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1、集合与函数饶雨（襄樊四中，湖北 441021）【知识点介绍】集合是数学的最重要的基本概念，在数学竞赛中也经常涉及到.对于数学竞赛中的集合问题，首先要正确理解其含义，弄清集合中的元素是什么？具有什么样的性质？其次应注意利用集合之间的关系及集合运算的性质，注重掌握解决集合问题的一些典型方法、思想和技巧，深刻理解这些方法、思想和技巧和本质，并通过一定的练习加以强化和巩固.函数既是高中数学的主线和重点，也是数学竞赛中的基本内容.一般以二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、无理函数、三角函数等为试题载体，考察函数的性质（单调性、有界性、极值性、周期性、奇偶性等）与图象（对称性、平移变换、翻折变换、压缩变
2、换等）.定义域、值域、对应关系是函数概念的三要素，也是竞赛命题的着眼点【典型例题】例1 设a, bR,A=(x,y)x=n,y=na+b,nZ,B=(x,y)x=m,y=3m2+15,mZ,C=(x,y)x2+y2144是平面xoy内的点.讨论是否存在a与b，使AB，且(a,b)C.分析：讨论存在性问题可以先假设存在实数a与b使结论成立，找出结论成立的必要条件.如果存在再证明它的充分性。解 如果存在实数a与b，使AB成立，那么就一定存在整数m和n，使n=m且na+b=3m2+15，也就是存在整数n，使得na+b-(3n2+15)=0 （1）如果存在实数a和b，使(a,b)C，那么必有a2+b2
3、144 （2） （1）式表明点P(a,b)在直线L：nx+y-(3n2+15)=0上,设原点到L的距离为d，于是 d=,等号只在n2=3时成立，而nZ，故等号不能成立，因此d12.因为点P到原点的距离d12,这使不可能成立.所以不存在实数a与b，使（1）与（2）同时成立，由此不存在a与b，使AB，且(a,b)C.说明 将a与b看成坐标变量时，（1）成为直线方程，是点(a,b)与（0,0）的距离，就可以考虑利用点到直线的距离等知识点来解题.例2 （1999年全国联赛）若(log23) x (log53)x(log23)(log53)，则( )(A)x-y0 . (B)xy0. (C)xy0. (
4、D)xy0.解 选（B）. 因为，所以为R上的增函数，为R上的减函数，因此为R上的增函数.根据已知条件(log23) x (log53)x(log23)(log53)，得，即xy0.说明：本题考察对数函数的单调性的判断及应用.例3 （1996年全国联赛）如果在区间1,2上，函数与在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是 ( ) (A). (B). (C). (D)以上答案都不对.解 选(B). 因为，所以，当且仅当，即时取，取得最小值.根据题设条件，有，解得，故.又，知在区间上为减函数，在区间上为增函数，故有最大值.说明 本题考察均值不等式的应用、二次函数的性质及最值的求法.例
5、4 （1994年全国联赛）已知且，则=_解 已知条件中的第二个等式即，它与第一个等式具有相同的结构。考察函数，由两个已知等式可知，.而函数是奇函数，故.又易知函数在上是单调递增的函数，所以，于是，故1.说明 本题考察函数单调性和奇偶性的应用，构造函数是解题的关键.例5 （2004年全国联赛）设函数，满足，且对任意，都有，则_.解 因为对任意，有，故，即.又，取代入上式得.说明 对于抽象函数，一般是通过取特殊值的办法来进行探求.例6 （2000年全国联赛）若函数在区间a,b上的最小值为2a，最大值为2b，求a,b.解 显然，二次函数在区间a,b上的最值与区间的取法有关，因此需要分情况进行讨论.1
6、）若，则在区间a,b上单调递减，故，于是有解之得，即.2）若，则在区间a,0上单调递增，在0,b上单调递减，因此在处取最大值，在或处取最小值，故.由于，故在处取最小值，即，解得，于是.3）若，则在区间a, b 上单调递增，故，于是有由于方程的两根异号，故满足的区间不存在.综上所述，所求区间为1，3或.说明 熟练掌握二次函数的性质和分类讨论的技巧是解决本题的关键.例7 （1998年全国联赛）设函数(a0)，对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间0,l(a)上，不等式|f (x)|5都成立。问：a为何值时l(a)最大？求出这个最大的l(a)，证明你的结论。解 首先应求出函数在定
7、义域上的最大值，然后根据最大值与5的大小关系进行讨论.，所以在定义域上的最大值为.分两种情况讨论：1），即，此时.所以l(a)是方程的较小根，.2），即，此时.所以l(a)是方程的较大根，当且仅当时等号成立.由，因此当且仅当时，l(a)取最大值.说明 函数 是一个含有参数的二次函数，需要根据对称轴和区间0,l(a)的位置关系展开讨论.例8 （2002年全国联赛）设二次函数满足以下条件：（1）时，且；（2）时，；（3）在R上的最小值为0.求最大的，使得存在，只要，就有.解 由题设条件：时，即，所以函数的图象的对称轴为，从而，即 （1）又在R上的最小值为0.，且图象的对称轴为，则，即有 （2）由已
8、知条件，当时，取，得，从而，即 （3）由（1），（2），（3）解得，故.假设存在，只要，就有.取，有，即，解得.对固定的，取，有，即，整理得.解得，于是有.当时，对任意的，恒有，即.所以的最大值为9.说明 在求函数的表达式时，充分利用已知条件，采用了两边夹的方法求出.求的最大值时，先取特殊值进行探索，确定出的范围，再根据函数的单调性得到的最大值，最后给出证明。这是解决类似问题经常采用的策略.例9 （2006年全国联赛）设 . 记，. 证明：.证明 （）如果，则，. （）如果，由题意 ，,. 则 当 时，（）. 事实上，当时，, 设时结论成立（为某整数），则对， . 当 时，（）.事实上，当时，
9、, 设时结论成立（为某整数），则对，有.注意到当时,总有，即 . 从而有.由归纳法，推出 .（3）当时，记，则对于任意，且。对于任意，, 则， 所以，。当时，即，因此.综合（），（），（），我们有.说明 本题的结论是与正整数有关的命题，利用数学归纳法进行证明是很自然的选择.练习题1. 已知集合，,，且，则整数对的个数为 （ ） （A）20. （B）25. （C）30. (D) 42. 2. 已知a为给定的实数，那么集合Mx|x23xa220，xR的子集的个数为( )（A）1.（B）2.（C）4.(D)不确定.3. 设全集是实数，若A=x|0，B=x|=,则是( )(A)2. (B)-1. (C
10、)x|x2. (D).4. 设，则对任意实数，是的(A)充分必要条件. (B) 充分而不必要条件.(C)必要而不充分条件. (D)既不充分也不必要条件. 5. 设，则的取值范围为 （ ）（A） （B） （C） （D）6. 在四个函数ysin|x|，ycos|x|，y|ctgx|，ylg|sinx|中以为周期、在(0，)上单调递增的偶函数是 ( )（A）ysin|x|.（B）ycos|x|.（C）y|ctgx|.(D) ylg|sinx|.7 已知Axx24x30，xR，Bx21xa0，x22(a7)50，xR，若AB，则实数a的取值范围是_8. 函数yx的值域为_.9. 已知是定义在（0，+）
11、上的减函数，若成立，则的取值范围是_.10. 对实数x函数f(x)=的最大值是 .11. 定义在实数集上，且对于一切实数满足等式：和，设是的一个根，记在区间中的根个数为，求的最小值。12. 设函数且严格递增，当互质时，若求的值。13.确定所有的函数，使得对任意，恒有.练习题答案和提示1.（C）. ；。要使，则，即。所以数对共有。 2. （C）. 3. (D).4. (A). 显然为奇函数，且单调递增。若，则，有，即，从而有.反之，若，则,推出 ，即 。5.（B） 因为，解得 .由或 解得或，所以的取值范围为 . 6. （D）.74a1 8. . 9. . 10. 2.11. ，故是以10为周期的函数.有，即，在内方程至少有两个根.而计200个周期，所以至少有=401个根，即。12. 由及，得，又取值为整数且严格单调递增，所以，又，从而必有，所以=.又19和98互质，=，即=1862.13. 设函数的值域为A，对于，可得，所以.取，得 （1）对任意都成立.取，得.因为，由此可知，对任意，存在，使得，根据（1）式，有 （2）比较（1），（2）两式，可得.从而，对任意，.反之，易验证满足题意，故所求函数为.
