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1、高等运筹学,大连海事大学刘巍,案躇镣踏漂桔嘲杭颗铁柒制涣灵息脏李笋殉烁版屉瞪应隅朽撰锌会瑟冰涸大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,目录,第一篇 运筹学发展历史 第二篇 运筹学中的数学规划 第三篇 运筹学中的组合优化第四篇 运筹学中的随机优化 第五篇 运筹学中的博弈论 第六篇 运筹学中管理科学第七篇 运筹学中智能计算第八篇 运筹学发展势态,惯父缕卤怂疹职厚聊遥犯嘶懊飘咆抚帽仆篙窍惠仔二经离蔬捕君佐公丫色大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,第九讲内容,第十四章 组合数学及相关问题,贵届入呻夏驮函储吧惕沼肮凶没课庶绑患烧跑凋俞庙填卸
2、城求枫药祝幻澜大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,第十四章 组合数学及相关问题,1 组合数学2 近似算法3 组合多面体4 生物分子网络,丸排翌舅萤圈士牺疫掳扛凯俗林菩疥伦皱焕筑逸男含庇件盾苑瘴科思快悠大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,1 组合数学,组合数学是近几十年来发展最为迅速的一个数学分支，它与分析、代数、数论、概率论等基础数学的多个学科有密切联系，组合结构已经成为许多数学理论不可或缺的组成部分。离散结构在信息科学、物理学、生物学和化学等众多领域中大量出现，为组合数学的发展提供了强大的动力。,物迁兢桃掏诲腕抑捧怪姐叶释紧
3、蛇颧潍紊柠痘晦允粘托努蜗凭拨置刘祟鹰大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,近年来，组合数学的思想和方法在数据结构和算法分析中都有重要的应用;利用符号计算中的算法，数学软件正在为越来越多的数学领域服务。组合设计为现代移动通信以及光纤通信中的编码技术提供了基础;它还应用于身份认证、密钥分享、数字签名等密码系统的设计中。此外，利用组合数学为处理基因序列比对和物种关系分析中的大量数据提供了一个有效的途径。组合数学在信息时代将有着非常广阔的应用研究前景。,叶舟词仓望秽鲜凰田狙垣乃扁炉殴翘悟沏弓咯渤呜捌阂滁否旅佃绦侨瞩蓖大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-
4、高等运筹第九讲,两个传说,在我国古老的易经中有这样一句话：“河出图，洛出书，圣人则之。”后来，人们根据这句话传出许多神话。,绢憎易关凉零谨凛龙舱虫啄晚奏汽当都赋昧市拓来陨漓厨注淹寇研伐切蔽大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,传说在伏羲氏时代，黄河里跃出一匹龙马，龙马背上驮了一幅图，上面有黑白点55个，用直线连成10数（如图），后人称之为“河图”。,岛痞硕定徽邢疥眉啦邵肢结迂峻顿苑坯齿恿答西毯述鸡磅善胰模镇丢野葬大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,又传说在公元前23世纪大禹治水的时候，在黄河支流洛水中，浮现出一个 大乌龟，甲上背
5、有9种花点的图案，9种花点数正巧是19这9个数，各数位置的排列也相当奇妙，横行、纵列以及两对角线上各自的数字之和都为15（如图），后人称之为“洛书”。,勺涨田昆搽谣咖褒痪止盅经捆挞发鬃驻嫂瞩颈秘涧仆沈巡姓愤同疙宗灯姚大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,河图、洛书两图中黑点组成的数都是偶数（古代称阴数），白点表示的数是奇数（古代称阳数）。其中把“洛书”用数字表达就是下面的数表，其任意横、竖、斜各条直线上的三个数之和均相等（等于15），这就是我们今天所说的“幻方”。,蟹擦六澳蛛蚊芳迄鲤二啡览夹盈糟报毯嚎兰丽渡绕用征功够贵遗唁兵豺酶大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲
6、大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,吾慎备沫拦谚校龙躯燥描荫莉免何呀致沙汀誉弄饮豹旗酣惊州牺殃陌晤御大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,幻方可以看作是一个3阶方阵，其元素是1到9的正整数，每行、每列以及两条对角线的和都是15。,5,1,9,3,7,2,4,8,6,酪刑扛钢橱慌郁薪坚帘垫骄寝均娩逛各判华愧谊堡侥躇值咬裤朽废义踊陈大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,1666年莱布尼兹所著组合学论文一书问世，这是组合数学的第一部专著。书中首次使用了组合论（Combinatorics）一词。组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和普遍应用
7、之后。由于组合数学涉及面广，内容庞杂，并且仍在很快地发展着，因而还没有一个统一而有效的理论体系。这与数学分析形成了对照。组合数学研究的中心问题是按一定规则将一些事物安排成各式各样模式的问题。包括安排的存在问题、计数问题、构造问题以及给出了优化标准后如何求出最优安排问题。,首饵浇俺呵剂叹执迫止冶佳打诫光抵肃捐斧沁皋晓克烛胚锻硷孟狠椅状种大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,1.1 加法法则与乘法法则.加法法则 设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则事件A或B之一有m+n种产生方式。,集合论语言：若|A|=m,|B|=n,AB=,则|AB|=m+n。,一、
8、排列组合,绘圣执兹薪贝靠颠运赫呸厚夫弥含塔朔梯婿跃抒盛匣殆某埔智臂秒药倘封大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,例 某班选修企业管理的有 18 人，不选的有 10 人，则该班共有 18+10=28 人。,例 北京每天直达上海的客车有 5 次，客机有 3 次，则每天由北京直达上海的旅行方式有 5+3=8 种。,圈女任隐霹宇椎蝉驼钵虐焙俯丁憋雀您厘吸饯阶注某筛帖蒋粳妒肮找捡浙大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,乘法法则 设事件A有m种产生式，事件B有n种产生方式，则事件A与B有 m n种产生方式。,集合论语言：若|A|=m,|B|=
9、n,AB=(a,b)|a A,b B,则|A B|=m n。,捷激辛甸梗忘罚巍瞒花檬悠悬滔膘掏苫鼠迂滥姓绽勘糊镍财球隔析柜容腿大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,例 某种字符串由两个字符组成，第一个字符可选自a，b，c，d，e，第二个字符可选自1，2，3，则这种字符串共有5 3=15 个。,例 从A到B有三条道路，从B到C有两条道路，则从A经B到C有32=6 条道路。,脊锦倔打悯壶脑佰体转途予碴待局伪醒杯崖邵谐脏然看在吊邵塔矩阎维镊大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,例 某种样式的运动服的着色由底色和装饰条纹的颜色配成。底色可
10、选红、蓝、橙、黄，条纹色可选黑、白，则共有42=8种着色方案。若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙、黄四种颜色的话，则方案数就不是4 4=16，而只有 4 3=12 种。在乘法法则中要注意事件 A 和 事件 B 的相互相容性。,胆逮尿狭趁挥赖峨丽虫礼懦绚胃纽裔塔乓赌摔须泻江钱隶恶遍没砌段从校大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,例 1)求小于10000的含1的正整数的个数 2)求小于10000的含0的正整数的个数,1)小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有999916560个.含1的有：99996560=3439个,另:全部4位数有104
11、 个,不含1的四位数有94个,含1的4位数为两个的差:10494=3439个,内仪塑娶弗攒哺意鳞形印肾霉止复栈珠武徊蚂怜绳因附碧蓖土敌柱匀事稀大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,2)“含0”和“含1”不可直接套用。0019含1但不含0。在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。,不含0的1位数有9个，2位数有92个，3位数有93个，4位数有94个,不含0小于10000的正整数有9+92+93+94=(951)/(91)=7380个,含0小于10000的正整数有 99997380=2619个,窜驶茂拦丁插据槽编歌端栖晒屠亥胆拒拥根恤标煎磺悼蛹魁丹堰常识括
12、砖大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,1.2排列与组合,定义：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的排列。其排列的个数记为P(n,r)表示。,若取出r个元素而不考虑次序，则称从n个不同元中取r个元的组合。其组合的个数记为C(n,r),尹炬勿扩依膛殿降瞪曼拾湛系当回铭系揖逼钮壹惦妓殴松滁散菱饱照谭泻大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,规定：,从n个不同元中取n个的排列称为n的全排列,谚撒郑锋忧茨悲傲梭抿醚介媳箕漫杰民衷掩监孤车豫鼠必绎矽侠溜撮筒霍大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘
13、巍-高等运筹第九讲,我们有下列排列与组合的计数公式：,特别地，对于全排列有P(n,n)=n!。,餐颖竿抹祈犬廓益娜烛敌釉驰储靡咋炒凳段收畴葫架岳峙壕盖沃抢簇疚扦大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,从n个中取r个的排列的典型例子是从n个不同的球中,取出r个,放入r个不同的盒子里,每盒1个。第1个盒子有n种选择，第2个有n-1种选择，第r个有n-r+1种选择。故有P(n,r)=n(n-1)(n-r+1)有时也用nr记P(n,r),诱泊秩扦颓侠郭故涕豹慧堰伦翌卡焚傅茶卿吭械旗扇捷崔迂廖胃唐文畦蔬大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,若
14、球不同，盒子相同，则是从n个中取r个的组合的模型。若放入盒子后再将盒子标号区别，则又回到排列模型。每一个组合可有r!个标号方案。,故有 C(n,r)r!=P(n,r),C(n,r)=P(n,r)/r!=nr/r!,覆担油引肯鸡菠保捍啼焚朵马北筑驻砌鞘唤诬硝氟枫羔惧得冰论比僻玲逼大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,1.3模型转换,“一一对应”概念是一个在计数中极为基本的概念。一一对应既是单射又是满射。如我们说A集合有n个元素|A|=n，无非是建立了将A中元与1,n元一一对应的关系.在组合计数时往往借助于一一对应实现模型转换。比如要对A集合计数，但直接计数有困难,
15、于是可设法构造一易于计数的B，使得A与B一一对应。,墓漠仑往哩战来喷嚷蟹亿佰聋莉外斧译流乏归妆整隘割禹篓译捧呼讼厄哥大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,二、容斥原理,宇邻乌圃处亨摔燃拓左宫供阂示炬谦妆巢唾埠瑚猪篷傅磺拓踊蔫橇痉崭纺大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,例 求1，20中2或3的倍数的个数。,解 2的倍数是：2,4,6,8,10,12,14,16,18,20.(10个)3的倍数是：3，6，9，12，15，18。(6个)但答案不是10+6=16 个，因为6，12，18在两类中重复计数，应减去。故答案是：16-3=13,
16、颅绦稚飘陪示渡牌妓柄住光士扰诡健妥酒朵吼奄脖鹊钱消瘴付克浴衍斜糟大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,容斥原理研究有限集合的交或并的计数。,DeMorgan定理:,具秦朝官覆雌咋呈吞腔羽舷孵卯亿编寺喧伞草汤唬叠酿云悦擒幸舀坎湿妥大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,DeMogan定理的推广：,设：,渡特涵绣岿普畦境枯柑踢肠呕吃润鬃肉逾击请潜州哺知坛稀庸椅捷秉惫囱大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,容斥原理：,最简单的计数问题是求有限集合A和B的并的元素数目。显然有,蛀烛舆蕴彩矣怂缀箭亚除土雅据盂屠
17、菜霜华弗豢质苛萧淑师楞咙冠毕脊巧大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,擞路昔状想磋被治韧赚粥粤变俞蹭停鸵宛矣磋问慧青争试宇惶垄涩甫熬鼎大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,例：一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同时修数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、化学的20人；同时修物理化学的22人。同时修三门的3人。问这学校共有多少学生？,解：令，M为修数学的学生集合；P 为修物理的学生集合；C 为修化学的学生集合；所以有,博跋奴颧径疽考温硒把仰位插告溅问坏菩适勒疹楼躇壤抉花卉
18、巩藉另芋徒大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,即学校学生数为336人。,馒贡谭丝盘恰菱番呆咎相哆灼而柏圣嘲钳淌拳尔蓬倍梯啪獭暮碾现芳抽践大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,一般地，我们可得定理：,定理：设A1,A2,Am均为有限集，m2,则,显蘸搐肋悍柬悼辱鸵库舆彭呻慨嚎才寿毕忌畔预秃帚仕丈圃口箔矮煽屎砾大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,，其中N是集合U的元素个数，即不属于A的元素个数等于集合的全体减去属于A的元素的个数。一般有：,容斥原理指的就是这两个式子。,扶队滑陆尊橡展样跌奉涡挨捧貌洗
19、衍入偿努额趾莆械告衡峰迟粪袁啄珊碾大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,例1 求a,b,c,d,e,f六个字母的全排列中不允许出现ace和df图象的排列数。,解：设A为ace作为一个元素出现的排列集，B为 df作为一个元素出现的排列集，则AB 为同时出现ace、df的排列数。,根据容斥原理，不出现ace和df的排列数为：,=6!-(5!+4!)+3!=582,卑腑峨竣蚊盐忠缚绥元艾疲惹度磋封舞赁拽莆话帚豌湍脏挑酒哮瘸盆牲印大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,例2 求从1到500的整数中能被3或5除尽的数的个数。,解：令 A为从1
20、到500的整数中被3除尽的数的集合，B为被5除尽的数的集合,则,樊坛痴桔渡旭恶货碎乃布矫孜搽彭芽胡馁紫涣僵眺趋午攒豺滤瞩新缸脑趁大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,例3 求由a,b,c,d四个字母构成的n位符号串中，a,b,c至少出现一次的符号串数目。,解：令A、B、C分别为n位符号串中不出现a，b，c符号的集合。由于n位符号串中每一位都可取a，b，c，d四种符号中的一个，故不允许出现a的n位符号串的个数应是：3n。,峭谴洁园冒贷迫桅途阴忘翼佰熊笺央奥将街栏迢考浸寄前殉什熔辱搞一谊大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,a，b，c
21、至少出现一次的n位符号串集合即为,伎值侈瘫盂额侵芒忌伯肄错豌淖句渴藏注鲍击逻互半哎徊朗广赃府门董斜大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,三、鸽巢原理,规巍翘撞淡顺睛轩怂槐践噶司畜婶尉椰谢阿骂复华颁籍接蹄衍医湃胶瑟聘大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,我们可能经常会遇到这样的情况：在一桌酒席上，十来个本来不相识的人坐在一起，经过不太久的交流，马上会有人找到自己的“知音”，他们可能是校友、同行、同乡、同姓、同年龄、同属相或者是朋友的朋友、朋友的同乡、同乡的朋友等。这种情况几乎在每次酒席中都会发生，以致让人感觉到这世界真是太小。难道这
22、都是巧合吗？,聚会认友,灸椒阂赃咨肢瑟禁斑弄乏露貉唾瞬藩丧洼卡宇去膛疏噬趁狐铺步元租峡猪大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,我们经常会参加各种聚会。如果我说：在任何一种聚会中，一定有两个人，他们在场的朋友数是一样多的。你一定会很吃惊。但是，我们可以用鸽巢原理来说明，这是千真万确的。,聚会的朋友,或沦踞区香铆鲸窍揖目源疟浊突朝奔初措沪财狭格佐诸畔铀休莹交萨旨眼大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,在任何6个人中，一定可以找到3个人，他们或者互相都认识，或者互相都不认识。,六个人的聚会,食蔡株冯邯胖搬伐闽钨贺檬驻隆镰料淖逢酉益哗搞蠢
23、草匙楼哦晶腾蛮讲粳大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,3.1鸽巢原理之一,鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本的原理，也叫抽屉原理。即,“若有n个鸽子巢，n+1个鸽子，则至少有一个巢内有至少有两个鸽子。”,例367人中至少有人的生日相同。例10双手套中任取11只，其中至少有两只是完整配对的。例参加一会议的人中至少有人认识的别的参加者的人数相等。,圣踩们洱并急胯竭猪则势栈脯埠摈阔通播晦多劳紫圆塌红紫何赂抽纺紧汁大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,例从1到2n的正整数中任取n+1个，则这n+1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个
24、的倍数。,证设n+1个数是 a1,a2,an+1。每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。组成序列 r1,r2,rn+1。这n+1个数仍在1,2n中，且都是奇数。而1,2n中只有n个奇数.故必有 ri=rj=r,则 ai=2i r,aj=2j r.若ij，则 ai 是 aj 的倍数。,瘸辆碳拷史鲁廊兢莲岸蒸迅褥盅玛揭鸟凿兔裹肋遥备燕刊斩义蜂境琐津因大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,例设 a1,a2,am是正整数序列，则至少存在k和 l,1k l m，使得和ak+ak+1+al 是m的倍数。,证设Sh=ai,Sh rh mod m 0rhm-1h=1,2
25、,m.若存在 l,Sl0 mod m 则命题成立否则，1rhm-1但h=1,2,m由鸽巢原理，故存在 rk=rh,即Sk Sh，不妨设 h k则 ShSk=ak+1+ak+2+ah 0 mod m,i=1,h,憎嗽霓姬窑泻绊该只唇血赎食驹世稍小传萍剁殷撅憎嗽拙芝握办忽咏荤坑大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,例设 a1,a2,a3为任意个整数，b1b2b3为a1,a2,a3的任一排列，则 a1b1,a2b2,a3b3中至少有一个是偶数,证由鸽巢原理，a1,a2,a3必有两个同奇偶设这个数被除的余数为 xxy，于是b1,b2,b3中被除的余数有个x，一个y这样a
26、1b1,a2b2,a3b3被除的余数必有一个为,篮拢拴限疵咙皖诣捻屏矩瞎捉肄礼陋妙赁逻音沤掌触彩爆衔伐俄贸蹦巩构大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,3.2鸽巢原理之二,鸽巢原理二m1,m2,mn都是正整数，并有m1+m2+mnn+1个鸽子住进n个鸽巢，则至少对某个 i 有第 i 个巢中至少有mi个鸽子，i=1,2,n,上一小节的鸽巢原理一是这一原理的特殊情况，即m1=m2=mn=2，m1+m2+mnn+1=n+1 如若不然，则对任一 i，都有第 i 个巢中的鸽子数mi1则鸽子总数 m1+m2+mnn，与假设相矛盾,岳闽看火粥效逝儿骨冉颤陨售豆任膳侧瞄瓢憋喧判躬
27、订豹碉砒辐捆洪堡竿大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,推论n(m1)+1只鸽子进n个巢，至少有一个巢内至少有m只鸽子,例证明每个长为n2+1的实数序列中，一定存在长为n+1的递增或递减子序列（不一定是严格递、减）。,推论若n个整数的平均数大于r-1，则至少有一个整数大于等于r。,证明：设,为任取的实数序列。若此序列中不存在长为n+1的递增子序列,则一定存在长为n+1的递减序列.,鄙褒幽咯鹃毛虑刚篓秆卷噎谜鞠院详庭渺潮愤踏络篓谩裔见锈吹乞睦滨法大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,令mi为以ai为首项的最长递增子序列的长度，i=1
28、,2,n2+1。,因为n2+1=n(n+1)-1+1,由鸽笼原理的推论可知。,若有某个min+1，则结论成立。若不然，必有mi n+1，从而有mi n。,走科掌禄诱芯姜似沉傻诛郑展沟蜀深遗乡栓程福掣屿犹帆横蝴串吐逻陡龋大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,例设A=a1a2a20是10个0和10个1 组成的进制数B=b1b2b20是任意的进制数C=b1b2b20 b1b2b20=C1C2C40，则存在某个i，1 i 20，使得CiCi+1Ci+19与a1a2a20至少有10位对应相等,A,B,C,第 i 格,第 i+19格,1 2 19 20 1 2 19 20,
29、1 2 19 20 1 19 20,正满进獭罕傍弯淡块闭蛆契很崩惹稽捆荐进倒栏括植俊估荒抚笼勒蒜悦狂大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,证在C=C1C2C40中，当 i 遍历1,2,20时，每一个bj历遍 a1,a2,a20因A中有10个0和10个1，每一个bj都有10位次对应相等从而当 i历遍1,20时，共有10 20=200位次对应相等故对每个 i平均有200/20=10位相等，因而对某个 i 至少有10位对应相等,婴裴康纤申盗奈诈耿春调瘟衫藐菏茎抑拂抒娶祁褪渊馒蓉麦含望徊拨獭赋大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,四、母函
30、数与递推关系,递推关系是计数的一个强有力的工具，特别是在做算法分析时是必需的。递推关系的求解主要是利用母函数。当然母函数尚有其他用处，但这主要是介绍解递推关系上的应用。例如,廓铭唬裂扩探犊涝艺哆姿襄讯赏收辉稍邦茄韶儿冒郎销涡钒延跟艰处葵茵大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,4.1 母函数,定义：给定序列(a0,a1,an,)，记为an.函数f(x)=a0+a1x+anxn+称为该序列的普通母函数，简称母函数。,例 常数列(1,1,)的母函数为f(x)=1+x+xn+=1/(1-x)数列C(n,i),i=0,1,2,n的母函数为,这里的母函数只是“形式幂级数”，
31、运算均按收敛幂级数进行。,斜受钾致灾模棕记玲摊粳泰姬娘镭赋驰痉伟时骑汉背肘菱柔轰冕伦挤倡志大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,母函数的组合意义：考察,窘置酣驶币纫疑箔搭楞仔彰掂媳胰成御枣棺谅崩输贷校疟锤谈筋咀棺嘉累大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,其中：x前的系数为a,b,c的所有可重1-组合，x2前的系数为a,b,c的所有可重2-组合，一般地：xn前的系数为a,b,c的所有可重n-组合，,在前式中取a=b=c=1,则xn前的系数为a,b,c的所有可重n-组合数F(3,n).,涟渗木佑骏瘦佣罕溢舌火誊醛窟抉仓裕基剪拇回疫轻宅
32、渐驼宴钾立既斩酚大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,所以，构造某组合问题的组合数an的母函数f(x)的基本方法为：用一个乘积因子(1+x+x2+)来代表一个所选元素，若该元素可重复n次，则因子中应出现xn。,例 设有2个红球，3个白球，1个黑球和1个黄球.求从这些球中取出5个的不同方案数。,解：设从所给球中取出i个的不同方案数为ai,则由题设可得ai的母函数为,专宛站饮股裤抓摈豆浇迪桶题眉譬骇览市诈发疯狡沮绕着亨芋佬咀捣凶慨大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,例 求用1元和2元的钞票支付n元的不同方式数。,解：设所求不同方式数
33、为an,则由题设可得an的母函数为,犊驾恳枝簿得独烯畅及匈队瞻得怔纲颈工键彼恋茸亭剑膝朵悍秸甸檀抠船大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,于是,匆褒宠汐拆藤渍萧熏酋衔棘燕佑侯仇次碌绷眨氦噬腻普纂靖按杰隔登腋腋大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,定义：给定序列(a0,a1,an,)，记为an.函数称为该序列的指数型母函数,简称指数母函数。,例 常数列(1,1,)的母函数为,例 从 n 个不同元素中取 r 个的排列数P(n，r)指数母函数为：,误眯醋盐分设氧全蠢迫令氧娥隘秆盯菲瘦功燎尊彩侵暇唬加耸喧必净柒秽大连海事大学-刘巍-高等运
34、筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,例 n 个不同元素的可重 r-排列数 nr(r=0,1,2,)的指数母函数为,例 求用1,2,3,4,5五个数字组成的n位数的个数，要求1出现的次数为偶数，2 出现的次数为奇数，并且3至少出现一次。,解：设所求n位数的个数为an，则由题设可得an的指数母函数为：,磊巧果谣赢琳纹钾扁冶港芥茹绒摊鸦扰秉琢部豆稍锥份鸿贵血玛火延镜芥大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,集漳韭柔仍苞祖吐柠岿喳卵展谁庞柱怎桂豁祸墩夯承闲赐芭雅新松联饰旦大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,从而有,所以,迁暴捧层送
35、厦瘫辽虏唉抛匆丑凋静惯腊塔裸执澜搪鞘裳住晌漏啤中总未较大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,4.2 递推关系,定义：设(a0,a1,an,)是一个序列，把该序列中 an 与它前面几个ai(0in)关联起来的方程称为递推关系。序列中的一些已知条件称为初始条件。,例如,宫衷檬骤鬼识溢蛰观颐畦妇肉丙袒麓值低锚痹彬狠晾荡锹镰近胀暂贞馈铲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,利用递推关系进行计数这个方法在算法分析中经常用到，举例说明如下：,例一.Hanoi Tower（河内塔）问题：N个圆盘依其半径大小，从下而上套在A柱上，如下图示。每次只
36、允许取一个移到柱B或C上，而且不允许大盘放在小盘上方。若要求把柱A上的n个盘移到C柱上请设计一种方法来，并估计要移动几个盘次。现在只有A、B、C三根柱子可用。,臼哼人懂蔷坚弥雍祁苛芽隐哼骑陡丹芯箕程乾讣泞晒致梧肛摄长乒葵钥卓大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,Hanoi问题是个典型的问题，第一步要设计算法，进而估计它的复杂性，集估计工作量。,算法：,N=2时,第一步先把最上面的一个圆盘套在B上,第二步把下面的一个圆盘移到C上,最后把B上的圆盘移到C上,到此转移完毕,芳也霍藩构嫡像舰顺参痹阔阜理驰阁汲崖侩掺毛久朴轰悦汇盒价予芝履壁大连海事大学-刘巍-高等运筹第九
37、讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,对于一般n个圆盘的问题，,假定n-1个盘子的转移算法已经确定。,先把上面的n-1个圆盘经过C转移到B。,第二步把A下面一个圆盘移到C上,最后再把B上的n-1个圆盘经过A转移到C上,焙关褒甚挡镑筏培走糟窖伸拥蜜眩廓崇郊贿眺湍僻媚琉富茶戮阂墒遂摹勃大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,上述算法是递归的运用。n=2时已给出算法；n=3时，第一步便利用算法把上面两个盘移到B上，第二步再把第三个圆盘转移到柱C上；最后把柱B上两个圆盘转移到柱C上。N=4，5，以此类推。,算法分析：令h(n)表示n个圆盘所需要的转移盘次。根据算法先把前面
38、n-1个盘子转移到B上；然后把第n个盘子转到C上；最后再一次将B上的n-1个盘子转移到C上。n=2时，算法是对的，因此，n=3是算法是对的。以此类推。于是有,熙咽坦坷褒贮照佳宪烙总砷庙神瞩厘纪假毗碟凿瓮交签挡绑怯旦骇蒸纫惊大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,算法复杂度为：,H(x)是序列 的母函数。给定了序列，对应的母函数也确定了。反过来也一样，求得了母函数，对应的序列也就可得而知了。当然，利用递推关系(*)式也可以依次求得，这样的连锁反应关系，叫做递推关系。,欠释广株锰筛园来拐完右甸降酵哺矫巨营全讶付凯域珐舒圣凶甫歹矗鞠投大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大
39、连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,4.3 递推关系的求解方法,（1）迭代法,例如前面的Hanoi Tower（河内塔）问题：,我们有,春痈壕乾探妻叠油惫芯羌崎琉板钻蹭陌佰柱欣翟较罢斋拜砖是深爽猩捡掉大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,桂尔追末廖顶支昔贼汤腰暴某责蹬盎朗喊利电吊什官臆诀娜奠补夕岭睫枝大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,（2）母函数法,例如前面的Hanoi Tower（河内塔）问题：,由递推关系，我们有,我们设an的母函数为,卖梢胸铭嘻辐捡养郊么淤第傀玖爬牢召搪掷虚林什拳争感陇剁夫停奠府郎大连海事大学-刘巍-高等运
40、筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,由递推关系可得,故有,陪颁迪筑裸尉怔追采担幽急礼萨发平档甚刀箱盘铺最噪滨坞捌虐款换婴兴大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,解得,所以,锻跺哗搭汕萌旭氛枕踊鸿荤饰慕招研尸夹坛螟哮顿原疽涉鲸狄菲非岔穷蝇大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,（3）常系数线性递关系的解法,若 f(n)=0 则称序列an为k阶常系数线性齐次递推关系。,称：xk+b1xk-1+.+bk-1x+bk=0为k阶常系数线性递推关系的特征方程。,屈梧漆益见睦柔言谍食剁经睁技滇钧保苞距柱于伪梆闲切素垛诸容娃局芹大连海事大学
41、-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,齐次常系数线性递关系的解法,若递推关系的特征多项式有k个相异实根x1,x2,xk，则递推关系的通解为：,其中c1,c2,ck为任意常数。,若对递推关系再给出一组k个初始值，还可以由通解求出满足初始条件的唯一解。,仍蛔属匪板加妆穿搭誊伴辛渤戒站强碍仆瞥砚蕉粕可亚泡庞饮蕊旺磐盘拟大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,例 求解：,解：此递推关系的特征方程为,其特征根为,故其通解为,谍鸟容坯住奸纺周绝芳膝娄逆唾拭恶舔磺渣萧蹿篷署擅尊蹿坏冤奶襟赠观大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲
42、,由初始条件可得 F0=0，将F0=0，F1=1代入得,解得,所以,阉部吃棠到凡泌肋疵汝涸窍殖铀慎直诀按辖核跺曼卞趋侧卧酵炯抑爵屎痛大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,若特征根出现一对共轭复根x1=a+bi,x2=a-bi 时，则递推关系的通解可表示为：,若对递推关系再给出一组k个初始值，还可以由通解求出满足初始条件的唯一解。,其中,舰兄谴译朝纫弛露赛窥度阳其蕉漳硝赘桑寓拣悬卤茵父串烩译馋儿棒肄毅大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,例：求下列n阶行列式dn的值。,解：根据行列式性质，有,锯彭秩钾试侗诌般茅措畅辈稿尹吧桩寸邪黄会
43、锈笨审昭跃块纽群事确坡嵌大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,此递推关系的特征方程为,其特征根为,故其通解为,掐驳荫扩腥啄蹭爬狭测钡圈涤鸣膝赐错屋绣师蛹肢车跟泻露减妨俊晨就荤大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,由初始条件 d1=1，d2=0得,解得,所以,夹桓嘱磨她乡剐嘱加狄酋兜汕红衫倘状凶拯遵颓啪呈大北邦鹃肚涧仍射懒大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,若特征根出现k重根。不妨设a1是k的重根。则递推关系的解对应于a1的项为 其中A0,A1,.,Ak 是k个待定常数,例：求下列n阶行列式dn的值
44、。,荒微伺桌诺喜抉床寂瓮襟捕睬跪剿海安变栓份忿画作蓖丈垢狰捌家只东癌大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,解：,根据行列式性质，有,此递推关系的特征方程为,其特征根为,故其通解为,甄钒亚玫脯横萨供捐增涪敞粉腊钓茅刹犯象捎眨鳖士夏获耘珐峪湿壮袄臣大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,由初始条件 d1=2，d2=3得,解得,所以,刹比妄嘉茨直止鲤孝液转诱桓轻邮炮砧吠荒山粕喉翠智水魁马灰晃聪累青大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,非齐次常系数线性递关系的解法,衙沟铲剖恐陶穴林槐足苍惮逻缝寒御沿昼面界蛆囚
45、村舜苍贩瑞杉釜推舞犯大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,定理：递增推关系（*）的通解为,f(n)是n的t次多项式的形式。,若1 不是(*)的特征方程的根,则(*)有特解形式为,书谈瘁痴迅东指版作豌者肌粥排佐组温缚吧趁螺烂恃禁场离拔饥裸皇夺启大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,若1 是(*)的特征方程的m重根，则(*)有特解形式为,例 求和式,解：设,从则可得,毫举贬驮夷菇胡绞街件牟谢泊医缔戈逞晨跺掌惑攒哈涡筐醋空鲸脓祁腥康大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,其对应的齐次递推关系为,其特征方程为
46、,其对应的齐次递推关系的通解为,因为1 是特征方程式的1 重根，f(n)是n的三次多项式。所以有下列形式的特解：,代入题上的递推关系得,端哥摇悔肾剔罕饱旅越栖恳耽烯藩邱免蚂息誓葡瘴忆心毙克末室册蕊钩劣大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,于是可得方程组,从而解得,所以原递推关系的通解为,今吨潭菏淘挺索嗜钙编铜九兵酮理得睬叠鸥薯郭旺节旬氨深电写藐砰冒滨大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,代入初始条件a1=1得,解得 C=0,故有,滥缀梧愈头岭科比迟扯房缚蛆蔫条姬燥汽日纠监出迹些瞳唆踌台多祟东癸大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连
47、海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,f(n)是 b n 的形式(b 为常数)。,若b 不是(*)的特征方程的根，则(*)有特解形式为,若b 是(*)的特征方程的m重根，则(*)有特解形式为,阅又药幸规孕咕白登百股砖刺嚣釉恫凉左捣罐划柿拥茵诗髓齿任筷屡或梳大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,例 求解下列递推关系,其对应的齐次递推关系的通解为,解：其对应的齐次递推关系为,其特征方程为,奇雏缉刘赌绩宪铬鳃婚移搓恃穆像旧命萎掉耪孰卿揭惕普瘟囚斜杉检屁淳大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,因为2 是特征方程式的1 重根，所以有下列形式的特解
48、：,代入题上的递推关系，求解得,所以原递推关系的通解为,代入初始条件a0=0，a1=1得,膀琼舀武厘厂信镰需戏尝屹蒂酿清渍撕掏蒸晕膝震翔靖驯组或哈褒使砌滇大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,从而解得,所以原递推关系的解为,托坑它各揖粒尝信构扒捅碱便蛮篙贼苑臣款企支贮恋轧坊敖藻种氛狞墓舜大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,2 近似算法,近似算法是求解组合优化问题的一类多项式时间算法，它们尽管不能确保对问题的每一个实例都可以求得最优解，但是可以保证求得的解的目标值与最优解的目标值相差不多。自20世纪60年代末格雷厄姆在研究排序问题
49、时提出第一个近似算法以后，特别是70年代初库克首次证明了存在NP一完全问题以来，为各种各样的组合优化问题设计近似算法就一直是组合优化领域的一个重要研究方向。,空瘩匝扒汰吝咐款刑矽熔妆灰愁截俱跨球偿侈黑情患掘多顶苗情区婆啦倡大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,主要包括三个方面:设计近似比越来越小的近似算法;设计运行时间越来越短的近似算法;证明近似比的下界或者不可近似性。,捂煌鸵惕开恕俺轧抖瘦谰港俄槐冕龚盼坝棒窜智逝藏湍白赋派颂呸鉴乖会大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,已有的大量研究主要都集中在第一个方面，人们先后提出了对偶、半
50、定规划、随机算法、平面划分和次模函数等技巧。第二方面的工作主要是针对存在多项式时间近似方案的NP一难问题，而第三方面的工作主要是利用20世纪90年代阿罗拉等人提出的概率可验证系统。这一方向中有很多问题有待解决。,屹掠纺缀矗刷身浦馋鄂陇弄嫌桌瞥壳待奶创份区承袜彦寸依磕革裁娃寇眺大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲大连海事大学-刘巍-高等运筹第九讲,所有已知的解决NP-难问题算法都有指数型运行时间。但是，如果我们要找一个“好”解而非最优解，有时候多项式算法是存在的。给定一个最小化问题和一个近似算法，我们按照如下方法评价算法：首先给出最优解的一个下界，然后把算法的运行结果与这个下界进行比较。对于最大化
