东方考研强化班.ppt

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1、新东方2015考研数学强化班,主讲：胡 雷,第一章,函数、极限、连续,1.函数,1.定义：设变量x在某实数R中任意取一个数时，另一变量y按一确定的法则总有确定的实数与其他对应，则称y是x的函数，x成为自变量，R成为函数的定义域，记作y=f(x),xR.注意：定义中有两个要点：1定义域R，它表示自变量x的取值范围.2对应法则f(),他表示给定x值，求y的方法。,2.函数性态,1.单调性判别方法方法（1）用定义本身,设 是否为正（或为负），从而推得的f(x)是单调递增或者单调递减的。方法（2）利用导数来进行判断,对可导函数y 而言，若 则y单调递增；若，则y单调递减。,2.函数性态,2.奇偶性判别

2、方法：方法（1）.定义本身就是奇偶性的原理与方法f(x)=f(-x)，f(-x)=-f(x)。方法（2）.间接法1.奇函数的导数必定是偶函数，偶函数的导数是奇函数2.偶函数的原函数中仅有一个是奇函数。,2.函数性态,3.奇函数的一切原函数都是偶函数。4.f(x)-f(-x)为奇函数，f(x)+f(-x)为偶函数。,2.函数性态,3.周期性定义：f(x+T)=f(x)，则称f(x)是以T为周期的周期函数。判别方法：方法1，定义本身就是一种最基本的判别方法。只需计算f(x+T)是否等于f(x)即可。,2.函数性态,方法2：间接法1.由sinx,cosx的周期为 可以推出 sin2x,cos2x，2

3、.f(x)是可导的周期函数 仍为周期函 数（且周期不变）。,2.函数性态,注意：f(x)的周期为T，那么（1）.例1.,2.函数性态,（2）.例2.,2.函数性态,（3）.若 例3.若f(x)为连续的周期为T的奇函数，那 么 的周期为T（因 为）,2.函数性态,3.有界性判别方法：方法1：定义本身就是一种判别方法。但是值得注意的是，方法原理虽然很简单，但要找到M却十分困难，因为 本身涉及不等式的放大或缩小，技巧性极强。一般情况下，对此并不特别要求，只需掌握基本，例如：由 在（-，+）上有界,2.函数性态,方法2：间接法(1).若f(x)在a,b上连续,则f(x)在a,b上有界(2).若f(x)

4、在a,b上可积,则f(x)在a,b上有界(3).若f(x)在开区间(a,b)上连续，且 存在，存在 f(x)在开区间（a,b）上有界(4)若 在含x0的区间上无界,2.函数性态,无穷小的阶,求,无穷小的阶,求,无穷小替换,求,单调有界准则求极限,若0 x13,xn+1=求,求极限中的常数,若求a,b.,求极限中的常数,若求a,b.,求极限中的常数,若求a,b,c,求极限中的常数,若,且A.a0C.a0，b0D.a0，b0,考研真题题型种类分析,题型1.求题型2.求题型3.求 0型极限题型4.求-型极限题型5.求 0有界量型极限题型6.求题型7.极限中常数的确定,考研真题题型种类分析,题型8.函

5、数性质（单调性，奇偶性等）题型9.无穷小的比较或确定无穷小的阶题型10.数列极限存在的判定或证明或求解题型11.函数极限存在的判定或证明或求解题型12.函数连续性的讨论或证明题型13.函数间断点的判定或证明题型14.与极限相关的定理的命题（介值定 理，保号性，单调有界等）,考研真题题型种类分析,题型15.求n项和的数列的极限题型16.求函数的表达式题型17.求函数的值域题型18.数列收敛性的判定或数列极限求解,数列极限转换为函数极限,求,题型1.求,1.,2.设 则 _.3.求极限.,题型1.求,无穷小替换求极限,求,洛必达法则求极限,求,题型2.求,1.求极限,2.,题型2.求,3.,题型2

6、.求,题型3.求 0型极限,1.,题型3.求 0型极限,2.,题型3.求 0型极限,3.,题型4.求-型极限,1.,题型4.求-型极限,2.,题型5.求 0有界量型极限,1.,题型6.求,1.,题型7.极限中常数的确定,1.若 则a等于,题型7.极限中常数的确定,2.若 则a=_，b=_.,设 求,带参数的极限,求,有界性,当A.无穷大量B.无穷小量C.无界量D.有界量非无穷小量,题型8.函数性质（单调性，奇偶性等）,1.函数 在下列哪个区间内有界 A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3),麦克劳林级数展开式,麦克劳林级数展开,麦克劳林级数展开,麦克劳林级数展开,麦克劳林级数

7、展开,麦克劳林级数求极限,求,题型9.无穷小的比较或确定无穷小的阶,(1)当 时，与 等价的无穷小量 是（）A.B.C.D.,题型9.无穷小的比较或确定无穷小的阶,(2)当 时，与 是等价无穷小，则（A）（B）（C）（D）,题型9.无穷小的比较或确定无穷小的阶,(3)已知当 时，函数 与 是等价无穷小，则（A）k=1,c=4（B）k=1,c=-4（C）k=3,c=4（D）k=3,c=-4,题型9.无穷小的比较或确定无穷小的阶,1.,题型10.数列极限存在的判定或证明或求解,1.,题型11.函数极限存在的判定或证明或求解,1.设 0 求：（1）（2）,题型12.函数连续性的讨论或证明,1.设函数

8、 在（-，+）内连续，则c=_.,题型12.函数连续性的讨论或证明,2.设 其函数在 x=0 处连续，则的 取值范围是_.其导数在x=0处存在，则的 取值范围是_.其导函数在x=0处连续，则的 取值范围是_.,题型13.函数间断点的判定或证明,讨论其间断点。,题型13.函数间断点的判定或证明,1.函数 的可去间断点 的个数为（）(A)1.(B)2.(C)3.(D)无穷多个,题型13.函数间断点的判定或证明,2.函数 的无穷间断点为:(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.,题型13.函数间断点的判定或证明,3.函数 在-,上的第一类间断点是x=_.(A)0(B)1(C)(D),题型14.与极限

9、相关的定理的命题（介值定 理，保号性，单调有界等）,1.设 在a,b上连续,且(A)至少存在一点(B)至少存在一点(C)至少存在一点(D)至少存在一点,题型14.与极限相关的定理的命题（介值定 理，保号性，单调有界等）,2.设函数f(x)在0，+）上可导，f(0)=0,且 证明：存在a0,使得,题型16.求函数的表达式,1.设函数 f(x)在(-,+)上有定义，在区间 0,2上，若对任意的 x 都满 足 其中 k 为常数，（1）写出f(x)在-2,0上的表达式；（2）问k为何值时，f(x)在x=0处可导。,题型17.求函数的值域,1.参照题型8.,题型18.数列收敛性的判定或数列极限求解,1.

10、设 则数列Sn有界是数列an收敛的（）(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)非充分也非必要条件,题型18.数列收敛性的判定或数列极限求解,4.证明：对任意的正整数n，都有 成立；设 证明数列an收敛。,题型18.数列收敛性的判定或数列极限求解,5.证明方程 在区间 内有且仅有一个实根；.记中的实根为 xn，证明 存在，并求此极限。,第二章 一元函数微分学,题型1.与导数或微分概念和性质相关的命题题型2.求复合函数的导数或微分题型3.求隐函数的导数或微分题型4.函数极值或最值的判定或求解题型5.函数拐点或者凹凸性的判定或者求解题型6.求一元函数的高阶导数题型7.函数在某

11、一区间至少存在一点或者两点使某一式子成立的判定或证明,第二章 一元函数微分学,8.函数不等式或文字不等式的证明或判定9.求一元函数在一点的切线方程或法线方程10.求曲线的渐进线11.函数图形的相关命题12.方程的根的判定或证明,题型1.与导数或微分概念和性质相关的命题,1.,题型1.与导数或微分概念和性质相关的命题,2.设函数y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0,f(x)0,x为自变量x在点x0处的增量，y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若x0，则（）（A）0dyy（B）0ydy（C）ydy0（D）dyy0,题型1.与导数或微分概念和性质相关的命题,若,题型1.与导数或微分

12、概念和性质相关的命题,3.已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0,则（A）-2f(0)（B）-f(0)（C）f(0)（D）0,题型1.与导数或微分概念和性质相关的命题,4.,题型2.求复合函数的导数或微分,1.设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x),f(2)=1,则 f(2)=_.,题型2.求复合函数的导数或微分,2.设函数,题型3.求隐函数的导数或微分,2.,题型4.函数极值或最值的判定或求解,1.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且 g(x)0（C）f(a)0,题型4.函数极值或最值的判定或求解,3.曲线 的拐点是（）（A）(1，0)（B）(2，0)（C）(

13、3，0)（D）(4，0),12.方程的根的判定或证明,3.设 则 的零点个数为（）（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.,题型5.函数拐点或者凹凸性的判定或者求解,1.若曲线 有拐点（-1，0），则b=_.,题型5.函数拐点或者凹凸性的判定或者求解,2.设函数y=y(x)由方程 确定，试判断曲线y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性。,题型6.求一元函数的高阶导数,1.,题型6.求一元函数的高阶导数,2.,参数方程的导数,1.,8.函数不等式或文字不等式的证明或判定,3.证明：当0ab时，,函数不等式或文字不等式的证明或判定,求证：,8.函数不等式或文字不等式的证明或判定,1.证明：,极值点

14、和拐点的定义判断,若 连续，A.x=0是极小值点。B.x=0是极大值点。C.（0,f(0)）是拐点D.不能确定,极值点和拐点的定义判断,设f(0)=0,且A.驻点非极值点B.驻点且极小值点C.驻点且极大值点D.不可导,不等式的证明,试比较,根的个数证明,证明方程:,罗尔定理的推论,罗尔定理的推论：,中值定理,设奇函数f(x)在-1,1上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：,根的个数证明,确定a的值，使,画图的步骤,画f(x)图形大致步骤如下：（1）求出驻点（2）求出单调区间（3）求出极值（4）求特殊点的值关键步骤是（1）和（3）。若是要更加精细的图形理论上还应该有渐近线的分析和描绘。,10.求

15、曲线的渐进线,1.曲线 渐近线的条数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3,10.求曲线的渐进线,2.曲线 渐近线的条数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3,11.函数图形的相关命题,12.方程的根的判定或证明,1.证明 恰有2实根,9.求一元函数在一点的切线方程或法线方程,1.在 坐标平面上，连续曲线L过点M(1,0)，其上任意点P(x,y)(x0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a0）,求L的方程,罗尔定理,1.设f(x)在0,1三阶可导，且f(0)=f(1)=0.设F(x)=x2f(x),求证：在(0,1)内存在c，使得F(c)=0.,罗尔定理,罗尔定理的逆向使用过程中，

16、需要找到原函数，下面对一些常见的原函数进行归类。,罗尔定理,1.求原函数时常用公式,罗尔定理,2.求原函数时常用公式,罗尔定理,如果原函数求不出来，前面的方法就不适用了，这种情形下，有时把证明f(x)在（a,b）存在零点转为证明(x)f(x)在(a,b)存在零点，其中(x)在(a,b)内恒正，进一步转化为证明(x)f(x)的原函数F(x)（F(x)=(x)f(x)）的导数F(x)在(a,b)存在零点（因为f(x)的原函数求不出来，但(x)f(x)的原函数可能求得出来）。,罗尔定理,例如：证明f(x)+P(x)f(x)-Q(x)在(a,b)存在零点,等价于证明(x)f(x)+P(x)f(x)-Q

17、(x)在(a,b)存在零点，其中(x)为(a,b)内任意恒正的函数,受求解一阶线性方程积分因子法的启发,取 时，有,罗尔定理,这就转化证明辅助函数 的导函数在(a,b)存在零点。,罗尔定理,【例1】f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，f(a)=b,f(b)=a.求证：存在 使【例2】f(x)在1,2上连续，在(1,2)上可导，f(1)=1/2,f(2)=2.求证：存在属于(1,2)使,罗尔定理,【例3】f(x)在a,b连续，(a,b)上可导，f(a)=f(b)=0.求证存在属于(a,b),使f()=f()分析：以上三题要证的结论分别是（1）f()+f()=0（2）f()-2f()=0（

18、3）f()-f()=0,第三章 一元函数积分学,题型1.求不定积分或原函数题型2.已知函数图形判断原函数图形题型3.定积分的计算题型4.定积分的比较题型5.定积分的等式或不等式的判定或证明题型6.求平面图形的面积题型7.求旋转体的体积,第三章 一元函数积分学,题型8.函数与其原函数的性质的判定或证明题型9.求含有定积分或变上限积分的方程题型10.反常积分的计算或收敛性的判定题型11.定积分的应用,题型1.求不定积分或原函数,1.求,题型1.求不定积分或原函数,2.计算不定积分,题型1.求不定积分或原函数,3.求,题型1.求不定积分或原函数,三角函数的不定积分经过有理化处理后计算变得更加简单,题

19、型1.求不定积分或原函数,求,题型1.求不定积分或原函数,求,题型1.求不定积分或原函数,4.已知 且 f(x)=_.,题型1.求不定积分或原函数,5.若,题型1.求不定积分或原函数,6.若 是f(x)的一个原函数，求7.设,题型1.求不定积分或原函数,8.若9.求,题型1.求不定积分或原函数,10.,一元函数积分学,1.求,题型15.求n项和的数列的极限,1.,一元函数积分学,2.求,题型4.定积分的比较,1.设 则I,J,K的大小关系是（）（A）IJK（B）IKJ（C）JIK（D）KJI,题型4.定积分的比较,2.,题型5.定积分的等式或不等式的判定或证明,1.使不等式 成立的x的范围是（

20、）,3.,一元函数积分学,4.,一元函数积分学,题型3.求隐函数的导数或微分,1.设可导函数y=y(x)由方程,题型4.函数极值或最值的判定或求解,2.求函数 的单调区间与极值。,5.求,一元函数积分学,5.分析：利用常用的结论,一元函数积分学,6.求,一元函数积分学,5.解：,一元函数积分学,5.请熟悉以下结论：,一元函数积分学,5.请熟悉以下结论：,一元函数积分学,5.请熟悉以下结论：,一元函数积分学,7.求,一元函数积分学,8.,一元函数积分学,9.求求f(x)表达式,一元函数积分学,10.设f(x)连续，且,一元函数积分学,题型9.求含有定积分或变上限积分的方程,2.设函数f(x)连续

21、，且f(0)0,求极限,1.设函数y=f(x)在区间-1,3上的图形为,题型2.已知函数图形判断原函数图形,题型2.已知函数图形判断原函数图形,1.,题型3.定积分的计算,1.设,题型3.定积分的计算,2.设 则,题型3.定积分的计算,3.,定积分的计算,1.分析：被积函数y=是以（a+b/2,0）为圆心，R=b-a/2为半径的上半圆周。,题型3.定积分的计算,设f(x)是以3为周期的连续奇函数，已知,题型3.定积分的计算,4.,题型10.反常积分的计算或收敛性的判定,2.广义积分,题型10.反常积分的计算或收敛性的判定,1.,题型10.反常积分的计算或收敛性的判定,例,题型6.求平面图形的面

22、积,1.,题型6.求平面图形的面积,3.设曲线的极坐标方程为 则该曲线上相应于从0变到2的 一段弧与极轴所围成的图形的面积 为_.,题型7.求旋转体的体积,1.设位于曲线 x轴上方的无界区域为G，则G绕x轴旋转 一周所得空间区域的体积是_.,题型8.函数性质（单调性，奇偶性等）,设（1）证明f(x)是以为周期的周期函数（2）求f(x)的值域,题型11.定积分的应用,1.曲线 的弧长为_。,题型7.求旋转体的体积,2.过点（0,1）作曲线L：y=lnx的切线，切 点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与 直线AB围成，求区域D的面积及D绕x轴 旋转一周所得旋转体的体积。,题型11.定积分的应用,

23、2.过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线 与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D。（1）求D的面积A。（2）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体 的体积V。,题型11.定积分的应用,设D是由曲线，直线 及轴x所围成的平面图形，VX,VY分别D是绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若VY=10VX，求a的值。,第四章 微分方程,题型1.与线性微分方程的性质和结构相关的命题题型2.求一阶其次或可化为其次微分方程的通解或特解题型3.求一阶线性微分方程的通解或特解题型4.求二阶齐次线性微分方程的通解或特解题型5.通过求导建立微分方程求解函数表达式或曲线方程,题型1.与线性微分方程的性质和结构相关的命

24、题,1.设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数，使y1+y2是该方程的解，y1-y2是该方 程对应的齐次方程的解，则（）,2.设非齐次线性微分方程y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数，则该 方程的通解是（）（A）Cy1(x)-y2(x)（B）y1(x)+Cy1(x)-y2(x)（C）Cy1(x)+y2(x)（D）y1(x)+Cy1(x)+y2(x),题型1.与线性微分方程的性质和结构相关的命题,题型1.与线性微分方程的性质和结构相关的命题,3.满足的一个微分方程是（）（A）y-y-2y=3xex（B）y-y-2y=

25、3ex（C）y+y-2y=3xex（D）y+y-2y=3ex,题型1.与线性微分方程的性质和结构相关的命题,4.在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是（）（A）y+y-4y-4y=0（B）y+y+4y+4y=0（C）y-y-4y+4y=0（D）y-y+4y-4y=0,题型2.求一阶其次或可化为其次微分方程的通解或特解,1.微分方程 满足 的特解为y=_.,题型3.求一阶线性微分方程的通解或特解,1.设级数 的和函数为S(x).求：（1）S(x)所满足的一阶微分方程；（2）S(x)的表达式。,题型3.求一阶线性微分方程的通解或特解

26、,2.设函数f(u)在（0，+）内有二阶导数，且 满足等式（1）验证（2）若f(1)=0,f(1)=1,求函数f(u)的表达式.,题型9.求含有定积分或变上限积分的方程,1.设f(x)是区间0,上单调、可导的函数，且满足 其中f-1是f的反函数，求f(x).,题型4.求二阶齐次线性微分方程的通解或特解,1.已知函数f(x)满足方程f(x)+f(x)-2f(x)=0及 f(x)+f(x)=2ex(1)求表达式f(x)(2)求曲线的拐点,题型4.求二阶齐次线性微分方程的通解或特解,2.若二阶常系数线性齐次微分方程 y+ay+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex,则 非齐次方程y+ay+by=x

27、满足条件 y(0)=2,y(0)=0的解为y=_.,题型5.通过求导建立微分方程求解函数表达式或曲线方程,1.设曲线y=f(x),其中f(x)是可导函数，且 f(x)0.已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及 x=t(t1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周 所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t倍，求改曲线的方程。,例题【1】设y=ex(c1sinx+c2cosx)为某二阶线性常系数齐次方程的通解,求该微分方程。分析：考查线性方程的性质.,解法(1)：由题设知y1=exsinx,y2=excosx是该方程的两个线性无关的解。它们所对应的特征根为1=1+i,2=1-i.特征方程为(-(1+i

28、)(-(1-i)=2-2+2=0 故所求的方程为y-2y+2y=0.,解法(2)：y1=(exsinx)=ex(sinx+cosx),y1=2excosx y2=(excosx)=ex(sinx-cosx),y2=-2exsinx 分别代入y+a1y+a2y=0得 故所求的方程为y-2y+2y=0.,例题【2】设有三个不同的y1，y2，y3是某二阶线性非齐次方程的解，求其通解。,分析：由线性非齐次方程任“两个 解的差”必是对应齐次方程 的解，这个结论很显然，直 接，重要！这就是线性方程 的性质。,第五章 多元函数微分学,题型1.多元函数在一点偏导数的存在判定题型2.求多元复合函数的偏导，全导或

29、 全微分题型3.多元函数极值的判定或求解或应用题型4.二元函数在一点可微的判定或求解,题型1.多元函数在一点偏导数的存在判定,1.,题型2.求多元复合函数的偏导、全导或全微分,1.设二元函数,题型2.求多元复合函数的偏导、全导或全微分,2.函数f(u,v)由关系式 fxg(y),y=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)0,则,题型2.求多元复合函数的偏导、全导或全微分,3.设连续函数z=f(x,y)满足,题型2.求多元复合函数的偏导、全导或全微分,3.,题型2.求多元复合函数的偏导，全导或全微分,4.设函数f(u)可微，且f(0)=1/2,则 z=f(4x2-y2)在点(1,2)

30、处的全微分,题型2.求多元复合函数的偏导，全导或全微分,5.设f(u,v)是二元可微函数，,题型2.求多元复合函数的偏导，全导或全微分,6.设z=z(x,y)是由方程x2+y2-z=(x+y+z)所 确定的函数，其中具有二阶导数，且-1时.(1)求dz(2),题型3.多元函数极值的判定或求解或应用,1.设f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且y1(x,y)0 已知（x0,y0）是f(x,y)在约束条件(x,y)=0下 的一个极值点，下列选项正确的是（）（A）若fx(x0,y0)=0,则fy(x0,y0)=0（B）若fx(x0,y0)=0,则fy(x0,y0)0（C）若fx(x0,y0)0,则

31、fy(x0,y0)=0（D）若fx(x0,y0)0,则fy(x0,y0)0,题型3.多元函数极值的判定或求解或应用,3.设函数z=f(x,y)的全微分为dz=xdx+ydy,则点（0,0）（）（A）不是f(x,y)的连续点（B）不是f(x,y)的极值点（C）是的f(x,y)极大值点（D）是的f(x,y)极小值点,题型3.多元函数极值的判定或求解或应用,3.已知函数f(x,y)在点（0,0）的某个邻域内 连续，且（A）点（0,0）不是f(x,y)的极值点（B）点（0,0）是f(x,y)的极大值点（C）点（0,0）是f(x,y)的极小值点（D）根据所给条件无法判断点（0,0）是否为f(x,y)的极

32、值点,题型4.二元函数在一点可微的判定或求解,1.,题型4.二元函数在一点可微的判定或求解,2.,题型4.二元函数在一点可微的判定或求解,第六章 多元函数积分学,题型1.二重积分的计算题型2.二重积分交换积分次序题型3.二重积分的比较,题型1.二重积分的计算,1.,题型1.二重积分的计算,2.f(x)在0,1有连续的导数，f(0)=1,且,题型1.二重积分的计算,3.,题型1.二重积分的计算,1.,题型2.二重积分交换积分次序,1.,题型2.二重积分交换积分次序,2.,题型3.二重积分的比较,1.,题型3.二重积分的比较,2.设区域 f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常 数，则,题型3.二

33、重积分的比较,3.如图，正方形 被其对角线划分 为四个区域（A）I1（B）I2（C）I3（D）I4,题型3.二重积分的比较,4.设函数f连续，若 其中Du,v为图中 阴影部分，则,(A)vf(u2)(B)v/uf(u2)(C)vf(u)(D)v/uf(u),题型3.二重积分的比较,二重积分的对称性,1.若D关于x轴对称则看y，若y为奇函数，则答案为0，若y为偶函数，则答案为2倍。2.若D关于y轴对称则看x，若x为奇函数，则答案为0，若x为偶函数，则答案为2倍。3.若D关于原点对称，则看x,y，若f(x,y)为奇函数，即f(-x,-y)=-f(x,y)则答案为0.若f(-x,-y)=f(x,y)

34、，即f(-x,-y)=f(x,y)则答案为2倍。,二重积分的对称性,4.若D关于直线y=x对称，则这种情形下，则把几分区域分为2部分计算,第七章 无穷级数,题型1.无穷级数敛散性的判定题型2.无穷级数的和题型3.求函数的幂级数展开，求幂级数的收敛域或收敛半径或函数,题型1.无穷级数敛散性的判定,1.,题型1.无穷级数敛散性的判定,2.,题型1.无穷级数敛散性的判定,3.,题型1.无穷级数敛散性的判定,4.,题型2.无穷级数的和,1.,题型2.无穷级数的和,2.,题型2.无穷级数的和,3.,题型3.求函数的幂级数展开，求幂级数的收敛域或收敛半径或函数,1.,题型3.求函数的幂级数展开，求幂级数的

35、收敛域或收敛半径或函数,2.,题型3.求函数的幂级数展开，求幂级数的收敛域或收敛半径或函数,3.,题型3.求函数的幂级数展开，求幂级数的收敛域或收敛半径或函数,4,第八章 经济学的相关应用,题型1.弹性的相关知识考查题型2.边际函数与最优解的相关知识考查,微积分在经济学中的应用,定义：设函数y=f(x)在x可导，则称导数f(x)为f(x)的边际函数。f(x)在x0处的值f(x0)为边际函数值。,例1.,微积分在经济学中的应用,例2,微积分在经济学中的应用,微积分在经济学中的应用,我们在边际分析中，讨论的函数变化率与函数改变量均属于绝对误差范围内的讨论，在经济问题中，仅仅用绝对误差的概念不能对问

36、题进行深入分析，例如：甲商品每单位价格10元，涨价1元，乙商品每单位价格200元，也涨价1元，两种商品价格的绝对改变量都是1元，哪个商品的涨价幅度更大呢？,微积分在经济学中的应用,我们只要用他们与原价格相比就能获得问题的解答，甲商品涨价10%,乙商品涨价为0.5%，显然甲商品的涨价幅度比乙商品的涨价幅度更大，因此，有必要研究函数的相对改变量与相对变化率。,微积分在经济学中的应用,例3.设函数为y=x2,当x从4增加到5时，相应的y从16增加到25，即自变量x的绝对增加量x=1，函数y的绝对增量y=9,又,微积分在经济学中的应用,即当x=4增加到x=5时,x增加了25%,y相应的增加了56.25

37、%，我们分别称x/x与y/y为自变量与函数的相对改变量（或相对增量）。如果在本例中，在引入下式,微积分在经济学中的应用,定义：设函数y=f(x)在x处可导，函数的相对改变量与自变量的相对改变量 称为 函数f(x)从x到x+x 两点间的弹性，当 x0时，的极限称为f(x)在x处的 弹性，记作yx,即,微积分在经济学中的应用,即 由于yx也为x的函数，故也称它为f(x)的弹性函数。,微积分在经济学中的应用,需求价格弹性和总收益 由于需求函数一般为价格的递减函数，它的边际函数小于零，故其价格弹性取负值，因此，在经济学中规定需求价格弹性为：,微积分在经济学中的应用,这样，需求价格弹性便取正值，即使如此

38、，我们在对需求价格弹性作经济意义的解释时，也应理解为需求量的变化与价格的变化是反方向的，如果某商品为适应市场需求欲适当降低价格时，会不会降低其收益呢？虽然价格会使单位商品减少收益，但降价会使销售量增加，反而可能使总收益增加。,微积分在经济学中的应用,根据需求价格弹性的定义应有如下结论：结论 若需求量的相对增加大于价格的相对减少，则总收益要增加。经济学中有如下定义：若商品的需求价格弹性DP1，则该商品的需求量对价格富有弹性，即价格变化将引起需求量的较大变化；若DP=1，则商品具有单位弹性，即价格上升的百分数与,微积分在经济学中的应用,需求下降的百分数相同；若DP1，则该商品的需求量对于价格缺乏弹

39、性，即价格变化只能引起需求量的微小变化。,微积分在经济学中的应用,下面进一步分析这三类商品的经济意义：1.富有弹性的商品，此时商品的需求价格弹 性大于1，若将其价格提高10%，则需求 量下降超过10%,因此总收益减少；反之，若将其价格下降10%，因此总收益增加，即对富有弹性的商品，减价会使总收益增 加，提价反而使总收益减少。,微积分在经济学中的应用,2.单位弹性商品。此时商品的需求价格弹性 等于1，若将其价格提高10%，则需求量 下降10%，总收益不变。这就是不变弹性 曲线问题。,微积分在经济学中的应用,3.缺乏弹性商品。此时商品的需求价格弹性 小于1，若将其价格提高10%,则需求量减 少低于

40、10%，因此总收益增加；反之，若 将其下降10%，则需求量增加低于10%，因此总收益减少。即对缺乏弹性的商品，提价会使总收益增加，降价反而使总收益 减少。,例4.某商品需求函数为D=20-P/4 求：（1）需求价格弹性函数；（2）当P=5时的需求价格弹性；（3）当P=5，若价格上涨1%，其 总收益是增加还是减少？它 将变化百分之几？,微积分在经济学中的应用,第八章 经济学的相关应用,题型1.弹性的相关知识考查题型2.边际函数与最优解的相关知识考查,第八章 经济学的相关应用,1.某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入 的固定成本为10000（万元），设该企业生 产甲、乙两种产品的产量分别为x（件

41、）和y（件），且固定两种产品的边际成本分别为 20+x/2（万元/件）与6+y（万元/件）.（1）求生产甲乙两种产品的总成本函数C(x,y)(万元)（2）当总产量为50件时，甲乙两种的产品各为多少时 可以使总成本最小？求最小的成本。（3）求产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。,第八章 经济学的相关应用,2.设某商品的收益函数为R(p),收益弹性为 1+p3，其中p为价格且R(1)=1，则 R(p)=_.,第八章 经济学的相关应用,3.设某产品的需求函数为Q=Q(P),其对应价 格P的弹性P=0.2，则当需求量为10000 件时，价格增加1元会使产品收益增加 _元。,

42、第八章 经济学的相关应用,4.设某商品的需求函数为Q=160-2，其中 Q、分别表示需要量和价格，如果该商 品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价 格是（）（A）10（B）20（C）30（D）40,第八章 经济学的相关应用,5.设某商品的需求函数为Q=100-5P，其中价格P(0,20),Q为需求量。（1）求需求量对价格的弹性Ed(Ed0).（2）并用弹性Ed说明价格在何范围内变化 时，降低价格反而使收益增加。,第九章 向量与曲线积分、曲面积分,题型1.空间曲线的旋转方程以及与向量有关的知识点考题题型2.三重积分题型3.第一类曲线积分题型4.第二类曲线积分题型5.格林公式题型6.求曲面的表面积题

43、型7.第一类曲面积分,第九章 向量与曲线积分、曲面积分,题型8.第二类曲线积分题型9.高斯公式题型10.斯托克斯公式,题型1.空间曲线的旋转方程以及与向量有关的知识点考题,1.椭球面S1是椭圆 绕x轴旋转而 成，圆锥面S2是过点(4,0)且与椭圆 相切的直线绕x轴旋转而成。（1）求S1及S2的方程（2）求S1与S2之间的立体体积,题型1.空间曲线的旋转方程以及与向量有关的知识点考题,2.点(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0 的距离z=_.,题型2.三重积分,1.,题型3.第一类曲线积分,1.已知曲线,题型4.第二类曲线积分,1.设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中 的部分，则曲线积分

44、,题型4.第二类曲线积分,1.计算曲线积分 其中L是曲线y=sinx上从点（0,0）到 点（,0）的一段。,题型5.格林公式,1.已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周 x2+y2=2x到点（2,0），再沿圆周 x2+y2=4到点（0,2）的曲线段，计算曲线积分,题型7.第一类曲面积分,1.,题型7.第一类曲面积分,2.设曲面 则,题型9.高斯公式,1.计算曲面积分 其中是曲面z=1-x2-y2(z0)的上侧,题型9.高斯公式,2.设是由锥面 与半球面 围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则,题型9.高斯公式,3.设曲面是 的上侧 则,向量知识点汇总,旋转平面上曲线绕某个轴旋转。空间曲线(直线

45、)绕某个轴旋转。,向量知识汇总,角度平面和平面的夹角。平面和直线的夹角。直线和直线的夹角。,向量知识汇总,距离点到面的距离。点到线的距离。点到点的距离。,向量知识汇总,投影点到面的投影线到面的投影空间曲面交线的投影,向量知识汇总,方程直线方程平面方程,点的坐标,直线和平面的交点的坐标。,第二类曲面积分的对称,若图像关于XOY平面对称就看Z，若Z为奇函数，则为两倍，若Z为偶函数，则为0.若图像关于XOZ平面对称就看Y，若Y为奇函数，则为两倍，若Y为偶函数，则为0.若图像关于YOZ平面对称就看X，若X为奇函数，则为两倍，若X为偶函数，则为0.,三重积分的对称性,看图形与平面对称若图像关于XOY平面对称就看Z，若Z为奇函数，则为0，若Z为偶函数，则为两倍。若图像关于YOZ平面对称就看X，若X为奇函数，则为0，若X为偶函数，则为两倍。若图像关于XOZ平面对称就看Y，若Y为奇函数，则为0，若Y为偶函数，则为两倍。,轮转对称性,轮转对称性轮转对称性不看任何平面，主要看的x,y,z的变量发生改变以后，原函数是否发生改变，如：x+y+z=1，把这个里面的变量改变位置以后，函数不发生任何的变化。简单的说就是f(x,y,z)=f(x,z,y)=f(z,y,x)=f(y,z,x)等。,