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1、,数学实验 高等数学分册,理工数学实验,第2章 一元函数微分法,第2章一元函数微分法,验证性实验实验一 初等函数的导数实验二 隐函数与参量函数的导数实验三 函数的微分实验四 导数的应用,第2章一元函数微分法验证性实验,实验一 初等函数的导数【实验目的】1.熟悉基本求导公式，掌握初等函数的求导方法2.会求函数在给定点处的导数值【实验要求】熟悉，Matlab中的求导命令diff,输入方式:（1）求一阶导数 dy=diff(y)或：dy=diff(y,v)（2）求高阶导数 dy=diff(y,n)或：dy=diff(y,v,n),1.y 是被求导的函数,是符号表达式;2.v 是指定对其求导的自变量,
2、是符号变量.若函数表达式中有多个符号变量,最好应指定 其中某个为对其求导的自变量,以免出错.3.n 指定求导数的阶数;4.dy 是求导的输出结果,也是符号表达式.,注解:,第2章一元函数微分法验证性实验,【实验内容】1.求下列函数的导数(1)(2)【实验过程】1.（1）syms x y=exp(x)*(sin(x)+cos(x);diff(y)运行结果：ans=exp(x)*(sin(x)+cos(x)+exp(x)*(cos(x)-sin(x)即函数的导数为,第2章一元函数微分法验证性实验,（2）syms xy=log(x3+1)/(x2+1);diff(y)运行结果：ans=(3*x2/(
3、x2+1)-2*(x3+1)/(x2+1)2*x)/(x3+1)*(x2+1)即函数的导数化简得,2.求下列函数在给定点处的导数值（1）已知函数，求；2.（1）syms x;f=1/x;f1=diff(f,x);ff=inline(f1);x=1;ff(1)运行结果：ans=-1 x=-2;ff(-2)运行结果：ans=-0.2500,第2章一元函数微分法验证性实验,第2章一元函数微分法验证性实验,实验二 隐函数与参量函数的导数【实验目的】1掌握隐函数求导的方法和步骤2掌握参量函数求一阶导数和二阶导数的方法和公式【实验要求】熟悉Matlab中解方程的命令solve和求导命令diff,第2章一元
4、函数微分法验证性实验,【实验内容】1.求下列隐函数的导数(1)设，求【实验过程】1.（1）解法一：syms x y;f=solve(x2+y2-R2=0,y);diff(f,x)运行结果：ans=-1/(-x2+R2)(1/2)*x 1/(-x2+R2)(1/2)*x,第2章一元函数微分法验证性实验,即 或说明：对于能从方程中求出函数显示形式的题可以采用这种做法。解法二：syms x y R;f=x2+y2-R2;f1=diff(f,x);f2=diff(f,y);-f1/f2运行结果：ans=-x/y 即 说明：对于不能从方程中解出函数显示形式的题要采用这种做法。,第2章一元函数微分法验证性
5、实验,2.求下列参量函数的导数（1）已知，求2.(1)syms t;x=t2;y=4*t;f=diff(y,t);f1=diff(x,t);f2=f/f1运行结果：f2=2/t 即,第2章一元函数微分法验证性实验,实验三 函数的微分【实验目的】1.懂得函数的求导与微分的关系2.会求函数的导数和微分【实验要求】熟悉Matlab中的求导命令diff，赋值命令inline.,第2章一元函数微分法验证性实验,【实验内容】1.求下列函数的微分（1）;【实验过程】1.（1）syms x;f=log(sin(x);f1=diff(f,x)运行结果：f1=cos(x)/sin(x)即：,第2章一元函数微分法验
6、证性实验,实验四 导数的应用【实验目的】1.会写函数的Taylor公式和Maclaurin公式2.掌握求函数的极值和最值的方法3.懂得一点处导数的几何意义【实验要求】熟悉Matlab中求Taylor展开式的命令taylor，以及求极值的方法,第2章一元函数微分法验证性实验,【实验内容】1.求函数的Taylor展开式，并在同一坐标系下画出函数及函数展开式的图形（1）将函数 在 处展开到第5项；【实验过程】1.（1）syms x;f=sin(x);y=taylor(f,pi/2,6)运行结果：y=1-1/2*(x-1/2*pi)2+1/24*(x-1/2*pi)4,再画出函数与展开式的图形：x=l
7、inspace(-2,2,60);f=sin(x);y=1-1/2*(x-1/2*pi).2+1/24*(x-1/2*pi).4;plot(x,f,x,y)运行结果：图2-1 函数 与其Taylor展开式对比图,第2章一元函数微分法验证性实验,第2章一元函数微分法验证性实验,2.求函数 的极值;syms x;y=2*x3-3*x2;f1=diff(y,x);f1=diff(y)运行结果：f1=6*x2-6*x x0=solve(f1),第2章一元函数微分法验证性实验,运行结果：x0=0 1 f2=diff(f1,x)运行结果：f2=12*x-6 ff=inline(f2)ff(x0)运行结果：
8、ans=-6 6由此可知：函数在点处二阶导数为-6，所以0为极大值；函数在点处二阶导数为6，所以-1为极小值。,3.求圆过点（2，1）的切线方程。syms x y;f=(x-1)2+(y+3)2-17;f1=diff(f,x);f1=diff(f,x);f2=diff(f,y);ff=-f1/f2运行结果：ff=(-2*x+2)/(2*y+6)f3=inline(ff)；f3(2,1)运行结果：ans=-0.2500所以切线方程为,第2章一元函数微分法验证性实验,第2章一元函数微分法,设计性实验实验一 最优价格问题实验二 效果最佳问题实验三 相关变化率,第2章一元函数微分法设计性实验,实验一
9、最优价格问题【实验目的】1.加深对微分求导，函数极值等基本概念的理解2.讨论微分学中的实际应用问题3.会用Matlab命令求函数极值【实验要求】掌握函数极值概念，Matlab软件中有关求导命令diff,第2章一元函数微分法设计性实验,【实验内容】某房地产公司拥有100套公寓当每套公寓的月租金为1000元时，公寓全部租出。当月租金每增加25元时，公寓就会少租出一套。1.请你为公司的月租金定价，使得公司的收益最大，并检验结论 2.若租出去的公寓每月每套平均花费20元维护费，又应该如何定价出租，才能使公司收益最大【实验方案】1.方法一：设每套公寓月租金在1000元基础上再提高x元，每套租出公寓实际月
10、收入为()元，共租出()套。,第2章一元函数微分法设计性实验,收益 R(X)=()()(0 x2500)R(x)=令R(x)=0，解得驻点=750。R(x)=0，故R(x)在=750处取得极大值。在0,2500上只有一个驻点，故R（x）在=750处取最大值。即每套公寓的月租金为1750元时，才能使公司收益最大。检验：x=1750元，少租出=30套，实际租出70套，公司有租金收入1750*70=122500元。比100套全部租出时公司租金收入1000*100=100000元多22500元。方法二：设每套公寓月租金为x元，少租出 套，实际租出,第2章一元函数微分法设计性实验,套 收益 R(x)=x
11、()(1000 x3500)R(x)=令R(x)=0，解得驻点=1750(每套公寓租金)检验讨论如方法一。2.设每套公寓月租金在1000元再提高元，每套租出公寓实际月租金收入是(1000+x-20)元，共租出 套 收益 R(x)=()()(0 x2500),令R(x)=0，解得驻点x=760。R(x)=f=inline(-(1000+x)*(100-x/25)a=fminbnd(f,0,2500)x=-f(a)f=Inline function:f(x)=-(1000+x)*(100-x/25)a=750 x=122500,第2章一元函数微分法设计性实验,方法二 f=inline(-x*(10
12、0-(x-1000)/25)a=fminbnd(f,1000,3500)x=-f(a)f=Inline function:f(x)=-x*(100-(x-1000)/25)a=1750 x=122500(2)f=inline(-(980+x)*(100-x/25)a=fminbnd(f,0,2500)f=Inline function:f(x)=-(980+x)*(100-x/25)a=760,第2章一元函数微分法设计性实验,第2章一元函数微分法设计性实验,实验二 效果最佳问题【实验目的】1.利用积分概念、函数最大值(最小值)理论，解决实际最优化问题2.掌握符号求导的实际应用3.熟悉Matla
13、b命令求函数积分，解代数方程【实验要求】掌握函数最大值(最小值)理论，Matlab软件求导命令、解方程的命令,第2章一元函数微分法设计性实验,【实验内容】洗过的衣服含有洗衣粉残液，现用总量为A m3的清水漂洗，漂洗一遍再甩干后衣服上有a m3的洗衣粉残液。若规定漂洗两遍，问如何分配水两次的用水量，才能使漂洗效果最佳？【实验方案】设第一次用水量为x m3，则第二次用水量为(A-x)m3。并设漂洗前衣服上含有的 a m3的洗衣粉残液中洗衣粉占b m3.第一次加水后，水中洗衣粉所占百分比为，将水放掉甩干后，残液中洗衣粉含量为 第二次加水后，水中洗衣粉所占百分比为,第2章一元函数微分法设计性实验,将水
14、放掉甩干后，残液中洗衣粉含量为 两次漂洗后效果最佳就是漂洗后残液中洗衣粉含量最小，为此只要求 g(x)=(a+x)(a+A-x)(0 xA)的最大值。g(x)=(a+A-x)-(a+x)=A-2x令g(x)=0解得 因g(x)=-20，故g()=(a+)2为最大。因此，将A m3的清水平分为两次使用可使漂洗效果最佳。,第2章一元函数微分法设计性实验,【实验过程】syms x a A f=(a+x)*(a+A-x);b=diff(f,x);solve(b)ans=1/2*A,第2章一元函数微分法设计性实验,实验三 相关变化率【实验目的】1.加深对复合函数、相关变化率的理解2.通过实例学习用微分知
15、识解决实际问题3.熟悉Matlab命令求复合函数，符号函数求微分【实验要求】掌握复合函数求微分、相关变化率应用，熟练应用Matlab软件中求复合函数，符号函数求微分命令,第2章一元函数微分法设计性实验,【实验内容】有一个长度为5m的梯子贴靠在垂直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速率离开墙脚而滑动，求 1.当其下端离开墙脚1.4m时，梯子的上端下滑之速率为多少？2.何时梯子的上下端能以相同的速率移动？3.何时其上端下滑之速率为4m/s？【实验方案】设t=0时，梯子贴靠在墙上，在时刻t（秒）时，梯子上端离t=0时位置的距离为S米，梯子下端离开墙脚的距离为x米，则有x=3t，S=5-(见图2-2
16、),第2章一元函数微分法设计性实验,图2-3 位置示意图 1.梯子的上端下滑之速率 当x=1.4m时，2.梯子上、下端相同速率处，即 解得x2=，（舍去），即当梯子下,第2章一元函数微分法设计性实验,下端离开墙脚的距离是3.54m时，梯子的上、下端的相同的速率移动.3.解得 x=4，-4（舍去）.即当梯子下端 离墙脚4m时,其上端下滑之速度为4m/s.,【实验过程】(1)syms x t f=5-sqrt(52-x2);x=3*t;a=compose(f,x);c=diff(a,t);b=subs(c,t,x/3);d=subs(b,x,1.4);numeric(d)ans=0.8750(2)syms x a=solve(3*x)/sqrt(25-x2)-3,x)a=5/2*2(1/2)(3)syms x a=solve(3*x)/sqrt(25-x2)-4,x)a=4,第2章一元函数微分法设计性实验,
