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1、选修2-2 第一章 第七节定积分在几何中的应用教学设计设计教师：赵永志教学年级：高二年级课题名称：定积分在几何中的应用教材版本：人教版高中数学选修2-2授课时间：45分钟一、教学构思应用型的课题是培养学生观察、分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材。本节课通过创设情景、热身训练、问题探究、抽象归纳，巩固练习、应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生们掌握定积分解题的规律，体会数学学科研究的基本过程与方法。二、教学理念以学生发展为本。新型的师生关系；新型的教学目标；新型的教学方式；新型的呈现方式。三、教材分析定积分的应用是在学生学习了定积分的概念、定积分的计算、定积分的
2、几何意义之后，对定积分知识的总结和升华，通过用定积分解决一些简单的面积问题，初步感受定积分在解决数学问题与实际问题中的作用，体会导数与定积分之间的内在联系。四、教学目标【知识与技能目标】 通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。【过程与方法目标】探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。【情感、态度与价值观目标】探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进
3、行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。五、教学重点难点【教学重点】应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。 【教学难点】如何恰当选择积分变量和确定被积函数。六、教学方法教学方法是“问题诱导启发讨论探索结果”、“直观观察抽象归纳总结规律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式。采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互动的教学氛围。 七、教学过程教学过程教学过程教学过程教学过程教学过程教学过程师生活动设计意图（一） 课前准备：复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义.（二） 情景引
4、入：展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积【课件展示】课题：定积分在几何中的简单应用油画图片问：桥拱的面积如何求解呢？答： 【学生活动】本环节安排学生讨论，自主发现解决问题方向定积分跟面积的关系，（三） 新课讲授： 【热身训练】练习计算 计算 【学生活动】思考口答【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案.0yx 【热身训练】练习用定积分表示阴影部分面积xyNMOabABCDxyNMOabABCD图1 图2【学生活动】回忆并口答图1的答案； 引导学生由X为积分变量的定积分类型来发现以Y为积分变量的另一种定积分类型。 【得出结论】定积分表示曲边梯形面积的两种类型. 【板书
5、】配合学生探究的进展书写推理的过程.【课件展示】图1 选择X为积分变量，曲边梯形面积为图2 选择Y为积分变量，曲边梯形面积为【问题探究】【课件展示】探究由曲线所围平面图形的面积解答思路abXA0y【学生活动】思考、探究、讨论【展示结论】A2ab曲边梯形（三条直边，一条曲边）abXA0y曲边形面积 A=A1-A2ab1 【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗？这就需要通过实践来检验。 【例题实践】例计算由曲线与所围图形的面积【师生活动】探究解法的过程. 1.找到图形-画图得到曲边形. 2.曲边形面积解法-转化为曲边梯形，做出辅助线. 3.定积分表示曲边梯形面积-确定积分区间、被积函数. 4.计算
6、定积分. 【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.xyOABCD11-1-1 【课件展示】解答过程 解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组得到交点横坐标为及 曲边梯形OABC 曲边梯形OABD【例题实践】例2计算由与所围图形的面积. 【师生活动】讨论探究解法的过程 1找到图形-画图得到曲边形. 2曲边形面积解法-转化为曲边梯形，做出辅助线.3定积分表示曲边梯形面积-确定积分区间、被积函数.4计算定积分.问题：表示不出定积分.探讨：X为积分变量表示不到，那换成Y为积分变量呢？ 【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程. 【课件展示】解答过程 解：作出草图，所求面积为图中阴影部
7、分的面积 解方程组得到交点坐标为(2,-2)及(8,4)选为积分变量，【抽象归纳】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤【学生活动】学生根据例题探究的过程来归纳 【教师简单点评】帮助学生修改、提炼，强调注意注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数 .【课件展示】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：1画草图，求出曲线的交点坐标2将曲边形面积转化为曲边梯形面积3根据图形特点选择适当的积分变量（注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数）4确定被积函数和积分区间5计算定积分，求出面积.【巩固练习】练习计算由曲线与及轴所围平面图形的面积【学生活动】学生分组合作完成x4yO84
8、22S1S2 【成果展示】邀请同学们把自己的成果展示给大家，发现这道题目有多种解答方法，过程中解决学生在解题过程中暴露出来的各种问题。4xyO8422S2S1S1S222248Ox4y A: B: C: 【师生活动】此题为一题多解，解体的大方向分为选X做积分变量和选Y做积分变量.问：遇到一题多解时，你会想到什么？答：找最简单的解法.问：以次题为例，如何寻找最简解法？答：我们熟悉X做积分变量的类型； 做辅助线时，尽量将曲边形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合的图形.【应用提升】如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h，宽为常数b求证：抛物线拱的面积.hb【
9、师生活动】探究解题方法1.建立平面直角坐标系 确定抛物线方程2.求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤xhby0问：如何建立平面直角坐标系会使得抛物线方程的求解简单答：以抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系.【学生活动】学生独立求解抛物线方程.【成果展示】投影学生练习如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为 ，代抛物线上一点入方程， 则有 解得 ，所以抛物线方程为.【教师点评】在投影中与全班同学一起点评学生的练习.【师生活动】探究、并在投影中完成该题问：所求图形有什么特点？答：左右对称；可以解答一半取2倍.【成果展示】在黑板上与学生共同完成设一半的面积为S，则有 .（四）互动小结问：本节课我们做了什
10、么探究活动呢？答：用定积分解曲边形面积。问：如何用定积分解决曲边形面积问题呢？答：1.画草图，求出曲线的交点坐标2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积3.根据图形特点选择适当的积分变量（注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数）4.确定被积函数和积分区间5.计算定积分，求出面积问：解答曲线所围的平面图形面积时须注意什么问题？答：选择最优化的积分变量；根据图形特点选择最优化的解题方法.问：体会到什么样的数学研究思路及方法呢？答：从问题出发，联系相关知识，探究出解决问题的思路，通过实践的检验得到一般方法，通过练习巩固，通过应用提升。（五）作业 1、课本67组168组32、导与练.培养学生
11、复习的学习习惯。激发学生们的求知欲和探索欲，设下悬念，以激发学生的探索激情，为后面作开启性的铺垫。复习定积分的几何意义培养学生用发展、联系的哲学思想解决问题培养学生乐于尝试、敢于创新的精神。通过探究，发现并掌握数学学科研究的基本过程与方法巩固了学生的作图能力，在寻找曲边梯形的过程中提高了学生的想象能力。完成了一般理论和具体问题的有机结合，初步达到了识记的目标，突显了教学重点。使学生懂得如何灵活选择积分变量，确定被积函数，通过该题突破教学难点。探索到的结果通过实践，学生都得到了一些解题心得，及时指导学生进行抽象归纳，便是探究的阶段小结，得到解题的一般方法。趁学生们还沉浸在成功的喜悦之中，探索欲望高涨的时候，适时给学生扩大成就感的机会。所以准备了巩固练习，目的在于巩固解题方法、由一题多解锻炼学生的发散思维体现了对称的思想和分类思想，培养学生的观察能力和分析思考问题的严密性，在此过程中进行了数学美育的渗透。把本节课的探究活动推向高潮，解决了前面设下的悬念的同时，实现了生活中的实际问题与抽象数学的完美结合。巩固定积分解题的基本方法和步骤。提问式的课堂小结，目的在于调动学生积极参与梳理知识的过程，培养学生在探究之后整合知识的能力。作业即是探究活动的一种延续。
