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1、时间序列分析,第三章 ARMA模型的特性,本章共有四节内容：,第一节 格林函数和平稳性第二节 逆函数和可逆性第三节 自协方差函数第四节 自谱,第三节 自协方差函数,一、自相关函数,2.理论自相关函数与样本自相关函数,1.自相关函数的引入,3.格林函数与自协方差函数之间的关系,二、偏自相关函数,4.ARMA模型自协方差函数及其特点,一、自相关函数,1.自相关函数的引入,AR(1)模型：,Xt与Xt-j虽不直接相关，但有一定的相关关系，这就是我们这一节将要给大家介绍的自相关函数。,问题：Xt与Xt-2是否有相关关系？有怎样的相关关系？怎样去度量这种相关关系？对MA(1)模型呢？,2.理论自相关函数
2、与样本自相关函数,Xt：零均值平稳时间序列；任何一个ARMA模型都可转化为等价的零均值ARMA模型。,（1）自协方差函数cov(Xt，Xt-k)（若Xt零均值平稳）E(XtXt-k)=k,（2）理论自相关函数,自协方差函数 cov(Xt，Xt-k)=k,（3）样本自相关函数（注：样本数据也先进行零均值化处理）,自相关函数,由此可知，自相关函数和自协方差函数是关于零点对称的。一个正态平稳过程Xt能够被其均值和协方差函数（或等价地，均值、方差和自相关函数）完全刻划。,一个平稳过程的自协方差函数具有以下性质：,（4）自协方差函数和自相关函数的性质,（5）协差阵,(6)对样本自相关函数的说明,这是因为
3、后者的方差要小于前者；后者是正定序列，协差阵为正定阵，对平稳序列而言，自协方差的正定性是最本质的，常常是相关分析和参数估计的条件。,设随机变量Xt，Xt-1，Xt-2，Xt-n+1的任一线性函数为：,由于对平稳过程而言，有,可利用协方差的运算法则得到Lt的方差,若li不全为0，则上式必然大于0（方差大于等于0）。,所以Lt的方差为,由于对任意不全为零的常数,有,相应的，自协方差函数和自相关函数也都是正定的。,由此得知任何平稳过程的自协方差阵和自相关阵都是正定的。,对一般的Xt，k步滞后自相关k最令人满意的估计是其中 k0，1，2，N；该式是自协方差 的估计，称为样本自协方差函数，相应的自相关估
4、计称为样本自相关函数。,例1：,Xt的样本数据如下：求其样本自协方差函数和样本自相关函数Xt：47 64 23 71 38 64 55 41 59 48,计算步骤（1）计算样本均值；（2）对原序列Xt进行零均值化处理，得到yt；（3）计算yt的样本自协方差函数（4）计算yt的样本自相关函数（见Excel文件）,内容回顾:,对正态零均值平稳Xt,1理论自协方差函数:,2理论自相关函数,3理论协差阵、理论自相关阵：对称性、正定性,4样本自协方差函数和样本自相关函数,5样本自协方差函数是根据样本计算的理论自协方差函数的估计值；样本自相关函数是根据样本计算的理论自相关函数的估计值。它们具有“时间序列分
5、析”课程所特有的特点，与一般估计不同，计算时应特别注意。可利用Excel一步步计算获得，也可通过其它专用软件计算得到。,6要求大家掌握：,ARMA模型的理论自协方差函数（理论自相关函数）的算法、形式和特点；任给一个时间序列（某过程的样本实现）计算其样本自协方差函数（样本自相关函数）,ARMA模型,某随机过程,一个样本实现,时间序列,理论值,样本值,3.格林函数与自协方差函数之间的关系,例1：求AR(1)的自协方差函数及自相关函数,结论：AR(1)的格林函数即是AR(1)的自相关函数,例2：求MA(1)的自协方差函数及自相关函数,结论：MA(1)的格林函数和MA(1)的自相关函数有相同的特点,那
6、么：格林函数与自协方差函数之间到底有怎样的关系？,从自协方差的定义出发，利用模型的传递形式来考察格林函数与自协方差函数之间的关系。,得到如下结论：,例3：利用格林函数与自协方差函数之间的关系，重新计算AR(1)和MA(1)的自协方差函数及自相关函数。,即：格林函数和自协方差函数满足下面等式：,例4：计算MA(q)的自相关函数。,MA(q)的Gj为：,其自相关函数为：,4.ARMA模型自协方差函数及其特点,AR(1)：,MA(1)：,有：,例5：求AR(2)模型的自相关函数。,例6：对下面模型，求其各自的自相关函数,例7：写出下面模型的自协方差函数并说明其自相关函数的特点。,自相关函数是拖尾的。
7、,我们对表3.1给出的数据计算其样本自相关函数,表3.1 化工过程一组70个顺次产量的序列,取表中前10个数据，利用Excel计算得到r1为-0.78956，利用Minitab计算该时间序列的前18个样本自相关值，得如下结果：,ACF-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+1-0.390 XXXXXXXXXXX 2 0.304 XXXXXXXXX 3-0.166 XXXXX 4 0.071 XXX 5-0.097 XXX 6-0.047 XX 7 0.035 XX 8-0.043 XX 9-0.005 X
8、 10 0.014 X 11 0.110 XXXX 12-0.069 XXX 13 0.148 XXXXX 14 0.036 XX 15-0.007 X 16 0.173 XXXXX 17-0.111 XXXX 18 0.020 X,重要结论：,可以证明：AR(p)模型自相关函数都是拖尾的，MA(q)模型自相关函数q步截尾，ARMA(p,q)模型的自相关函数拖尾。ARMA模型自相关函数的变化特点与格林函数相同，其本质是自相关函数k 也满足AR部分的齐次差分方程。,此种性质称为截尾。对MA(q)模型，自相关函数q步后截尾，简称q步截尾。,2.MA(1)模型：,1.AR(1)模型：，当 时，模型平
9、稳，此时自相关函数逐渐趋于零，其速度与自回归参数有关。这种性质称为拖尾。若参数为正，呈指数衰减到零，若参数为负，正负交错衰减到零。,二、偏自相关函数,3.偏自相关函数的概率意义,1.偏自相关函数的引入,2.偏自相关函数的一般定义,4.偏自相关函数的计算,5.利YuleWolker方程计算,1.偏自相关函数的引入,对MA(q)模型，其自相关函数是q步截尾的，这是MA的特有标志，但AR和ARMA模型，其自相关函数却都是拖尾的。是否有某种统计量能体现AR的独有特性？有没有一种函数，对MA模型是拖尾的，对AR模型却是截尾的？回答是肯定的，这就是我们将要介绍的偏自相关函数。,用kj记k阶回归表达式中的第
10、j个系数，kk就是最后一个系数。利用线性最小二乘估计得到其中的系数，即对k，可选择系数,达到极小值的系数（k阶自回归中Xt-k的系数）称为偏自相关函数。,2.偏自相关函数的一般定义,使得：,Xt：零均值平稳时间序列，由Xt-1，Xt-2，Xt-k对Xt做回归，,即有：,AR(1)：Xt只与Xt-1直接相关，与Xt-j(j1)不直接相关，但其自相关函数却是拖尾的。也即Xt与Xt-2有关系。这是因为Xt与Xt-1相关，而Xt-1又与Xt-2相关，Xt由于Xt-1的缘故与Xt-2相关。事实上，Xt剔除Xt-1的影响后与Xt-2可能不相关。剔除中间变量影响后的相关就是偏自相关。,3.偏自相关函数的概率
11、意义,所以，对AR(P)模型，偏自相关函数p阶截尾。即,从另一角度来看，对AR模型来说，第k个偏自相关系数就是AR模型中Xt-k的回归系数，那么对于AR(p)模型，有,即，对AR(P)模型，偏自相关函数p阶截尾。,总的相关关系：,直接相关间接相关,自相关函数是不考虑是否有中间影响的Xt间的总的相关关系。偏自相关函数是剔除中间影响后的相关，是一种直接相关关系，也即描述Xt与Xt-k之间部分的相关关系，也即是一种条件相关。,4.偏自相关函数的计算,5.利用YuleWolker方程计算,根据偏自相关函数的一般定义和极值原理，对,关于,求导，得到：,最后得到：,将矩阵展开为方程组，即为Yule-Wal
12、ker方程。,对k1，2，3，依次求解Yule-Walker方程，得到,一个p阶自回归过程，当k小于或等于p时，偏自相关函数kk不为零，而当k大于p时，偏自相关函数kk为零，即AR(p)过程的偏自相关函数是p阶截尾的。通过计算推导可以证明，MA模型和ARMA模型的偏自相关函数都是拖尾的。根据MA模型的逆转形式可知，偏自相关函数有无穷多个；若模型可逆，则PACF拖尾。,对于平稳可逆的ARMA过程：（1）ARMA(p,q)过程的ACF会从滞后期q开始衰减。即ACF满足AR部分的齐次线性差分方程，其模式将会按特征根所表示的形式变化。（2）ARMA(p,q)过程的PACF会从滞后期p开始衰减。PACF
13、会依照模型 的PACF系数的形式变化。,第四节 自谱,目前国内外通常是从两种角度出发对时间序列进行分析，一种是将时间序列看成是依时间顺序发展的数据列，根据序列前后期之间存在的相关关系对时间序列进行更深层次的分析，这种分析称为时域分析。另一种是从波的角度出发，将时间序列看成是不同的波的叠加，并通过研究波动的频率特征来刻划时间序列的特性，这种分析称为时间序列的频域分析。,在时域分析中，自相关函数是主要工具，是分析平稳时间序列Xt的统计规律的数字特征。在频域分析中，谱密度是主要工具，是分析平稳时间序列Xt的统计规律的数字特征。两种分析方法相互补充，互不矛盾，也是相互验证，是一致的。,时间序列分析方法
14、：,时域分析：在时间域用有限参数模型描述时间序列的相关结构，并通过对模型的统计分析更进一步掌握序列的特性，主要工具是差分方程及自相关函数。,频域分析：在频率域中考察时间序列，将时间序列看成是由不同频率的正弦、余弦波组成，并通过研究波动的频率特征来刻划时间序列的特性，主要工具是傅立叶变换及谱、谱密度。,时域和频域是以不同的方式刻画时间序列的特性，时域方法直接分析观测到的依时间变化的数据，频域方法是将时间序列看成是不同谐波的叠加，着重研究波动的频率特征。,第四节 自谱,第3章 小结,1对任何一个ARMA模型，（1）能够写出或求出其格林函数的隐式解、显式解及其传递形式；（2）能够写出或求出其逆函数的
15、隐式解、显式解及其逆转形式；（3）能判断出该模型是否平稳；（4）能判断出该模型是否可逆；（5）能够求出其理论自协方差和理论自相关函数的形式；（6）能够说出其自相关函数和偏自相关函数的特点。,2对任何一个时间序列，会计算其样本自相关函数和偏自相关函数，并据此初步判断该序列属于什么模型。,3掌握自相关函数和偏自相关函数的概念和含义，平稳和可逆的含义。,例题：,1写出ARMA（2，2）模型的格林函数的隐式解和显式解、逆函数的隐式解和显式解、平稳性条件和可逆性条件。,2写出ARMA（3，4）模型的平稳性条件和可逆性条件。,3求AR（2）模型和ARMA（1，1）模型的理论自相关函数。,4求的前5个格林函数和逆函数，并判断模型的平稳性和可逆性。,5某时间序列如下，求其前三个样本自相关函数和样本偏自相关函数。Xt：47 64 23 71 38 64 55 41 59 48,
