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1、习题精选精讲数列求和一、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： 例1 已知，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得： = 1 例2 设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.解：由等差数列求和公式得 ， 当 ，即n8时，二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例3 求和：解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积：设（设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：。 例4 求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数
2、列2n的通项与等比数列的通项之积设 得 三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个. 例6 求的值解：设. 将式右边反序得： 又因为 ，+得 ： 89 S44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例7 求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a1时，（分组求和）当时，例8 求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设 将其每一项拆开再重新组合得： Sn = 五、裂项法求和这
3、是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4）（5）例9 求数列的前n项和.解：设，则 例10 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： 数列bn的前n项和： 例11 求证：解：设 原等式成立例2. 计算： 六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例12 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设Sn cos1+ co
4、s2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性质项）Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 0 （合并求和） 例13 数列an：，求S2002.解：设S2002，由可得 S2002= =5例14 在各项均为正数的等比数列中，若的值。解：设由等比数列的性质 和对数的运算性质 得： 10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. 例15 求之和.解：由于 例16 已知数列an：的值.解： 4
