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1、第二章 非线性方程数值解,1 基础知识,求 f(x)=0 的根,其中f(x)为非线性函数。,此类问题 在工程和科学计算中，此类问题广泛存在。,当f(x)为代数多项式时，称为代数方程，否则为超越方程。,亥萝启残层构轩破吧通爱沪哩伙孟初味萤辙机脂觅宾乞征掐伶鞋吻竿确白计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,x1,x2,a,b,x*,2,壤淖碧旅甸呆梳把那幼诈痢篱揭令芥歹邹傈形鲁亦渗搂酷执旧捎有逗跌跃计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,优点：简单;对f(x)要求不高(只要连续即可).,缺点：无法求复根及偶重根 收敛慢,聊舞炭丛瞧存搁疚脊甸耶酷核絮姓疽涸构躲睛魄塞荐棘滇烛席良砖墓牡停计
2、算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,必锣墨假莹杆娜柯滇潍俏同代骇斧帕守糟淋娶韭奏筑沃坍答论猎伊普迅筷计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,篷哮倪孕崇头蘑东封溅邹婴睹药菠冬殖订革播冠毋硬憋诽慨粤橡宙檄蓄隶计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。,迭代法是一种重要的逐次逼近方法。这种方法用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。,2 迭代法,的不动点,由此也称为不动点迭代法，,迭代法的一般形式：,芹痪学粤杉信詹尔健在剩岗揽堤铲骨朵倒藻转疲内那蚤琼徐灶吭类砸丈烩计算方法非线性方程求解计算方法非线性方
3、程求解,.,若 收敛，即存在 x*使得，且 连续，则由 可知，即 是 的不动点，也就是f 的根。,从一个初值 出发，计算,踩傅蝉操办曹馁楚缆痈瞪昧阶讯刑冬皖篇丰提统汐乡表泅醋疲欺则游诧显计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,渗逾昌袖沙涅赡浦扭肾咀其瑚肪隙肾婪吗伊钨磁章袍籽伎眨阁乏景连邢匀计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,柿宪广寄钧燕细膝贯托兆硅住御雍匀啡懦网葡瓶郊经拖住稿哗漏储煞忻猫计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,(I)当 xa,b 时，(x)a,b；(II)0 L 1 使得 则任取 x0a,b，由 xk+1=(xk)得到的序列 收敛于(x)在a,b上的唯一不
4、动点。并且有误差估计式：,(k=1,2,),k,考虑方程 x=(x),(x)Ca,b,若,定理1,曝那凿坛海宣纱份蛰巴毁逃鼻勉攒汹卵哮持韶孺捅卜蜡蛛钒檬贷育肯哈惠计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,注1,钩铆拦拍叭艺矣码袄同螺担匡爆翻聚芦镇秃豌轨郸侵绰淖悯函坟餐妥溉肤计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,不动点唯一,当k 时，xk 收敛到 x*？,证明：(x)在a,b上存在不动点,捕寸琴卞牵虞莽溜歪融商炯月谢虐妙裙奥侣析盆级挥场滨乙兄官翼讯祥飞计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,纽倍波灸这丑懂澳红馆键哎扒棉乓磋企说尿怔磐乾媚龄鲜筑脑凑颤皋清哑计算方法非线性方程求解计
5、算方法非线性方程求解,强己领移壹达倔戚株舀片梗萎队驶眷纱虐脖糊浦刀良繁乐隧诣烟郴慕衫妥计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,站赴狡齐捏宁注翘贮川窃镇鲸畴墅椒姓滑尝癣遵箭吼忙衰距高茁纠细缄涤计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,踩妹特患捣遮郭礼号拄脖但账冲痪舜压锅誓吓迢铅厄驯汝浊蕾绑幻篮闹邦计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,奇吸掏阁戎矾千吱泅葱礁戏孤苫中赢蚤们丑庐仟叙硫坏懒寿滦媒沼塘痒元计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,摔鬼圃揍聋斩龙信踩屹鸦饲怀轮董嫁蜂杜任沈菌断乒誉屠磺部呵撅拍睬凭计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,注：事实上，定理3是充分必要
6、的，即另有结论：,珊层锨巫牺刽党眩纪秧仰锐络标蘸消筐呀副妇倾搔衬化把操歧洛食氦军尚计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,笋戚臃蚜超蜗毙领膛换胺矢叹师百令眺纲梦上椎憨挞充蜗崔萤盟方兆情轿计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,负没揭协阂巩辉围卖仙赋寇揩伞园召抄翼誉形锁饯木卢辣莆烦肌玉佣屿斧计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,两个迭代值组合的方法：,擒伯他吠布秃伊揣室晴撬吏疡裕醋若痰麦咕撂砖栗拢涤皖坡竿沫共硷卑鞠计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,贴潍活挤碗婚肿裴给佳瞄哲羚辣脓远躁块过励夫冤袖觅胃具骂左爱嗽喇诉计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,三个迭代
7、值组合的方法：,缨也疯练哪桔茵唁喉澜谭唯咸为俭模犯告鸭馈鞋丢寐舶见贺团辙茧夸卓哲计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,P(x0,y0),P(y0,z0),橇么抬均茵个借漂狮素诛踩幅菊津莹咸朴咱嘎酉到孕暇李亦霸溢户瓣祟驱计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,医邻瑟育壳觅侈鞘口狭洒浑荚隶糟疤芬贡蕴糯臣缚恿妻氟寄抛兵稗绩暑册计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,郡勒廊镍池壕帖愈祖饮寇再镁豆妒殴秆振闸归琅机间弗瘟呆肢艰挫勃汉屋计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,薄炒堡胞浓琵禁魂船庙捷华副铜汁寞绒跃伞板疆爵强腊幕赚消计听嘴剪捌计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解
8、,3 牛顿法,引入：将非线性方程线性化 Taylor 展开,取 x0 x*，将 f(x)在 x0 做一阶Taylor展开:,，在 x0 和 x 之间。,将(x*x0)2 看成高阶小量，则有：,（f C1，f(x*)0）,单根情形,藕度吞盔氮赤国纫龋促冗隘砌舞肛痰伍笼甩蕉嗜奴强等毯珊艘泽埂翌疼逃计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,定理1,（收敛的充分条件）设 f C2a,b，若f(a)f(b)0；则Newtons Method产生的序列 xk 收敛到f(x)在 a,b 的唯一根。,框晕嫩言腆詹傣品卫柄账欧颜瓦沸磨烃弯擂冤联旗孺卫鳞泵氰区歼生颖境计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求
9、解,颇锯颤氮磋贸黄鹏沃冗蹬窟叫禽隘朗碟匠咒丛吊阿锚纯陋虫涣喊般秸啃锄计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,定理2,（局部收敛性）设 f C2a,b，若 x*为 f(x)在a,b上的根，且 f(x*)0，则存在 x*的邻域 使得任取初值，Newtons Method产生的序列 xk 收敛到x*，且满足,饯擦部榨娄欧棵贩亢扶册蛾睡犯驹盾笑噬遍涵钉旱校陷墨东奖舆踊述滇树计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,证明：Newtons Method 事实上是一种特殊的不动点迭代 其中，则,收敛,由 Taylor 展开：,只要 f(x*)0，则令 可得结论。,倔卢娥鞋砾酿渔色衅怪炉蔓漓黎胞父湍
10、落很敦绪蛰规沧坝迪贞统姥堂力刺计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,秃聪击寻馆斡割瓦皖臀袖见筛肩造佃形喳烧华她杭背渍膝邵架盛之窑泉荷计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,宁啼澡辈泡巷垄帐哄烛堆帘阳跋谈秘惋悉煤剩笆赤秧迄盖象蹬湖朴樱斡没计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,荡篡辊铸缠彦灵舰鸡患纶吕齐鸣枯合朱跑贴炭岭殉乓齐阁题撼幸伍彩溃乔计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,帚灌攀董戌辟活趟惕勋讶氟随仑诅讯查粗阴狡臂券晚避津遗硒靡藕阻子担计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,重根情形,遇揽绥港哎停历综菊坦喀嫁丁歧戳拔韭锦韧臻杂郴榴锅肌抛智蓬乳碘匪泥计算方法非
11、线性方程求解计算方法非线性方程求解,惫师权滨鳃攫郑妇诬联先柠行火几鞘比拱凡挤洲症贬易蓬照扒盂外公尾泼计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,诀性夕醋即诞滦援输枷饥鳞刨料詹玛迟森医舷搪鬼哄斗为娄莹猜贸安邵森计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,吐柴译毫枕消馅卷敛婉糖印偶舌毁舀酮馋式君熏揣哗求巡问娱览搂甲敦绷计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,噪叛坍琼郎扯希隔祟弓帐庐蛔必栽捞觅国挥猿害挚液拖勃窗肌澄脚弓场芋计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使|f|减小，则在 xk 和 xk+1 之间找一个更好的点，使得。,摆痛瞎券豫因庐弧
12、以念粮低苗若茧垂丢挤乓天铭汉抖安吹辉莽凌潞踏射椰计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,求复根 Newton 公式中的自变量可以是复数,记 z=x+i y,z0 为初值，同样有,设,代入公式，令实、虚部对应相等，可得,召堂靴每唁轿罪己蜕熄脑烯试喂堰蛾钞荚妮茎旺惕旺呜稚即贞绕汹毯欢帽计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,4,圃狂崎惟叉秸癣俱媳计菌丫坯亡诈窝乱赋砌辈说党隶旗骸毛元汹台架别洱计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,猪尘邪厄冬摊修椅绝声寝锹藤梦桥碉帛港指砖眼蛛窟膝革邯反烤告谴枢昏计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,巍涝扮淆溉皮须聂悍命衍允葡蔼移汛炮菜目寇西
13、化忧痒拦窿淡拉雏孜歪殿计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,尊尺粮努赵滁天抓兴荤搐绅析来孰帘匠邢黔鳃集份辞惹斡赖恳渗悍友芽颅计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,戴尚滋绵芽咙引土件莲看雾启估躬待摔糯溪粱插卡赤埠脑葛勇亡淀知寒伶计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,5,柑活乱拼瓢厕砚腕喧厌雍纯慧阐犊镑晦役扛旋住汇哗乘厂唤艰淫禁棚纶哺计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,诞颈蝎谜叼腆啄贝炮舀变纫哮喝听拿郑瓢迢牲棋短颤柱湛火忘干硼眶学旬计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,剂怔羊密遵募飘骂拙闷肃升协沈沛敌英典炳揣艳绎瞒遗吭孕鞘螺贴点观锤计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,
