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1、3.3.2函数的极值与导数,f(x)0,f(x)0,复习:函数单调性与导数关系,如果在某个区间内恒有,则 为常数.,设函数y=f(x)在 某个区间 内可导，,f(x)增函数,f(x)减函数,在x1、x3处函数值f(x1)、f(x3)与x1、x3左右近旁各点处的函数值相比,有什么特点?f(x2)、f(x4)比x2、x4左右近旁各点处的函数值相比呢?,观察图像：,一、函数的极值定义,设函数f(x)在点x0附近有定义，,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数
2、f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；,函数的极大值与极小值统称为极值.(极值即峰谷处的值）,使函数取得极值的点x0称为极值点,探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？,结论:极值点处，如果有切线，切线水平的.即:f(x)=0,f(x1)=0,f(x2)=0,f(x3)=0,思考;若 f(x0)=0，则x0是否为极值点？,进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?,极大值,极小值,即:极值点两侧单调性互异,f(x)0,x1,极大值点两侧,极小值点两侧,f(x)0,f(x)0,f(x)0,探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?,x2,f(x)0,f(x)=0,f(x)0,极大值
3、,f(x)0,f(x)=0,极小值,f(x)0,注意：（1）f(x0)=0，x0不一定是极值点,(2）只有f(x0)=0且x0两侧单调性不同，x0才是极值点.(3)求极值点，可以先求f(x0)=0的点，再列表判断单调性,结论：极值点处，f(x)=0,例1:求 的极值。,变式1 求 在 时极值。,例题2:若f(x)=ax3+bx2-x在x=1与 x=-1 处有极值.(1)求a、b的值(2)求f(x)的极值.,小结：,1:极值定义2个关键 可导函数y=f(x)在极值点处的f(x)=0。极值点左右两边的导数必须异号。3个步骤确定定义域求f(x)=0的根并列成表格 用方程f(x)=0的根，顺次将函数的
4、定义域分成若干个开 区间，并列成表格由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况,思考吗,结束,注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。,思考1.判断下面4个命题，其中是真命题个数为。f(x0)=0,则f(x0)必为极值；f(x)=在x=0 处取极大值0，函数的极小值一定小于极大值函数的极小值（或极大值）不会多于一个。函数的极值即为最值,结束吗,下一个思考,有极大值和极小值,求a范围?,思考2,解析:f(x)有极大值和极小值 f(x)=0有2实根,已知函数,解得 a6或a3,
