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1、 2012明师教育初二保证班数学科晚间专题（五） 几何辅助线（补形法）+数据处理一、知识点（一）几何辅助线（补形法）一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法。1、补成三角形（1）补成三角形例1、如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；证明：ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之
2、一。（2）补成等腰三角形例2、如图2，已知A90，ABAC，12，CEBD，求证：BD2CE分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF2CE，再证BDCF即可。（3）补成直角三角形图3例3、如图3，在梯形ABCD中，ADBC，BC90，F、G分别是AD、BC的中点，若BC18，AD8，求FG的长。分析：从B、C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。（4）补成等边三角形例4、如图4，ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AEBD，连结CE、ED。证明：ECED分析：要证明ECED，通常要证ECDEDC，但
3、难以实现。这样可采用补形法即延长BD到F，使BFBE，连结EF。2、补成特殊的四边形（1）补成平行四边形例5、如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分。分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形GEHF是平行四边形。（2）补成矩形图6例6、如图6，四边形ABCD中，A60，BD90，AB200m，CD100m，求AD、BC的长。分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。（3）补成菱形图7例7、如图7，凸五边形A
4、BCDE中，A=B120，EAABBC2，CDDE4，求其面积。分析：延长EA、CB交于P，根据题意易证四边形PCDE为菱形。（4）补成正方形图8例8、如图8，在ABC中，ADBC于D，BAC45，BD3，DC2，求ABC的面积。分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设BAC45，ADBC出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。 （5）补成梯形例9、如图9，已知：G是ABC中BC边上的中线的中点，L是ABC外的一条直线，自A、B、C、图9G向L作垂线，垂足分别为A1、B1、C1、G1。求证：分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多
5、特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过D作DD1L于D1，则DD1既是梯形BB1C1C的中位线，又是梯形DD1A1A的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破. （二）数据处理1、五个基本统计量（平均数、众数、中位数、极差、方差）的数学内涵:（1）平均数：反映一组数据的平均水平，平均数分为算术平均数和加权平均数。（2）众数与中位数：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数
6、没影响；当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。（3）极差：极差 = 最大值 - 最小值。（4）方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，巧计方法：方差是偏差的平方的平均数。标准差：方差的算术平方根，记作s。方差和标准差都是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大。2、平均数、与中位数、众数的区别与联系。联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势，其中以平均数的应用最为广泛。 区别：A 平均数的大小与这组数据里每个数据均有关系，任一数据的变动都会引起平均数的变动。B 中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响。当一组数据中的个别数据变动较大时，
7、可用它来描述其集中趋势。C 众数主要研究个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的某些数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数。其中众数的学习是重点。二、课堂练习ABQCP2、如图，已知：在ABC内，BAC=60，ACB=40，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是BAC、ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP3、已知：BAC=90，AB=AC，AD=DC，AEBD，求证：ADB=CDEABCDE ABCPM4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记为S和，求：St的值。1、有一组数据16，
8、19，19，它们的平均数比众数小1，则这组数据的平均数和中位数分别是（）A. 18，17.5 B. 18，19C. 19，18D. 18，18.52、某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：80，90，75，75，80，80。下列表述错误的是（ ）A. 众数是80 B. 中位数是75 C. 平均数是80 D. 极差是153、对校对八年级甲、乙两个班的学生进行一分钟跳绳次数测试，测试的有关数据如下表：班级测试人数平均次数中位数众数方差甲班50136120132151乙班50135123132128则下列判断中错误的是（ ）A、甲班学生成绩比乙班学生成绩波动大 B、甲班成绩数据的标准差比乙班成绩的
9、标准差大C、甲班学生成绩按从高到低的顺序排列，则处在中间位置的成绩是跳132次/minD、若跳120次/min作为达标成绩，则乙班的达标率不低于甲班的达标率4、数学老师对小明在参加高考前的5次数学模拟考试进行统计分析，判断小明数学成绩是否稳定，于是老师需要知道小明这5次数学成绩的（ ）A. 平均数或中位数 B. 方差或极差 C. 众数或频率 D. 频数与众数5、在一次数学考试中，第一小组的14名同学的成绩与全班平均分的差是2，3，10，12，8，2，4，5，5（全班平均成绩为83分），则这个小组的平均成绩是（）A81分 B83分 C85分 D87分6、有一组数据，按从小到大的顺序排列为13，1
10、4，19，23，27，28，31，其中位数是22，则等于（）A23 B22 C20 D217、一个样本的方差为零，若中位数是，那么它的平均数是（ ）A小于 B. 等于 C. 大于 D. 不能确定8、若一组数据的平均数是9，方差是2，那么 （1）数据的平均数是_，方差是_； （2）数据的平均数是_，方差是_； （3）数据的平均数是_，方差是_。9、某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年（1）班学生的体育测试成绩为样本，按四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题： （说明：A级：90分100分；B级：75分89分；C级：60分74分；D级：60分以
11、下）（1）求出D级学生的人数占全班总人数的百分比；（2）求出扇形统计图中C级所在的扇形圆心角的度数；（3）该班学生体育测试成绩的中位数落在哪个等级内；（4）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人？月工资数（美元）人数100001（总经理）8000 2（副总经理）5000 2（总经理助理）2000510001290018800237005500210、某国家的一工厂职工的月工资及人数如右表：（1）求月工资的平均数，工厂主用这个平均数作为代表数，这是为什么?（2）求月工资的众数，工会领导用众数作为代表数，这是为什么？（3）求月工资的中位数，税务员用中位数作为代表数，这是为什么？11、如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，问第n幅图中共有_个第1幅第2幅第3幅第n幅12、一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位，那么第80秒时质点所在位置的坐标是_ 。6
