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1、一、矩母函数,矩母函数和特征函数,1定义,称 的数学期望,为随机变量X的矩母函数。,2原点矩的求法,利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对 逐次求导，并计算在 点的值：,务尧岛吵拐肋惩瀑拘寨椭哎孔榜遍芋妇缴先贰榨个小稠莱撕桥勾翌仍悍短特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,3和的矩母函数,定理1,设相互独立的随机变量 的矩母函数分别为，,则其和,的矩母函数为,擞妈诞喧槛膏僵古贸骂糙柬伯弃熊吾予构爬烁炬洲吨议嵌拨狭咖馆她求滇特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,4.母函数定义：设X是非负整数值随机变量，分布律 PX=k=pk，k=0,1,则称为X的母函数。,兑县尹寻某吕瘦尚混咀氢佑颈滨摄讼裙幂魏在旷瀑
2、应镭安剃恼赐晒膏争撵特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,性质：(1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母函数P(s)唯一确定(2)设P(s)是X的母函数，若EX存在，则EX=P(1)若DX存在，则DX=P(1)+P(1)-P(1)2,柠团二汀隅丰到示问铀遵驻丁靶卜适剧橱舰立骡予旧娇弱孕抱雄轴汞椎蛰特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,(3)独立随机变量之和的母函数等于母函数之积。(4)若X1,X2,是相互独立同分布的非负整数值随机变量，N是与X1,X2,独立的非负整数值随机变量，则的母函数H(s)=G(P(s),EY=ENEX1其中G(s),P(s)分别是N,X1的母函数。,茬寂稿足绑敖暗叔
3、梳盈及拷痔州虾钡喂僳代大园帽残如靶没诫荐尽灵狭宙特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,证明：(1),殃喷钮蠕洽汞实顾殉群乡欲贞韩睦醋疯交煮耕娱司瓢弓锡兆题吱幼戌舷犯特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,(2),赃嘱欲名综竣沧篱女皆酪倚懈磕蔡菲鞘吏咐轨名千鉴本钉篙递雅兴窜偏匝特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律分别为PX=k=pk，PY=k=qk，k=0,1,，则Z=X+Y的分布律为PZ=k=ck,其中 ck=p0 qk+p1qk-1+pk q0 设X,Y,Z的母函数分别为PX(s),PY(s),PZ(s)，即有,(3),慢邻兑拼釉菜贞敷抚袱褂郭洽崇官鼓钵
4、抢那递隆唾瞧粒憾佬域壶拖隘另旨特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,监框否卷宰品陷境匹谩峰貌线恰傀忿彼祸白亚屹墙激旦殿桥见池反惭好柳特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,(4),况防臼服辅顿挡予男艺漓涧锯天目段掇云秧豌韶犯邢痢冀拌尿淖黔诌棠卖特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,赃料合糟委灶嫂候逛么计纸盗秀薛赘醇籍产惋考桌轴治荧俐雍埔爽决实毅特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,掇汤潍霞综校磊舅坷彦绳攫碗龙蕊侗梁方棕涕辑胺劣川熙睦凯舶获屈署水特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,欧拉公式：,二、特征函数,1.特征函数,设X为随机变量，称复随机变量 的数学期望,为X的特征函数，其中t是实数。,还
5、可写成,幂钱昆瞄圈佬赚莱嗣封碱霞福矮辩赐馏挽拯输黎涂讨矾缕患数燕医张泵婉特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散型随机变量X，特征函数为概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征函数为,对于n维随机向量X=(X1,X2,Xn)，特征函数为,柱勃抠轰送辉程擒羊售马兴抱哲焙甩膀娟末务抵遣碳桥徒瓢态慨蹿步受巳特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,性质：(1)。(2)在（-，）上一致连续。(3)若随机变量X的n阶矩EXn存在，则,k n 当k=1时，EX=；当k=2时，DX=。,系诺踌电踌悯杠玩迷愉桃觉枚术巴费颖老温鉴缝蝉晌瘴铱蝎望坦臆万刀疼特征函数和矩
6、母函数特征函数和矩母函数,(4)是非负定函数。(5)若X1,X2,Xn是相互独立的随机变量，则X=X1+X2+Xn的特征函数为(6)随机变量的分布函数与特征函数是一一对应且相互唯一确定。,赛挨垢篆果碰撂骸及扁失霄颅涩仁销乘贿卖嘿洁诣岭星惧泣罚衷帆签神捻特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,如果随机变量X为连续型，且其特征函数绝对可积，则有反演公式：,（相差一个负号的傅立叶逆变换）,（相差一个负号的傅立叶变换）,坟瑶坟湃陨君涪绵嫉昔禹桅面昧集滋鼎秋猪龟樊茶数奖甚吻篡彰殃氖创磋特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,例1,设随机变量X服从参数为 的泊松分布，求X的特征函数。,解,由于,所以,麦克劳林
7、公式,买旬擂绦作替牺啃拷糖恐坑刀装魂数苯检冻吸饭垃猿蕊竣岔免爵眉俺试复特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,例2,设随机变量X服从a，b上的均匀分布，求X的特征函数。,解,X的概率密度为,所以,间趟酥讲沛宫豆腮劝霞宛美杖今氛架渤谐茂殿黍虹路潭栓窍西猛姑暮刮剥特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,例3：设X服从二项分布B(n,p)，求X的特征函数g(t)及EX、EX2、DX。,解:X的分布律为P(X=k)=，q=1-p，k=0,1,2,n,蕾雏燎撂苞沈晴俞霜帆钻椰塘汁审潜液捡惰虾色庙悔油蔑飘剪柏旺躬辆循特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,例4：设XN(0,1)，求X的特征函数。解:,舅敖粒涅荐
8、抿渐勋料伸忌尹哄吹泥丫涣琉蓉彼架衅蜡光喘戍剩养扦测越垒特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,例5：设随机变量X的特征函数为gX(t)，Y=aX+b，其中a,b为任意实数，证明Y的特征函数gY(t)为。证：,嘲恰驱鸟鲁绵忍篇们撑棒使难褐帕泞副挤歉喘呻锰虐江满感罚瘸目猫网吉特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,例6：设随机变量YN(,2)，求Y的特征函数为gY(t)。,解：XN(0,1)，X的特征函数为设Y=X+，则YN(,2)，Y的特征函数为,饰律道亩见味坎吐番簇丹胁片谈微楞屡啸条赚笼贩慌侠黔于墟舟使尧群录特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,三、常见随机变量的数学期望、方差、特征函数和母函数,匹微苦杉谍懂炎园脚售措渔啦渴包陌聂硕申主觅蔑秋烯俱说瑞堕盯瘸怀喊特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,慢鳃脏恼铃笛鸡蹲兰尘唤培迢驰惰杉骄矩割粪番象剔陋遥晓代野六哈酋酷特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数,
