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1、 浅谈导数在不等式证明中的应用 摘 要: 本文通过举例阐述了用导数证明不等式的几种方法,由此说明了导数在不等式证明中的重要作用.关键词: 微分中指定理；泰勒公式；jensen不等式；函数构造法在初等数学中证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法和构造法.但是当不等式比较复杂时，用初等的方法证明会比较困难,有时还证不出来.如果用函数的观点去认识不等式,利用导数为工具,那么不等式的证明就会化难为易.本文通过举例阐述由易到难的利用导数证明不等式,包括利用泰勒公式,中值定理, 函数的性质, Jensen不等式等高等数学中的知识,进一步说明了导数在证明不等式中的重要作用.
2、（一）把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。例题1：已知：a,bR,bae, 求证:abb a, (e为自然对数的底)证：要证abb a只需证lnablnba 即证：blnaalnb0设f(x)=xlnaalnx (xae)；则f (x)=lna,ae,xa lna1,0,因而f(x)在（e, +）上递增ba,f(b)f(a)；故blnaalnbalnaalna=0；即blnaalnb所以abb a成立。例题2：证明下面不等式 证明:不等式两边取e为底的对数,则上不等式化为与其等价的不等式：下面建立一个函数 函数的定义域为R（先写出函数定义域这一步十分
3、重要，不能忽视）， 由上知，即函数单调递减，当时有最大值0，所以： 令,则由上知： =，此题得证。上题运用导数求得函数的单调性，再利用单调性求得函数的最大值，从而证得，再进一步就得到了本题的结论，但关键还是要构造好与该不等式紧密关联的函数。定理：如果函数满足以下条件:(1) 在闭区间内连续(2) 在开区间可导,且有(或)(3) 则 在内有(或例题3证明:当时,有分析 ：只要把要证的不等式变形为,然后把相对固定看作常数,并选取辅助函数.则只要证明在是单调减函数即可.证明 ：构造函数 于是有因为 故所以 因而在内恒有,所以在区间内严格递减.又因为,可知即 所以 推论：设，在上阶可导，（1） （2）
4、 （或）则在（）内有 （或）例题4，证明 ： ，.分析 两边函数类型不同,右边多项式次数较高,不易比较,对它求一阶导数得仍然不易比较,则我们自然就能想到推论.设 则 （1）（2）（3）（4）显然有 由推论得， （）.利用函数的单调性证明不等式一般都是先构造函数.然后通过对函数求导,来判定函数的增减性,从而达到证明不等式的目的. （二）运用泰勒展开式证明不等式泰勒公式：若函数在含有的某区间有定义,并且有直到阶的各阶导数,又在点处有阶的导数,则有公式在上述公式中若(或),则可得或例题5，证明: （1） （2） ， 当证 ：（1）设则在处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式 （2）设=sinx，则在x=0
5、处泰勒展开式为：由以上证明可知,用泰勒公式证明不等式,首先构造函数,选取适当的点在处展开，然后判断余项的正负,从而证明不等式.（三）运用中值定理证明不等式微分中值定理: 若满足以下条件:(1) 在闭区间内连续(2) 在开区间上可导则 例题6：若分析 因为则原不等式等价于 .令,则我们容易联想到中值定理.证明 设,显然满足中值定理的条件则 即 例题7证明在上连续可导,且则 证 ： 设则由中值公式,当时,有其中由此可得所以即所以 积分第二中值定理 若在区间上为非负的单调递减函数,而是可积函数,则存在,使得例题8：证明：设,则时证 令,则由积分第二中值定理又因为于是,时由上可见利用中值定理证明不等式
6、,通常是首先构造辅助函数和考虑区间,辅助函数和定义区间的选择要与题设和结论相联系,然后由中值定理写出不等式,从而进行证明. （四）利用Jensen(詹森)不等式证明不等式定义 如果内存在二阶导数则(1) 若对则函数在内为凸函数. (2) 若对则函数在内为凹函数.若函数内是凸(或凹)函数时,对及,有Jensen(詹森)不等式等号当且仅当时成立.例题9：证明不等式，其中,均为正数。 证 设由的一阶和二阶导数 可见，在时为严凸函数，依詹森不等式有从而即 又因 ，所以例题10：不等式分析 上式只要能证明,如果此题用前面所述的几种方法来证明显然不合适,因为对它求导后不等式会更复杂.而这里的可以看作是同一
7、函数的多个不同函数值,设那么就可以用Jensen不等式来证明它.然后只要令,同理可得.证 令因为 ,所以是凹函数则对有即 又因为 所以 令 , 则同理可得所以本文所用导数证明不等式的方法充分说明了导数在不等式证明中的独到之处.在证明不等式时,应用导数等知识往往能使复杂问题简单化,从而达到事半功倍的效果.参考文献1 华东师范大学数学系,数学分析M第三版,北京:高等教育出版社,2001.2 胡雁军,李育生,邓聚成,数学分析中的证题方法与难题选解M,开封:河南大学出版社,19873 汤服成 .中学数学解题思维方法M.南京:广西师范大学出版社.20004 洪连.导数在研究函数中的应用J.龙岩学院学报.2005年B06期5许正川.浅谈利用导数证明不等式问题J.数学教学通讯.2004
