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1、4.1.1圆的标准方程,生活中的圆,圆形吊拉桥梁：结构优美、简洁、桥面平坦,怎样计算每条铁索的长度？,圆的定义,平面内到定点的距离等于定长的点的集合。,定点,定长,圆心,半径,因此一个圆最基本的要素是圆心和半径,温故知新,思考：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？,圆的标准方程,x,y,|MA|=r,则,P=M|MA|=r,圆上所有点的集合,O,A,M(x,y),如图，在直角坐标系中，圆心A(a,b)，半径r,(a,b),是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？,圆的标准方程,点M(x,y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x,y)的坐标适合
2、方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r，即点M在圆心为A(a,b)，半径为r的圆上,问题,把这个方程称为圆心为A(a,b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程.,(x-a)2+(y-b)2=r2,称为圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程,问题:圆的标准方程有什么特征?,特别地：圆心在原点，半径为r的圆的方程是什么？,（1）有两个变量x,y，形式都是与某个实数差的平方；,（2）两个变量的系数都是1；,（3）方程的右边是某个实数的平方，也就是一定为正数。,x2+y2=r2,圆的标准方程,1.说出下列圆的方程：(1)圆心在原点,半径为3.(2)圆心在点C(3,-4),半径为7.(3
3、)经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).,2.说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：,(1)(x+7)2+(y 4)2=36,(2)x2+y2 4x+10y+28=0,(3)(x a)2+y 2=m2,特殊位置的圆的方程:,圆心在原点:,x2+y2=r2(r0),圆心在x轴上:,(x a)2+y2=r2(r0),圆心在y轴上:,x2+(y b)2=r2(r0),圆过原点:,(x a)2+(y-b)2=b2(b0),圆心在x轴上且过原点:,(x a)2+y2=a2(a0),圆心在y轴上且过原点:,x 2+(y-b)2=b2(b0),圆与x轴相切:,(x a)2+(y-b)2=a2+b2(
4、a2+b20),圆与y轴相切:,(x a)2+(y-b)2=a2(a0),圆与x,y轴都相切:,(x a)2+(ya)2=a2(a0),点和圆的位置关系:,点:圆:,圆外:圆上:圆内:,练习:判断下列各点和圆 的位置关系.,圆内,圆外,圆上,练习:已知两点,求以线段 为直径的圆的方程,并判断点M(6,9),(3,3),Q(5,3)与圆的位置关系.,M:圆上N:圆外Q:圆内,思考：以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆.,圆心：已知,半径：圆心到切线的距离,解：,设所求圆的半径为r,则：,=,所求圆的方程为：,y,x,O,M,例2、的三个顶点的坐标分别A(5,1),B(7,
5、3),C(2,8)，求它的外接圆的方程,待定系数法（法一）,那怎样画这个三角形的外接圆呢？,x,y,O,A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),例2、的三个顶点的坐标分别A(5,1),B(7,3)，C(2,8)，求它的外接圆的方程,法二,比较这两种方法，哪一个更为简单？,圆心：两条直线的交点,半径：圆心到圆上一点,x,y,O,A(1,1),B(2,-2),弦AB的垂直平分线,例3、已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2)，且圆心C在直线上l：x y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程,解：因为A(1,1)和B(2,2)，所以线段AB的中点D的坐标,直线AB的斜率:,解方程组,得,所
6、以圆心C的坐标是,圆心为C的圆的半径长,所以，圆心为C的圆的标准方程是,过程：,解：,课本121页练习4,练习：,解：,解：,练习:圆 关于直线 对称的圆的方程是()B.C.D.,B,分析:确定圆的几何要素的是圆心位置与半径大小.与一条直线对称的两个圆半径大小不变,圆心关于直线对称,因此,只要确定圆心位置即可.,与圆心(3,-4)关于直线 对称的点是(4,-3),于是,与已知圆关于直线 对称的圆的方程是.选择B.,5、某施工队要建一座圆拱桥，其跨度为20m，拱高为4m，求该圆拱桥所在的圆的方程。,解：以圆拱所对的的弦所在的直线为x轴，弦的中点为原点建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆
7、的半径是r,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2。,把P（0，4）B（10，0）代入圆的方程得方程组：,解得：b=-10.5 r2=14.52,所以圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52,练习:求圆心在（-1,2），与y轴相切的圆的方程,所求圆的方程为:(x+1)2+(y-2)2=1,解:,练习:求圆心在直线y=x上,同时和两坐标轴相切,半径为2的圆的方程.,解:,(x-2)2+(y-2)2=4(x+2)2+(y+2)2=4,依题意得所求圆的方程为,例5,解一:,例5,解二:,练习,2.根据下列条件，求圆的方程：（1）求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线x-y+1=0上的
8、圆的标准方程。（2）圆心在直线5x-3y=8上，又与两坐标轴相切，求圆的方程。（3）求以C(1,3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0相切的直线的方程。,1.点(2a,1 a)在圆x2+y2=4的内部,求实数 a 的取值范围.,例 已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一 点 的切线的方程。,解:,(1)圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 当圆心在原点时，圆的标准方程为 x2+y2=r2(2)推导圆的标准方程的方法与步骤？(3)点与圆的位置关系？(4)如何求圆的标准方程?由于圆的标准方程中含有 a,b,r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能
9、确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。(5)如何利用圆的标准方程解决实际问题?,课堂小结：,小结,圆心C(a,b),半径r,1.圆的标准方程,2.圆心,弦的垂直平分线的交点,直径的中点,3.半径,圆心到圆上一点,圆心到切线的距离,求圆的方程方法1.待定系数法2.确定圆心，确定半径（利用圆的几何性质）,解(1)由题意，结合图(1)可知圆心(3,0)，r2所以圆C的标准方程为(x3)2y24.,(2)如图(2)所示，过点C作CD垂直于直线xy10，垂足为D.由点到直线的距离公式可得|CD|，又P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为
10、2.结合图形易知点P到直线xy10的距离的最大值为2 2，最小值为2 2.,4与圆(x2)2(y3)216同心且过点P(1,1)的圆的方程是_解析设圆的标准方程为(x2)2(y3)2r2，把点P(1,1)带入可得r225，即得答案(x2)2(y3)225,6判断A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)，D(7，2)四点是否共圆解设A、B、C确定的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.把A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)代入得：解得所以A、B、C三点确定的圆的方程为(x3)2(y1)225.把D(7，2)代入方程，方程成立，所以点D在圆上即A、B、C、D四点共圆,7若点P(2，1)为圆(
11、x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是()Axy30 B2xy30Cxy10 D2xy50解析设圆心为C(1,0)，则ABCP，kCP1，kAB1，直线AB的方程是y1x2，即xy30.答案A,8若圆C与圆(x2)2(y1)21关于原点对称，则圆C的方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)21C(x1)2(y2)21 D(x1)2(y2)21解析由圆C与已知圆关于原点对称可知，圆C的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，半径不变，而点(2,1)关于原点对称点为(2，1)，又半径为1，故选A.答案A,10设点P(x，y)是圆x2(y4)24上任意一点，则 的最大值为_解析因
12、为点P(x，y)是圆x2(y4)24上的任意一点，因此 表示点(1,1)与该圆上点的距离,易知点(1,1)在圆x2(y4)24外，结合图象易得 的最大值为 2 2.答案 2,12(创新拓展)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x3y60，点T(1,1)在AD边所在直线上,(1)求AD边所在直线的方程；解(1)因为AB边所在直线的方程为x3y60，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3.又点T(1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y13(x1)，即3xy20.,(2)求矩形ABCD外接圆的方程解(2)由，得A坐标为(0，2)，因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，所以M为矩形ABCD外接圆的圆心又r|AM|2，所以矩形ABCD外接圆的方程为(x2)2y28.,12(创新拓展)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x3y60，点T(1,1)在AD边所在直线上,
