七、八年级知识点.doc

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1、第一章 有理数复习（1） 有理数的分类及相关的概念知识点举 例 说 明有理数的分类分类1（先“整分”后“正负” ）分类2（先“正负”后“整分” ）正整数负整数正分数负分数0负分数负整数正分数正整数0负有理数正有理数数 轴 （ P9）一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”。通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴的具备三要素：原点、正方向、单位长度（即规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴）相反数 （P10像2和2，5和5，这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（因为0没有符号问题，所以特别规定0的相反数是0，a与互为相反数）（正数的相反数是负数；负数的相反数是正数，0的

2、相反数是0）绝对值（P11）（几何定义）表示数的点到原点的距离叫做数的绝对值记作： （a 可以取所有的正数、负数和0）不论有理数a取何值，它的绝对值总是正数或0（统称为非负数），即总有 0（P12）（代数定义） 正数的绝对值是它本身； 如： |5|=5 负数的绝对值是它的相反数； 如： |-5|=50的绝对值是0 即：|0|=0 即 或 或 科学记数法 （P44-45） 把一个大于10的数表示成a的形式，（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），这种表示法便是科学记数法。 用科学记数法表示一个n位整数,其中10的指数是n-11 000 000 = 57 000 000 = 5.7-123

3、000 000 = -.23 324.57 = 3.2457补充例题：下列科学记数法表示的数原数是什么？（原数的整数位数= n + 1）（1）3.2的原数是：32000 （2）6的原数是：-6000近似数（P45）与实际接近的数就是近似数（有时是因为客观条件无法或难以得到准确数（如我国人口时刻在变化）有时是实际问题无需得到准确数）例：用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数。(1)0.34082(精确到千分位)； (2)64.8 (精确到个位)； (3)1.504 (精确到0.01)；(4)0.0692 (保留2个有效数字)； (5)30542 (保留3个有效数字)。解：(1)0.340

4、82 0.341。(精确到千分位)(2)64.8 65。(精确到个位)(3)1.504 1.50。(精确到0.01)(4)0.0692 0.069。(保留2个有效数字)(5)30542 3.0510。(保留3个有效数字)注意：(1)例的(3)中，由四舍五入得来的1.50与1.5的精确度不同，不能随便把后面的0去掉；例的(5)中，如果把结果写成30500，就看不出哪些是保留的有效数字，所以我们用科学记数法，把结果写成3.0510。有效数字 （P46） 一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有数字都叫这个数的有效数字，1例：下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位?各有哪几

5、个有效数字?(1)132.4； (2)0.0572； (3)2.40万 (4)4.028 (5)2.10解：(1)132.4精确到十分位(精确到0.1)， 共有4个有效数字1、3、2、4；(2)0.0572精确到万分位(精确到0.0001)， 共有3个有效数字5、7、2；(3)2.40万精确到百位，共有3个有效数字2、4、0。(注意：由于2.40万的单位是万，所以不能说它精确到百分位.。)2乘号前面的有效数字，即为原数的有效数字，把表示的数还原数，由乘号前末位在还原后数的位置得精确度(4)4.028 (5)2.10万解：(4)4.028有效数字有4个，分别为4，0，2，8。而4.028=402

6、8000，8处于百位，所以精确到百位。(5)2.10万有效数字有3个，分别为2，1，0。而2.10万=2100，其中有效数字末位位于十万位，所以精确十万位。有理数的大小比较方法1正数 大于 零, 例: +50负数 小于 零, 例: -1-1负数与负数比较: 绝对值大的反而小例: 方法2在数轴上表示的两个数,右边的数比左边的数_大_.（2） 有理数的运算运算运 算 法 则举 例 说 明加 减 法加法: （P18）1，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加2，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得03，一个数同。相加，仍

7、得这个数(-3)（-9）= -（3+9）=-12（5）13=+（13-5）=8（-4.7）3.9=-（4。7-3。9 =-0。80十（7）= -7减法:（P22） 减去一个数，等于加上这个数的相反数用字母把法则表示为 ab=a（b）加减混合运算可以统一为加法运算，如：abc=ab（C）4 -（3）=4（3）= 74 -（+3）= 4（-3）= 1乘 除 法乘法:（P29）同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘； 乘积是1的两个数互为倒数。 任何数同0相乘，都得0。结论：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正

8、有一个因数为0，则积为0；5(-3) = -53= -15 (-4) 6 = -46= -24（-7） （-9）=79 = 63 符号 0.50.7 = 0.35234（5）,23（-4）（5），2(-3)(-4)(-5)，(-2)(-3)(-4)(-5)7.8(-8.1)0(-19.6)=0除法:（P34）除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数（数学式子表示：两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得08（4）84=-2（15）(-3)；乘 方意义:（P41-42）n相同的因数相乘，即aaa（n个a）记作：an，读作a的n次方求n个相同因数的积的运算叫做乘方，

9、乘方的结果叫做幂，在an中，a叫作底数，n叫作指数，当an看作一个结果时，也可以读作a的n次幂（1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负数； （3）0的任何正整数次幂等于零；还得 （4）l的任何次幂等于1（- l）的偶次幂等于1；（- l）的奇次幂等于-1.； = -2222= -16 加减混合(c）引入相反数后,加减混合运算可以统一为_加_法_运算 （20)(+3)一（5)一（7) （20)（3)（5)（7）=（-20）+（-7）+（+3）+（+5） =（27）（8）19有理数的混合运算混合运算顺序:（p42-43）1， 先算乘方，再算乘除，最后算加减；2，

10、同级运算，从左到右进行；（3） 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。计算：，解法一、原式=解法二：原式= =6（5）=11第十三章 实数1 算术平方根 一般地，如果一个正数的平方为，即，那么正数叫做的算术平方根，记为，读作根号，其中叫做被开方数。 规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式=a (x0)中，规定x =.2平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根即：如果=a，那么x叫做a的平方根3开平方求一个数的平方根的运算，叫做开平方例如：3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运算正数a的算术平方根可用表示；正数a的负的平方根可用-表示

11、的结果有两种情：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。4总结归纳：1。正数有两个平方根，它们互为相反数2。0的平方根是03。负数没有平方根5讨论：平方根与算术平方根之间有什么关系？总结：1）平方根与算术平方根之间的区别定义不同：如果，那么叫做的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。如果，并且，那么叫做的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数表示方法不同：正数的平方根表示为；正数的算术平方根为平方根等于本身的数是0；算术平方根等于本身的数是0或12）平方根与算术平方根之

12、间的联系二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根。0的平方根和0的算术平方根都是06立方根如果一个数的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。例如：表示27的立方根，；表示的立方根，一个正数有一个正的立方根0有一个立方根，是它本身一个负数有一个负的立方根任何数都有唯一的立方根78两个互为相反数的立方根的关系，即9归纳 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数

13、或无限循环小数也都是有理数10。我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数，也是无理数11实数 有理数和无理数统称为实数12 把实数分类 像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，是正无理数，是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类： 13总结 1、事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数14 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右

14、边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大15 当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数总结 数的相反数是，这里表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0第二章 整式复习1单项式只含有数与字母的积的式子叫做单项式单独的一个数或一个字母也是单项式如-2，a，都是单项式2多项式几个单项式的和叫做多项式。2x-3可看作2x与-3的和：3x+5y+2z可以看作单项式3x、5y与2z的和；同样ab-r2看作ab与-r2的和，x2+2x+18可以x2、2x、18的和3一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式里，次数最高项的次数，

15、就是这个多项式的次数。例如，多项式是一个二次三项式。4整式单项式和多项式统称为整式，例如：100t，6a3，vt，-n，2x-3，3x+5y+2z都是整式（1） 圆周率p是常数。（2）如果单项式是单独的字母，那么它的系数是1。如：单项式c的系数是1。（3）当一个单项式的系数是1或1时，“1” 通常省略不写，但不要误认为是0，如a，abc；（4）单项式的系数是带分数时，还常写成假分数，如 写成 。（5）单独的数字不含字母,所以它的次数是零次.5升幂排列与降幂排列：这两种排列有一个共同点，那就是x的指数是逐渐变小(或变大)的。我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列。例如：把多项式5x23x2x31按

16、x的指数从大到小的顺序排列，可以写成2x35x23x1，这叫做这个多项式按字母x的降幂排列。若按x的指数从小到大的顺序排列，则写成13x5x22x3，这叫做这个多项式按字母x的升幂排列。6添括号的法则：7添括号的法则：所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都不变符号；所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变符号。随着括号的添加，括号内各项的符号有什么变化规律？8同类项字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项，几个常数项也是同类项多项式的项3ab2和-4ab2都含有字母a，b，并且字母a的指数都是1，b的指数都是23ab2和-4ab2 这两项是同类项。9合并同类项法则：在合并同类

17、项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，即这两项相抵消，如-3ab2+3ab2=（-3+3）ab2=0ab2=010整式加减的步骤: 先去括号;再合并同类项第十五章 整式的乘除与因式分解1an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方乘方的结果叫幂；a叫做底数，n是指数2.（1）同底数的幂的乘法：(m,n是正整数)； (同底数幂相乘，底数不变，指数相加)（2）幂的乘方：(m,n是正整数)； (幂的乘方,底数不变,指数相乘)（3）积的乘方：(n是正整数)； (把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积)（4）同底

18、数的幂的除法：( a0，m,n是正整数，mn)；(同底数幂相除，底数不变，指数相减)（5）商的乘方：(n是正整数)； (商的乘方等于幂的商)3 0指数幂的规定，即当a0时，.即：任何不等于0的数的0次幂都等于14.单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式5.多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加6.单项式相除，（1）系数相除，作为商的系数，（2）同底数幂相除，（3）对于只在被除数 式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。7.多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个

19、单项式，再把所得的商相加本质：把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式8. 因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.例如： 9.提公因式法 多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4

20、ab+2a=2a(4ab-2b+1).10. 公式法(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2.其中，a22ab+b2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-22x3y+(3y)2=(2x-3y)2.11.综合运用提公因式法和公式法分解因式.小结 解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式是两项

21、，则考虑能否用平方差公式分解因式. 是三项式考虑用完全平方式，最后，直到每一个因式都不能再分解为止.第十六章 分式1.分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫分式。对于分式分母为零时分式才有意义。2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 ； = （C0）注意：分式的基本性质的条件是乘（除以）一个不等于0的整式。指出分式的性质与分数的性质的不同，乘以（除以）一个不等于0的整式。分数是乘以（除以）一个不等于0的数。3.约分是根据分式的基本性质：分子、分母都同除以最大公约式化成最简分式4.最大公约式：系数取最大公约数；字母取相同

22、字母；相同字母取最低次幂5.最简分式分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式5.注意：约分即约去分子与分母的最大公约式，且必须到最简分式才算完成；约分必须是在积的形式下进行。约分之前分子与分母能分解因式的先分解因式。解：（1）（2）（3） 6 分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂作为公分母，叫做最简公分母7最简公分母：系数取最小公倍数；字母取所有字母；取所有字母的最高次幂特别强调：为确定最简公分母，通常先将各分母分解因式8分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。

23、 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。9分式乘方，要把分子、分母分别乘方。=. （n为正整数）10、分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减。 + ；+ =+=。11分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程（以前学过的方程都是整式方程）12、解分式方程的一般步骤： 1在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程 2解这个方程 3把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，必须舍去13科学记数法（1）当绝对值大于10的数用科学记数法表示a10n

24、形式时，1a10，n的取值与整数位数有什么关系？（2）当绝对值较小的数用科学记数法表示中，a、n有什么特点呢？ 明确：绝对值较小的数的科学记数法表示形式a10-n中，n是正整数，a的取值一样为1a”或“b: 当时,则不等式的公共解集为xa; （同大取大）当时,不等式的公共解集为bxa; （大小小大，中间取）当时,不等式的公共解集为x0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，直线y=kx+b由左至右上升；当k0时，y随x增大而增大当k0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小（3）当k0x、y同号（+， +）（，）K0X、y异号（+，）（，+）第四章图形认识初步简单几何体（长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等