几何概型题型讲解【典例及难题-精选】.docx

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1、 几何概型课题1：题型讲解几何概型中事件A的概率计算公式:.其次要学会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率1.几何概型的两个特征：(1)试验结果有无限多；(2)每个结果的出现是等可能的事件A可以理解为区域的某一子区域，事件A的概率只与区域A的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关2.解决几何概型的求概率问题关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率3.用几何概型解简单试验问题的方法(1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解(2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D.(3)把随机事件A转化为与之对应的子区域d.(4

2、)利用几何概型概率公式计算4.均匀随机数在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率一般地利用计算机或计算器的rand（）函数可以产生01之间的均匀随机数ab之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生01之间的均匀随机数x= rand( )，然后利用伸缩和平移变换x= rand( )*(b-a)+a,就可以产生a，b上的均匀随机数，试验的结果是产生ab之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的5.均匀随机数的应用(1)用随机模拟法估计几何概率；(2)用随机模拟法计算不规则图形的面积6.几何概型与古典概型的

3、比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关，即试验结果具有无限性，另一方面，二者的试验结果都具有等可能性。一.与长度有关的几何概型【例】已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A. B. C. D.【解析】设乘客到达站台立即乘上车为事件A，试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A).答案：A【例】如图,A,B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的概率

4、是多少？ 【解析】记 E：“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30=10米，.方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解【例】在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R的概率。思路：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。也就是说，样本

5、空间所对应的区域G是一维空间（即直线）上的线段MN，而有利场合所对应的区域GA是长度不小于R的平行弦的中点K所在的区间。【解法1】.设EF与E1F1是长度等于R的两条弦，直径MN垂直于EF和E1F1，与他们分别相交于K和K1(图1-2)。依题设条件，样本空间所对应的区域是直径MN，有L(G)=MN=2R，注意到弦的长度与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是KK1，有以几何概率公式得。【解法2】如图1-1所示，设园O的半径为R, EF为诸平行弦中的任意一条，直径MN弦EF，它们的交点为K，则点K就是弦EF的中点。设OK=x，则 x -R,R, 所以 L(G)=2R设事件A为“任意画的弦

6、的长度不小于R”，则A的有利场合是 ,解不等式，得 所以 于是 二.与面积有关的几何概型【例】如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色金色靶心叫“黄心”奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？【解析】记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为的大圆内，而当中靶点落在面积为的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率为.即：“射中黄心”的概率是0.01.方法技巧 事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积；总面积为最大环

7、的圆面积【例】在三角形ABC中任取一点P，证明：ABP与ABC的面积之比大于的概率为。思路 ：本题的随机点是的顶点P，它等可能的分布在中，因此，与样本空间对应的平面区域是，注意到于有公共边AB，所以的面积决定于顶点P离底边AB的距离。这样不难确定与有利场合相对应的平面区域。【解析】设与的面积之比为，的高CD为h，的高PG为h1，公共底边AB的长为c，（图2）则 过点P作EF/AB,交CD于H,则有立场合所对应的平面区域为.于是所求概率为注意到EF/AB，,且 CH=h -h1 = h-h=， 【例】(2010济南模拟)在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小

8、于1的概率是_【解析】以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与ABC相交出三个扇形(如图所示)，当P落在阴影部分时符合要求P.答案：【例】已知函数f(x)x22axb2，a，bR.(1)若a从集合0,1,2,3中任取一个元素，b从集合0,1,2中任取一个元素，求方程f(x)0有两个不相等实根的概率；(2)若a从区间0,2中任取一个数，b从区间0,3中任取一个数，求方程f(x)0没有实根的概率【解析】(1)a取集合0,1,2,3中任一个元素，b取集合0,1,2中任一个元素，a，b的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)

9、，(3,0)，(3,1)，(3,2)其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为12.设“方程f(x)0有两个不相等的实根”为事件A，当a0，b0时，方程f(x)0有两个不相等实根的充要条件为ab.当ab时，a，b取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A包含的基本事件数为6，方程f(x)0有两个不相等实根的概率P(A).(2)a从区间0,2中任取一个数，b从区间0,3中任取一个数，则试验的全部结果构成区域(a，b)|0a2,0b3，这是一个矩形区域，其面积S236.设“方程f(x)0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为M

10、(a，b)|0a2,0b3，ab，即图中阴影部分的梯形，其面积SM6224. 由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)0没有实根的概率P(B).三.与体积有关的几何概型【例】在区间0,l上任取三个实数x.y.z,事件A=(x,y,z)| x2+y2+z21, x0,y0,z0 (1)构造出随机事件A对应的几何图形； （2)利用该图形求事件A的概率.思路点拨: 在空间直角坐标系下，要明确x2+y2+z21表示的几何图形是以原点为球心，半径r=1的球的内部事件A对应的几何图形所在位置是随机的，所以事件A的概率只与事件A对应的几何图形的体积有关，这符合几何概型的条件【解析】（1）A=(x,y,z)|

11、 x2+y2+z21, x0,y0,z0表示空间直角坐标系中以原点为球心，半径r=1的球的内部部分中x0,y0,z0的部分，如图所示 (2)由于x,y,z属于区间0,1，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分 .方法技巧：本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键要明白点P(x,y,z)的集合所表示的图形从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可解，另外要适当选择观察角度.四.求会面问题中的概率【例】两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的

12、，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率思路：两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即小时设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当-x-y，因此转化成面积问题，利用几何概型求解【解析】 设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当-x-y.两人到达约见地点所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）来表示因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内

13、相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为：.方法技巧 会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表示，构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题【例】甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率【解析】甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为2xy4，在如图所示的平面直角坐标系内，(x，

14、y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示由几何概型公式得：P(A).故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是.五. 角度型【例】 如图所示，在等腰直角中，过直角顶点在内部做一条射线，与线段交于点，求的概率。 CABMD分析：当时，有，故欲使，应有，即所作的射线应落在时的内部。【解析】在上取,连接，则，记“在内部作一条射线，与线段交于点，”为事件A，则，所以，所求概率为。点评：本题所求事件的本质是在内部做一条射线，所构成的区域是一个“角”域，故应是角度之比；易犯的错误是用长度的比得出这一错误结果。六. 圆弧之比类型【例】 设

15、A为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A连接，求弦长超过半径倍的概率。【解析】. 【例】如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连结MN，则弦MN的长度超过R的概率是_【解析】连结圆心O与M点，作弦MN使MON90，这样的点有两个，分别记为N1，N2，仅当点N在不包含点M的半圆弧上取值时，满足MNR，此时N1ON2180，故所求的概率为.【例】在单位圆的圆周上随机取三点A、B、C，求是锐角三角形的概率。解法1：如图3所示建立平面直角坐标系，A、B、为单位圆与坐标轴的交点，当为锐角三角形，记为事件A。则当C点在劣弧上运动时，即为锐角三角形，即事件A发生，所以 解法2：

16、记的三内角分别为，事件A表示“是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合 。 因为是锐角三角形的条件是且 所以事件A构成集合 由图2可知，所求概率为 。解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。七、 生活中的几何概型【例】 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率分析：假设他在060分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻

17、到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.【解析】设A=等待的时间不多于10分钟,我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于50,60这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不多于10分钟的概率为【例】平面上画有一组平行线，其间隔交替为1.5cm和10cm，任意地往平面上投一半径为2cm的圆，求此圆不与平行线相交的概率。思考方法 本题的难处，在于题中没有直接指明等可能值参数，为此，需发掘“任意的往平面上投一直径为2cm的圆”之真实含义，找出具有某种等可能的随机点。注意到定半径的圆的位

18、置决定于圆心，可以取圆心作随机点，由于平行线可以向两端无限延伸，而往平面上投圆又是任意的，所以只要取这组平行线的某一条垂线就可以了；考虑到题设平行线的间隔交替的为1.5cm和10cm，则研究相邻三条平行线之间情况就可以反映问题的全貌。经上面的分析，我们可以取圆心为随机点，它等可能地分布在相邻三条平行线的某一垂线上（如图1-3）由此原题不难解出。【解析】设L1、L2、L3是三条相邻的平行线，EPF是它们之间的垂线（图1-3），则样本空间所对的区域是线段EF,有L(G)=EF=1.5+10=11.5(cm)注意到L1与L2相邻1.5cm，所以圆心如果落在线段EP上，那么圆与平行线必定相交。设半径为

19、2cm的O、O1分别切L2、L3于P、F，则事件的有利场合所对应的区域应是线段OO1有L(GA)=OO1=PF-OP-O1F=10-2-2=6cm。评注 从本题可以看出，如果题中没有直接指明等可能值参数，则解题的关键，在于斟酌题设条件，发掘等可能值参数的含义，找出随机点的分布情况。【例】广告法对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为，那么该台每小时约有_分钟的广告【解析】60(1)6分钟答案：6【例】 甲、乙两人约定在下午4:005:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不

20、到则可以离去，试求这人能相见的概率。【解析】设x为甲到达时间，为乙到达时间.建立坐标系，如图时可相见，即阴影部分【例】两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25km，下午3：00张三在基地正东30km内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。【解析】设为张三、李四与基地的距离，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对，表示区域总面积为1200，可以交谈即故【例】某勘探队勘测到，在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海

21、域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域面积，由几何概型公式可以求得概率。【解析】记“钻到油层面”为事件A，则P(A)= =0.004答：钻到油层面的概率是0.004【例】一只海豚在水池中游弋，水池为长，宽的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过的概率解：由已知可得，海豚的活动范围在2616的区域外， 所以海豚嘴尖离岸边不超过的概率为八、均匀随机数的应用【例】 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(由曲线y= 2x与x轴、x=1围成的部分）面积思路点拨 不规则图形的面积可用随机模拟法计算【解析】(1)利用计算机产生两组0,1上的随机数,a1=rand（ ），b1=rand( )

22、 (2)进行平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=b1*2,得到一组0,2上的均匀随机数 (3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1. (4)计算频率，则即为落在阴影部分的概率的近似值 (5)利用几何概型公式得出点落在阴影部分的概率 (6)因为=,所以S=即为阴影部分的面积.方法技巧 根据几何概型计算公式，概率等于面积之比，如果概率用频率近似在不规则图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形面积乘以频率而频率可以通过随机模拟的方法得到，从而求得不规则图形面积的近似值 课题2：难题一、单选题（共32题；共64分）1.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使AP

23、B的最大边是AB”发生的概率为 35 ，则 ADAB =（ ） A.15B.25C.35D.45【答案】C 【考点】几何概型 【解析】【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD， 若APB的最大边是AB”发生的概率为 35 ，则 PEDE = 35 ，设AD=y，AB=x，则DE= 12 x，PE= 35 DE= 310 x，则PC= 12 x+ 310 x= 45 x，则PB2=AB2时，PC2+BC2=PB2=AB2 ， 即（ 45 x）2+y2=x2 ， 即 1625 x2+y2=x2 ， 则y2= 925

24、 x2 ， 则y= 35 x，即 yx = 35 ，即 ADAB = 35 ，故选：C【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率 35 ，从而求出 ADAB 2.实数a-1,1,b0,2).设函数fx=-13x3+12ax2+bx的两个极值点为x1,x2,现向点a,b所在平面区域投掷一个飞镖,则飞镖恰好落入使x1-1且x21的区域的概率为 ( ) A.12B.13C.14D.15【答案】C 【考点】利用导数研究函数的极值，二元一次不等式（组）与平面区域，几何概型 【解析】【

25、分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出函数f(x)=-x3+ ax2+bx的两个极值点为x1 ， x2 ， 使满足x1-1且x21的可行域面积的大小和实数a，b满足a-1，1，b0，2对应的图形面积的大小【解答】f(x)=- x3+ax2+bxf（x)=-x2+ax+b的两个零点为x1 ， x2 ， x1-1且x21在条件实数a-1，1，b0，2下画出满足上面不等式的图形如右图中阴影部分其面积为1，a-1，1，b0，2围成图形的面积为4现向点（a，b)所在平面区域投掷一个飞镖，则飞镖恰好落入使x1-1且x21的区域的概率为故选C3.利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b

26、，则方程x=-2a-bx有实根的概率为 A.12B.23C.16D.13【答案】D 【考点】定积分在求面积中的应用，几何概型 【解析】【分析】在平面直角坐标系中画直线x1及直线y1，它们与两坐标轴围成一个正方形，随机数的坐标(a，b)都在这个正方形内，而满足使上述方程有实根的条件是ba2 ， 也就是在正方形内，纵坐标不大于横坐标的平方的点，这些点落在抛物线yx2与x轴及直线x1所围成的图形，用积分可求出这部分面积为1/3，因此所求概率等于这部分面积除以正方形面积，即为1/3，所以选D。4.如图，在菱形 ABCD 中， AB=3 ， BAD=60 ，以4个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在该菱形中

27、任意选取一点，该点落在阴影部分的概率为 p0 ，则圆周率 的近似值为（ ）A.7.74p0B.7.76p0C.7.79p0D.7.81p0【答案】C 【考点】几何概型 【解析】【解答】因为菱形的内角和为360，所以阴影部分的面积为半径为1的圆的面积，故由几何概型可知 p0=1234322 ，解得 =932p04.51.732p0=7.791p0 .故答案为：C。【分析】根据题目中所给的条件的特点，根据几何概型的几何意义，该点落在阴影部分的概率为p0 ， 等于阴影部分面积与菱形的面积比，由此可以计算圆周率5.如图，矩形 ABCD 中，点 A 的坐标为 (3,0) 点 B 的坐标为 (1,0) 直

28、线 BD 的方程为： 3x+4y3=0 且四边形 BDFE 为正方形，若在五边形 ABEFD 内随机取一点，则该点取自三角形 BCD (阴影部分)的概率等于（ ）A.962B.531C.1162D.631【答案】D 【考点】几何概型 【解析】【解答】在 3x+4y3=0 中，令 x=3 ，得 y=3 ，即 D(3,3) ，则 |BD|=(1+3)2+32=5 ，所以 SABEFD=52+1243=31 ， SBCD=1243=6 ，由几何概型的概率公式，得在五边形 ABEFD 内随机取一点，该点取自三角形 BCD (阴影部分)的概率 P=631 .故答案为：D.【分析】根据题意求出点D的坐标，

29、再由两点间的距离公式代入数值求出结果，结合四边形的面积代入数值求出结果把数值代入到几何概型的概率公式求出结果即可。6.如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的位置的概率为（ ）A.12B.13C.16D.112【答案】D 【考点】几何概型 【解析】【解答】 由题意， ABC 的面积为 S1=1224=4 ，到三个顶点距离都不大于1的位置点形成区域的面积为 S2=12 ，所以其恰在离三个顶点距离都大于1的位置的概率为 p=1S2S1=112 .故答案为：D.【分析】面积为测度的几何概型，求出总面积，阴影部分的面积，由公式求概率.7.节日前夕，小

30、李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（ ） A.14B.12C.34D.78【答案】C 【考点】几何概型 【解析】【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y， 由题意可得0x4，0y4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|xy|2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为： 162122216 = 34 故选C【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0x4，0y4，要满足条

31、件须|xy|2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案8.圆O内有一内接正三角形，向圆O内随机投一点，则该点落在正三角形内的概率为（ ） A.338B.334C.32D.3【答案】B 【考点】几何概型 【解析】【解答】解：设圆的半径为R，则其内接正三角形的边长 3 R 由题意可得落在区域内的概率与区域的面积有关，故本题是与面积有关的几何概率构成试验的全部区域的面积：S=R2记“向圆O内随机投一点，则该点落在正三角形内”为事件A，则构成A的区域的面积 123R3Rsin60=334R2 由几何概率的计算公式可得，P（A）= 33R24R2=334 故选B【分析】设圆的半径为R，由平面几何的知识

32、容易求得内接正三角形的边长 3 R，且由题意可得是与面积有关的几何概率构成试验的全部区域的面积及正三角形的面积代入几何概率的计算公式可求9.在正四面体PABC体积为V，现内部取一点S，则 V3VSABCV2 的概率为（ ） A.37216B.827C.91216D.1327【答案】A 【考点】几何概型 【解析】【解答】解：作出P在底面ABC的射影为O， 若VSABC= 12 VSABC ， 则高OS= 12 OP，分别取PA、PB、PC上的点E、F、D，并使SE=2EA，SF=2FC，SD=2DB，如图并连结EF、FD、DE，则平面EFD平面ABC当点S在正四面体PEFD内部运动时，即此时S在

33、三棱锥VPABC的中垂面DEF上，满足VSABC 12 VPABC的点P位于在三棱锥VPABC的中垂面DEF以下的棱台内，同理，VSABC 13 VPABC的S在距离ABC为 13 OS的平面以上的棱锥内，所以满足 V3VSABCV2 的棱台体积为（1 18V ）（1 827V ）= 37216V ；由几何概型，满足“ V3VSABCV2 ”的概率为 37V216V=37216 ，故选A【分析】首先确定满足条件的点S的区域，即区域D；然后确定所求的事件中的点所在区域d；分别计算区域D和d的体积；最后计算所求概率10.如图，在圆心角为90的扇形中以圆心O为起点作射线OC，则使得AOC与BOC都不

34、小于30的概率是（ ） A.34B.23C.12D.13【答案】D 【考点】几何概型 【解析】【解答】解：选角度作为几何概型的测度， 则使得AOC与BOC都不小于30的概率是：P=中间部分的圆心角整个扇形的圆心角=3090=13 故选D【分析】本题利用几何概型求解经分析知，只须选择角度即可求出使得AOC与BOC都不小于30的概率，即算出符合条件：“使得AOC与BOC都不小于30的”的点C所在的位置即可11.在区间（0，3上随机取一个数x，则事件“0log2x1”发生的概率为（ ） A.23B.12C.13D.14【答案】C 【考点】几何概型 【解析】【解答】解：在区间（0，3上随机取一个数x，

35、则事件“0log2x1”发生的x范围为1，2，所以由几何概型的公式得到概率为 2130=13 ； 故选C【分析】首先求出满足不等式的x范围，然后根据几何概型的公式，利用区间长度比求概率12.某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为 45 ，则河宽为（ ） A.80mB.100mC.40mD.50m【答案】B 【考点】几何概型 【解析】【解答】解：由已知易得： l从甲地到乙=500l途中涉水=x，故物品遗落在河里的概率P= x500 =1 45 = 15 x=100（m）故

36、选B【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出找到该物品的点对应的图形的长度，并将其和整个事件的长度代入几何概型计算公式进行求解13.已知 O,A,B 三地在同一水平面内， A 地在 O 地正东方向 2km 处， B 地在 O 地正北方向 2km 处，某测绘队员在 A 、 B 之间的直线公路上任选一点 C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘， O 地为一磁场，在其不超过 3km 的范围内会对测绘仪等电子形成干扰，使测绘结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（ ） A.122B.22C.132D.12【答案】A 【考点】几何概型 【解析】【解答】如图,当点设在线段PQ上测绘结果不

37、准确,由于 OA=OB=2 ,因此 AB=22 ,由于 OP=OQ=3 ,所以 PQ=232=2 ,因此测绘时得到不准确数据的概率为 P=222=12 ,所以测绘时得到准确数据的概率为 1P=112=122 , 故答案为：A.【分析】利用直线与圆相交及解三角形求出MN和AB的长，再利用几何概型求出结果即可。14.欧阳修在卖油翁中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径2百米，中间有边长为1百米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（ ） A.14B.12C.1D.2【答案】C

38、【考点】几何概型 【解析】【解答】解：S正=1，S圆= P= 1 ，故选：C【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解15.一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（ ） A.1 6B.1 12C.6D.12【答案】B 【考点】几何概型 【解析】【解答】解：三角形ABC的面积为 1234=6 ， 离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S= 1212=2 ，所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P=1 26=112 ，故选：B【分析】求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率16.甲、乙两人约定在下午 4：30：5：00 间在某地相见，且他们在 4：30：5：00 之间 到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人 20 分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是（ ） A.34B.89C.716