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1、第四章 一元函数积分学,一、原函数概念定义一：设 f(x)是定义在区间D上的函数，若存在函数F(x)对任何xD,都有F(x)=f(x)(或df(x)=f(x)dx)则称F(x)为f(x)在区间D上的原函数(简称为f(x)的原函数)如:已知函数f(x)=sinx函数F1(x)=-cosx和F2(x)=-cosx+2都是f(x)=sinx的原函数。(C)=0,F(x)=-cosx+C都是f(x)=sinx的原函数注：一个函数的原函数若存在，则有无数个。,定理1，若F(x)是f(x)在某区间上的原函数，则F(x)+C(C为任意常数)包含了f(x)的全体原函数。如：在任一点x处切线斜率为2x的曲线方程
2、是y=x2+c2、不定积分的定义定义2，对于某区间D上的函数f(x)，若存在原函数，则称f(x)为可积函数，并将f(x)的全体原函数记为f(x)dx称它是函数f(x)的不定积分,其中f(x)是被积函数,x是积分变量,是积分符号。若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的不定积分为 f(x)dx=F(x)+C(C称为积分常数),注:(1)积分号表示对函数f(x)实行求原函数的运算,即要找出导函数等于已知函数f(x)的(原)函数F(x)+C(2)x是积分变量,它与用什么字母表示无关,所以 式中将x换成u仍成立,即f(u)du=F(u)+C(C为积分常数)(3)“求一个已知函数f(x)的全体原函
3、数”可表示为:(4)求一个已知函数f(x)的全体原函数的方法为:先求一个原函数F(x)即F(x)=f(x)再由 式即可求出全体原函数.,f(x)dx=F(x)+C,例1、已知曲线y=F(x)在任一点x处的切线斜率为2x，且曲线过(1,2)点，求此曲线方程：解：由导数的几何意义知：k=F(x)=2x(x2)=2x F(x)=x2是2x的一个原函数。y=2xdx=x2+c又曲线过(1,2)点,把x=1,x=2代入上式得2=12+C即C=1所以,所求曲线方程为:y=x2+1,例2 经过调查发现,某产品的边际成本可由下列函数给出2q+3某中,q是产量数,已知生产的固定成本为2,求生产成本函数。解：设所
4、求生产成本函数为C(q)，由题知：C(q)=2q+3(q2+3q)=2q+3F(q)=q2+3q是2q+3的一个原函数C(q)=(2q+3)dq=q2+3q+c0(c0是积分常数)由已知生产的固定成本为2,即生产是q=0时,成本是2,代入上式,得C(0)=02+30+C0=3 得C0=2所以,生产成本函数为:C(q)=q2+3q+2,二、积分基本公式1、不定积分与导数(微分)之间的关系：上式表明，求不定积分与求导(微分)是互逆的运算。,2、导数基本公式 积分基本公式注：上述积分公式中x可以换成u。,举例：,三、基本积分法1、不定积分的性质性质1：两个函数之和(差)的不定积分，等于它们的不定积分
5、之和(差)即性质2：在求不定积分时，非0常数因子可以提到积分号外面。即,2、直接积分法：得用不定积分的运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。举例：书P155157例1：求下列不定积分。,例2、某商场销售商品的边际收入是64q-q2(万元/千件)某中q是销领带量(千件)，求收入函数及收入最大时的销售量。解：设收入函数为R(q)，由题知R(q)=64q-q2得,由q=0,R(q)=0,知，C=0因此，所求收入函数为收入最大时的销售量是使的q值，得q=64(q=0舍去)所以获得最大收入时的销售量为64(千件)3、凑微分法(第一换元法)由 应将微分dx凑成使变量-改为3x，即,由应将微分dx
6、凑成，使变量一致变3x-1，即一般地，凑微分法是先将f(x)dx中的f(x)dx凑成微分形式(可统一变量的微分形式),亦即第一换元法。注：关键是将f(x)凑成f1(u(x)u(x)且f1(u(x)u(x)dx可利用积分基本公式积出。书P158159注：关键是将f(x)凑成f1(u(x)u(x)且f1(u(x)u(x)dx)可利用积分基本公式积出.书P158159,例3:求下列不定积分:解:(1)用凑微分法及积分基本公式,(2)用凑微分法及积分基本公式(3)用凑微分法及积分基本公式,(4)凑微分法及积分基本公式4、分部积分法(1)分部积分公式定理4.2设u(x)，v(x)是可微函数，则有u(x)
7、v(x)dx=u(x)v(x)-u(x)v(x)dx,注:分部积分公式简写为udv=uv-vdu 分部积分关键是:a:被积函数f(x)可以写成u(x)v(x)的特殊乘积形式;b:等式右边的积分u(x)v(x)dx容易计算出结果。1)若f(x)是幂函数乘以ex或sinx、cosx常选择幂函数为u(x)，把ex、sinx、cosx写成v(x)形式。2)若f(x)是幂函数乘以lnx,常选择lnx为u(x)，把幂函数写成v(x)形式。3)若f(x)是ex乘以sinx、cosx、u(x)、v(x)可以任意选取。,如：求下列不定积分：解：,移项得：,(2)分部积分的列表法：列表为:(+)ug求导(-)u
8、v(=gdx)此表的具体运算方法如下:横向函数相乘再积分;左列函数依次求导数,右列函数依次求积分;斜向函数相乘不积分,符号选择依次取正负.ugdx=uv-uvdx 横向 斜向 横向,注:由分部积分列表法的图表结构可知:右列的函数应是容易积分的(即原函数易求);左列的函数一般应是求导后逐渐简单的;左导右积的结果相乘,其积分应是逐步简化,并最终方便求出结果的。如：求下列不定积分：,解:(1)(+)x e-x(-)1-e-x(+)0 e-x(+)lnx(-),(3)(+)x2 cosx(-)2x sinx(+)2-cosx(-)0-sinx(+)e-x cosx(-)-e-x sinx(+)e-x-
9、cosx,移项得：,四、定积分1、定义设f(x)在区间a,b上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，数值F(b)-F(a)称为f(x)在a,b上的定积分(或称为f(x)从a到b的定积分)记为：即N-L公式其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量，数a和b分别称为积分的下限和上限，a,b称为积分区间。,注：在计算 时，选取哪一个原函数是无关紧要的；变上限定积分，xa,b是x的函数,还是f(x)的一个原函数 定积分 与积分变量所选取的字母无关,即,规定:定积分的计算:先由不定积分法找一个原函数,再由N-L公式求出其函数值;不定积分与定积分的区别:不定积分的结果是函数,而定积分的结果是一个函数值.,
10、2、定积分的性质：设f(x)、g(x)在a,b上连续，则有性质1：性质2：性质3：例4：计算下列定积分：,(1)(2)解:(1),(2),3、定积分的换之积分法和分部积分法(1)换元积分法：或,定理3 设f(x)在a,b上连续，若其中f(x)在a,b连续，u(x)在、上单调有连续导数u(x)且当x=a时，u=,x=b时,u=,则作变量替换u(x)=u可得该式称为定积分的换元公式。,(2)分部积分法：定理4：设函数u(x)和v(x)在a,b上连续，则该公式称为定积分的分部积分公式。举例：计算定积分：,解:(1)(+)lnx x2(-)(2)(+)lnx 1(-)x,注：不定积分与定积分的关系：不
11、定积分的结果是全体原函数，而定积分的结果是一个函数值；在计算定积分时，可以先得用不定积分的方法求出一个原函数，再由N-L公式求出定积分的值。,不定积分的换元积分法，换元后必须还原；而定积分的换元积分法，换元必须换限。在运算熟练后，也可略去换元过程，此时定积分上下限也就不必改变。如：计算定积分解：(方法一),(方法二)：五、广义积分定义4 设函数f(x)在无限区间a,+上连续,若极限 存在,则称f(x)在a,+上的无穷限广义积分(简称广义积分)收敛或存在,记作:并称这个极限值为广义积分的值。,若极限 不存在，则称广义积分发散或不存在。类似地，其中C是(a,b)内的任意实数。,注：无穷积分的求法：先把它看作普通意义下的积分，利用有限区间上的定积分的计算方法计算，再求其极限求出相应的广义积分。举例：计算下列广义积分：书P177练习或简写为：,作业：习题4打题及书P183.7.9,
