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1、 中学数学教学中“数形结合”思想的运用及实施 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学（恩格斯语）。数学中两大研究对象“数”与 “形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为
2、一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”。而课堂中多媒体的应用更有利于体现数形结合的数学思想方法，有利于突破教学难点，有利于动态地显示给定的几何关系，为学生创设愉快的课堂教学气氛，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢数学，爱学数学。 1“数”“形”结合是推动数学发展的动力 （1）“数”产生于各种“形”的计算, “数”又借助于“形”得以记录、使用、计算。解决“形”的问题可使用“数”作为工具，而“数”的关系可以用“形”来证明。例如解析几何中几何问题的代数化，就是用代数方法解决几何问题，如关于直线斜率、关于距离、关于线段定比分点等等。“解析几何”这个名词本身就意味着“解析方法”与“几何方法”的结合
3、，而正是这种结合开创了数学的新局面。(2)对“形”的相互关系的比较、度量，促进了“数”的概念的发展，丰富了计算方法。典型例子是无理数的发现：正方形的边长与其对角线的长度之间不存在公度线段，即不存在一条线段,用它去量一个正方形的边长及其对角线的长都正好得到整数倍，由此导致无理数的发现。一些代数恒等式也可由几何方法给出证明，例如，利用下图，可以导出代数恒等式 2数形结合在教学中的运用“数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。在数学教学中，数形结合对启发思路，理解题意，分析思考，判断反馈都有着重要的作用
4、。数形结合渗透在中学数学的每个部分，根据数形结合的观点，可以通过对数量关系的讨论来研究图形的性质，也可利用图形的性质来反映变量之间的相互关系，因此数形结合可以使数和形相互启发、相互补充、相互印证。为了培养学生形成数形结合的思维习惯，在初一代数教学中就要有意识地渗透数形结合的思想和方法。在有理数一章中，数轴就是把数和形结合在一起的内容。这样，在讨论相反数、绝对值、倒数的几何意义时,形象易记。下面具体分析一下。（1）利用图象，创造学习负数情境。初一学生通过温度计引出数轴概念，能够具体、直观地掌握负数的意义。利用数轴把点与数的对应关系揭示出来，这样数量关系常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。（
5、2）相反数 在数轴上,相反数就是在原点两旁到原点距离相等的两个点所表示的数。零的相反数是它本身即原点。如图： （3） 绝对值 在数轴上,一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。在下图中，A点到原点的距离比B点到原点的距离大。 （4） 倒数在数轴上表示a与1的位置关系。可以结合数轴来加以分析，把0、+1、-1作为分界点，然后再作讨论。观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征。例如，利用数轴可以比较两个有理数大小，学生在学习两个负数比较大小时，常常转不过符号关，利用数轴学生可以准确、快速地确定结论。相反数概念的引入、理解，都依赖“数轴”，特别是教材第一次出现字母表示数：数的相反数是时
6、，学生会出现思维难点，利用数轴可以帮助学生理解：可以是正数、0、负数。数、形在一定的条件下的相互转化是数学中最常见的规律之一，在高中数学教学的内容中，把数和形结合起来研究的方法贯穿始终。在介绍函数概念时,介绍集合-用文氏图表示集合的关系；用数轴的全体或部分来表示定义域、值域,也是几何形象；函数关系与图象-用平面点集组成的曲线来描述函数的性质:奇偶性-关于原点或坐标轴的对称性,单调性-图象的走势升降,最大值-最高点,最小值-最低点,有界性-是否存在平行线或直线,周期性-图象能否有规律地重复出现或叠合等等。在代数的核心内容函数教学中,充满了几何语言、几何形象的描述及其对我们理解应用的帮助。三角函数
7、、复数、微积分与立体几何等内容中，都可以利用数形结合，帮助我们更快、更好地解决问题。在中学数学教学中，数形结合已成为一条重要的教学原则。3数形结合在解题中的运用作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题,引入坐标系或寻找其数量关系式,用“数”的分析加以解决；另一方面对于数量间的关系问题,分析其几何意义,借助形的直观来解。（1） “数”中思“形”例1. 如果实数满足等式，那么的最大值是什么？ 解：设点在圆上，圆心为,半径等于。如图，则是点与原点连线的斜率。当与相切，且切点落在第一象限时，有最大值，即有最大值。因为 =， =，所以 =，所以 = =。例2. 解不等式：
8、解: 设 ，即 对应的曲线是以(,0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数的图象是一直线。解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是。 （2）“形”中觅“数”例3.求方程的解的个数。分析：此方程解的个数为的图象与的图象的交点个数。 因为, 所以 在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。 例4.已知直线 和双曲线 有且仅有一个公共点，求k的不同取值个数。分析：作出双曲线 的图象，并注意到直线是过定点（ ）的直线系，双曲线的渐近线方程为 。所以过（ ）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共
9、点，此时取两个不同值，此外，过（ ）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时取两个不同的值，故有四个不同取值。 例5.设复数满足= ,求的最大值。 解：要求的最大值，即求的最小值，由复数模的几何意义知即求复数对应的点到点和点的距离和的最小值。如图 满足= 复数对应的复平面上的点的轨迹是以为端点，倾斜角为的射线。由图可知，最小值为 =,故的最大值是=。 在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则。当然在教学渗透数形结合的思想时，应指导学生掌握以下几点： 1.善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。 2. 正确绘制图形，以反映图形中相应的数量
10、关系。3. 切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。4多媒体技术为数形结合的实施架设了桥梁对于一些较复杂、抽象、需有一定想象能力、老师光用嘴和笔说不清的问题，借助于多媒体将数学实验引入课堂教学，可以活跃课堂气氛，减轻教学负担，激发学生的探究欲望，培养学生观察、归纳、猜想、发现的能力。多媒体技术使数学的实验手段丰富起来。计算机强大的计算、图形、图像、动画等能力，能为抽象思维提供直观模型，使数学关系的静态结构表现为时空中的动态过程。数学实验能使学生加深对数学概念的理解，通过相应的技术手段，为数学的学习提供了绝好的工具和途径。学生通过实验，能探索数学规律，发现数学命题，提高创新能力。例
11、如，利用几何画板画图后，马上就可以测算出数值，并能把图形变化过程中的数量关系的变化（哪怕是微小的变化）直观地显示出来，数与形的变化同时进行，数形结合，为数学的学习提供了绝好的试验工具，这在传统数学教学中根本无法办到，几何画板是帮助学生学通数学的有效工具。例如，利用计算机做下列数学实验，学生一人一机，机内装有显示一般正弦函数y=Asin(x+)的图象的应用软件（操作界面见图2）。启动该软件后，学生可用鼠标任意改变画面中的点C、点J、点F的位置，亦即改变参数A、的值，使图象产生相应的变化。学生手、眼、脑并用，通过考察函数式y=Asin(x+)中三个参数A、对函数图象的影响，对图象的振幅变换、周期变
12、换、相位变换产生感性认识。整个过程直观、形象，充分显现数与形相互依赖的变化过程，对于学生更好的理解和掌握正弦函数的图象和性质，从理论上探究相关的数学规律打下坚实的基础。 下面是一例发现三角形内接矩形的面积变化规律的“数学实验”的做法。如图3，在ABC中，E是OB边上的任意一点，以E为顶点作ABC的内接矩形EFGH，使矩形的一边EH在OB上，使点E在OB上运动，矩形面积随之变化。设OE为x，建立x与矩形面积间的函数关系，让学生观察，当x变化时，矩形面积的变化特点及是否有最大值。然后显示当E点运动时，对应的动点K(x，S)(S为矩形面积)的运动轨迹(其轨迹为开口向下的一段抛物线)。最后改变ABC的形状，研究ABC的底边BC或BC边上的高变化时，对抛物线形状有什么影响。计算机强大的图形、图像功能，把“数”与“形”紧紧结合在一起，使抽象的数学变得形象、生动、有趣，大大激发了学生的学习兴趣和认知主体作用的发挥。总之，教师可以通过各种形式有意识的使学生领会到“数形结合”方法具有形象、直观易于说明等优点，并初步学会用“数形结合”观点去分析问题，解决问题。但如何进一步提高数形结合法解题的能力，必须积累解题的经验,才能享受到成功的喜悦。
