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1、考点1,考点2,考点3,返回目录,考 纲 解 读,考 向 预 测,引入向量的坐标后，使向量之间的运算代数化，更加容易进行，高考常常考查向量之间各种坐标运算，处理向量的平行，以及作为工具解决与之有关的几何、三角等知识.,返回目录,1.两个向量的夹角(1)定义 已知两个 向量a和b，作 OA=a,OB=b，则AOB=叫做向量a与b的夹角(如图).,非零,返回目录,(2)范围 向量夹角的范围是,a与b同向时,夹角=;a与b反向时,夹角=.(3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是,则a与b垂直,记作.2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于平
2、,0180,0,180,90,ab,不平行,返回目录,面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a=.其中,不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.(2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示,1e1+2e2,基底,互相垂直,返回目录,在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数 x,y，使得 a=xi+yj.把有序数对 叫做向量a的坐标,记作a=,其中 叫做a在x 轴上的坐标,叫做a在y轴上的坐标.设OA=xi+yj,则 就是终点A的坐标,即若OA
3、=(x,y),则A点坐标为,反之亦成立(O是坐标原点).3.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算,(x,y),(x,y),(x,y),向量OA的坐标(x,y),x,y,返回目录,(2)向量坐标的求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=（x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于该向量的 坐标减去 的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线a=.,x1y2-x2y1=0,终点,始点,b,返回目录,如右图，在ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC.AM与BN相交于点P，求AP:PM的值.,【
4、分析】本题可先利用平面向量基本定理设出，然后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参 数的值.,考点1 平面向量基本定理的应用,返回目录,【解析】设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.A,P,M和B,P,N分别共线,存在实数,使AP=AM=-e1-3e2,BP=BN=2e1+e2,故BA=BP-AP=(+2)e1+(3+)e2.而BA=BC+CA=2e1+3e2,+2=2=3+=3,=.故AP=AM,即AP:PM=4:1.,由基本定理，得,解得,返回目录,（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线.注意方程思想的应用.（2）用
5、基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用，熟练掌握.,返回目录,设OA,OB不共线，P点在AB上,求证:OP=OA+OB且+=1(,R).,证明:P点在AB上，AP与AB共线.AP=tAB(tR).OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB.令=1-t，=t，则有OP=OA+OB,+=1(,R).,返回目录,【分析】利用向量的坐标运算解题.,考点2 平面向量的坐标运算,2010年高考安徽卷设向量a=(1,0),b=(,),则下列结论中正确的是.(填序号)|a|=|b|ab=a-b与b垂直 ab,【解析】中,|a|=1,|a|b|,错;项,ab
6、=1+0=,错;项,(a-b)b=ab-|b|2=0,故项正确,不正确.正确的只有.,返回目录,利用平面向量的坐标运算分别判断四个选项的正误.,返回目录,已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.,【分析】利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解.,返回目录,【解析】由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6
7、-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),-6m+n=5 m=-1-3m+8n=-5,n=-1.,解得,(3)CM=OM-OC=3c,OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).M(0,20).又CN=ON-OC=-2b,ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),N(9,2).MN=(9,-18).,返回目录,平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题:(1)若(a+kc)(2b-a),求实数k;(2)设d=(x,y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d.,【分
8、析】(1)由两向量平行及两向量平行的条件得出关于k的方程,从而求出实数k的值.(2)由两向量平行及|d-c|=1 得出关于x,y的两个方程,解方程组即可得出x,y的值,从而求出d.,考点3 平行(共线)向量的坐标运算,返回目录,【解析】(1)(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=-.,返回目录,(2)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,4(x-4)-2(y-1)=0(x-4)2+(y-1)2=1,x=4+x=4-y=1+y=1-.d=（）或（）.,解得,
9、或,返回目录,向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题.通过坐标公式建立参数的方程,通过解方程或方程组求得参数,充分体现了方程思想在向量中的应用.,已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且uv,求实数x的值.,因为a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).又因为uv,所以3(2x+1)-4(2-x)=0,即10 x=5,解得x=.,返回目录,1.要区分点的坐标与向量的坐标,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量的坐标中同样有方向与大小的信息.2.在处理分点问题比如碰到条件“若P是线段AB的分点，且|PA|=2|PB|”时，P可能是AB的内分点，也可能是AB的外分点，即可能的结论有：AP=2PB或AP=-2PB.3.数学上的向量是自由向量,向量x=(a,b)经过平移后得到的向量的坐标仍是(a,b).,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
