 存在，分两种情况讨论：如图2，当BECBCF时，EBC = CBF = 45, ,即。 过点F作FM轴于点M，则BM = MF。设F（, ）(0)F在抛物线上，0(0)，F（，）。在BMF中，MFCEBOxy图2，0如图3，当BECFCB时, ECB = CBF, ,MFCEBOxy图3过点F作FM轴于点M，则COE = BMF = 90COE BMF, 设F，（0
3、）F在抛物线上，0（0）F，又，整理得，0 = 16，不成立。综上所述，在第四象限内，抛物线上是存在点F，使得以点B，C，F为顶点的三角形与BCE相似，此时。二、三角形面积存在型问题如图，已知点A（，），B（，），点C在轴的正半轴上，且ACB = 90，抛物线经过A，B，C三点，其顶点为M。（1） 求抛物线的解析式；（2） 试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；MyxBOCA（3） 在抛物线上是否存在点N，使得SBCN = 4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由。解：（1）ACB= ACO + BCO = BCO + CBO = 90 ACO = CBO A
4、OC = BOC = 90 AOC COB , , 点C的坐标为(,) 由题设抛物线的解析式： ，（2）直线CM与以AB为直径的圆相切。 如图1，设AB的中点为E，连接CE，ME，则MEBOAyxC图1E（，），当时，M（，），以AB为直径的圆与直线CM相切（3）存在点N，有3个点。当点N在直线BC下方时，SBCN可以为任意正数，所以存在2个点，使SBCN = 4当点N在直线BC上方时，如图2，过点N作平行的直线交BC于Q，易得直线BC的解析式为。yxMBNQOAC图2设N（，），则点Q为（，）NQ = （）= SBCN = SNQC SNBQ = 当= 2时，BCN的面积最大为4.此时存在一
5、个点N，使得SBCN = 4.综上,在抛物线上共存在3个点N, 使得SBCN = 4.三、平行四边形存在型问题如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。 解：（1）由得，。A在B左侧，A（，），B（，）当时，C（，）设直线AC：，并
6、把A（，），C（，）代入得 解得：直线AC：（2）由题设E（，），P（，），PE 当时，PE有最大值为（4） 如图，当F位于F1 ，F2 ，F3 ，F4位置时，可得平行四边形AC G1 F1 ，A G1C F2 ，AC F4 G2 ， AC F3 G3由抛物线得G1（，）F4G3OM2M1G2G1F3F2F1yxBCA又C（，）G1C = A F1 = O F1 = OAA F1 = F1（，）由A F2 = G1C = O F2 A F2 OA F2（，）分别过C、G3作CM1轴于M1G3M2轴于M2设G3（，）由直线AC：可得CA M145F3 G3 M2 G3 F3 M2 CA M145
7、G3 M2 F3 M2备又在RtA M1C中，AC22M1C2232G3 F3AC又在RtG3 M2 F3中，G3 F3 G3 M2（），解得当时，F3O，F3（，）当时，可得F4（，）综合可知存在这样点F的座标是（，）或（，）或（，）或（，）。四、与三角函数有关的问题如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B、C两点，交y轴于点D、E两点（1）求点B、C、D的坐标；（2）如果一个二次函数图像经过B、C、D三点，求这个二次函数解析式；（3）P为x轴正半轴上的一点，过点P作与圆A相离并且与x轴垂直的直线，交上述二次函数图像于点F，当CPF中一个
8、内角的正切值为时，求点P的坐标 解：（1）点A的坐标为，线段，点D的坐标连结AC，在RtAOC中，AOC=90，OA=3，AC=5，OC=4 点C的坐标为； 同理可得 点B坐标为（2）设所求二次函数的解析式为，由于该二次函数的图像经过B、C、D三点，则OPCyFDxA.B 解得 所求的二次函数的解析式为；（3）设点P坐标为，由题意得，且点F的坐标为，CPF=90，当CPF中一个内角的正切值为时， 若时，即，解得 ， (舍)； 当时， 解得 (舍)，(舍)，所以所求点P的坐标为 (2，0) 五、等腰直角三角形存在型问题1已知抛物线与轴相交于点，且是方程的两个实数根，点为抛物线与轴的交点（1）求的
9、值；（2）分别求出直线和的解析式；（3）若动直线与线段分别相交于两点，则在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形(只求一种DE为腰或为底时)？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由解：（1）由，得 ，把两点的坐标分别代入联立求解，得（2）由（1）可得，当时，设，把两点坐标分别代入，联立求得直线的解析式为同理可求得直线的解析式是（3）假设存在满足条件的点，并设直线与轴的交点为当为腰时，分别过点作轴于，作轴于，如图1，则和都是等腰直角三角形，OxyDEF图1DEAB，即解得点的纵坐标是，在直线上，解得，OP3xyDEF图2G，同理可求当为底边时，过的中点作轴于点，如图2，则，由，得，即，解得同1方
10、法求得，结合图形可知，是，也满足条件综上所述，满足条件的点共有3个，即六、直角三角形存在型问题如图，在等腰三角形ABC中，AB = AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点.(1)写出点A、点B的坐标；(2)若一条与y轴重合的直线以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线移动的时间为t（0t4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存
11、在，请说明理由.解：（1）A（8，0），B（0，4）（2）由题得：，则，P在抛物线上，PE = 在直角坐标系中，AB = AC，OB = OC= 4S四边形PBCA = S梯形BOEP+SAOC+SAEP当时，S四边形PBCA有最大值，最大面积为。（3）由题知：P、M不可能为直角顶点，若PAM = 90，则 = 90，90，AEPCOA，解得；，（舍去）（），（，）七、其它存在型问题1、如图1，抛物线经过原点O，顶点为A（1，1）直线经过点B（0，8）和C（1，9），交轴于点D，点E在此直线上，且其横坐标为4。（1） 求抛物线的解析式和点E的坐标。（2） 将抛物线沿其对称轴向上平移，使其顶点到
12、点C，得到图2，抛物线与轴正半轴交于点G，在线段OG的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P的直线PM直线DE，且与直线OP的夹角为75？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。OAECBD图1（3） 要使抛物线与线段DE总有公共点，试探究抛物线在图2的基础上，最多可以向上平移多少个单位长度？ 解：（1）顶点为A（1，1）设此抛物线的解析式为：，把O（0，0）代入得，此抛物线的解析式为：设此直线的解析式为：并把B（0，8），C（1，9）代入得，直线：把点E的横坐标为4代入得，E（4，12）P1MP1图2OGECBD（2）存在，在中，当时，D（，0） ，PMOD，ODB = OBD = 1 = 2 = 45，如图2， 当MPO = 75时，过P作PH轴于H，则 3 = 45，OPH = 30，把抛物线向上平移使其顶点到点C时，抛物线的解析式：，当时，解得：，。设P（2，），则，由勾股定理得：解得：（负数不合题意，舍去）P（2，）当4 = 75时，则5 = 30设P1（2，），由勾股定理得：，解得：（负数不合题意，舍去）P1（2，）综合，存在点P的坐标有两点：P（2，）和P1（2，）。（3）设可以向上平移个单位长度，则此时抛物线的解析式： ， 把E（4，12）代入得：；把D（，0）代入得：。 抛物线最多可以向上平移72个单位长度。
