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1、学习-好资料三角形的有关概念（1）三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，它有三条边、三个内角和三个顶点，三角形可用符号“”表示（2）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线（3）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线（4）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线2、三角形的有关性质（1）边的性质：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边（2）角的性质：三角形的内角和为
2、180，一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，直角三角形的两个锐角互余（3）稳定性：即三角形的三边的长度确定后，三角形的形状保持不变3、三角形的分类（1）按边分 （2）按角分 4、全等三角形的有关概念和性质（1）全等图形：两个能够 重合 的图形称为全等图形全等图形的特征 ：全等图形的 形状和大小 都相等全等三角形：两个能够 完全重合的三角形叫做全等三角形，两个全等三角形重合时，互相重合的边叫做对应边，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的角叫做 对应角 （2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等5、全等三角形的判定条件（1）一般三角形全等的
3、判别方法有四种方法：边角边（SAS）；角边角(ASA);角角边(AAS);边边边(SSS).(2)直角三角形的全等的条件:除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判别方法外，还有一种重要的判别方法，也就是斜边、直角边（HL）判别方法.6.判别两个三角形全等1已知两边 2已知一边一角3已知两角7.作三角形用尺规作三角形的类型主要有：（1）己知三角形的 三边 ，求作这个三角形（2）己知三角形的 两边及夹角 ，求作这个三角形（3）己知三角形的 两角及夹边 ，求作这个三角形二、应注意的问题1.三角形的角平分线不同于一个角的平分线，前者是一条线段，后者是一条射线三角形的高线是线段，而线段的垂线是直线；锐角
4、三角形的三夺高线都在三角形的内部，直角三角形中，有两条高线恰好是它的两条边，钝角三角形的三条高线中，有两条高线在三角形的外部，它们的垂足落在边的延长线上三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点2、注意：不能把“边边角”和“角角角”作为判定两个三角形全等的依据3书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置.4、注意：在作三角形等几何作图中，作图痕迹务必保留，不能将作图痕迹抹掉在作符合某些条件的三角形时，它的作法可能不惟一，只要作法合理，都是正确的三、经典例题例1如图1，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点
5、，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E则四边形AECF的面积是_ 分析：本例看似是正方形的问题，其实质是考查全等三角形的判定 由于EAF=BAD=90可得出EAB=DAF，ABE=D=90，AB=AD，ABEADF，所以，四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于16解：因为EAF=BAD=90，所以EAB=DAF，ABEADF四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于16.ABCDEF图2例2 如图2，在ABC与DEF中， 给出以下六个条件：AB=DE；BC=EF；AC=DF；A=D；B=E；C=F，以其中三个条件作为已知，不能判断ABC与DEF全等的是( ) A
6、B C D 分析：三角形全等的判定方法有：“边、边、边”、“边、角、边”、“角、边、角”或“角、角、边”.本题可采用排除法寻找答案. “、 (真)” 为“边角边”判定方法；“、(真)”为“边边边”判定方法；“、 (真)”为“角角边”判定方法；“、(假)”，为两边和其中一边的对角没有这样的判定方法，因此，不能判断ABC与DEF全等的是D.例3 如图3，巳知：CEAD于E，BFAD于F，你能说明BDF和CDE全等吗? 若能，请你说明理由；若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是_，说明这两个三角形全等，并写出证明过程分析：题目要证明的两个三角形全等已满足两组角对应相等
7、，但三角形全等至少要有一组边对应相等，因此，需要补充一组边对应相等.B图3解：补充的条件为：BD=CD，DE=DF或BF=CE.若补充BD=CD.证明过程如下：CEAD于E，BFAD于F，所以，F=CED.BDFCDE.注：本题和北师大版七年级数学下158页第5题雷同.例5将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如图5的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上(1)求证：ABED；(2)若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明图5 分析：充分利用边相等或角相等或互余的关系.（1） 证明：由题意可知ABCDEF,因而A=D，而A+B=90，
8、故D+B=90，即BPD=90，所以，ABED.也可以利用两直线平行，内错角相等证明A=D.(2)若PB=BC，则有ABCDBP.ABCDBP.注：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：APNDCN；DEFDBP；EPMBFM.四、考点例析考点一：三角形三边关系三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边例1 在ABC中，AB=9，BC=2，并且AC的长为奇数，那么ABC的周长是多少？分析 由三角形中第三边取值范围的确定方法：“两边之差第三边两边之和”，可求出AC的长，从而求出ABC的周长解：根据三角形三边关系有AB-BCACAB+BC，所以9-2AC9+2，即7AC11，又
9、因为AC的长为奇数，所以AC=9，所以ABC的周长为9+9+2=20练习1：（1）（2005年昆明市中考题）以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ）A4cm，5cm，6cm B2cm，3cm，5cmC4cm，4cm，9cm D12cm，5cm，6cm（2）有长分别为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm的线段，则以其中三条线段为边可构成_个三角形答案与提示：（1）选A；（2）其中2cm，3cm，4cm； 2cm，4cm，5cm； 3cm，4cm，5cm共可构成三个三角形考点二：三角形的内角和三角形三个内角的和等于，直角三角形的两个锐角互余例2（2004年陕西中考题）如图，在锐角ABC中，C
10、D、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若A=，则BPC的度数是（ ）A B C D 分析：解这类题目的关键要明确所求的角是哪个三角形的内角，要抓住题目中存在的等量关系，如“三角形的内角和等于等”解：在ABC中，A=，ABC+ACB=-=CD、BE分别是AB、AC边上的高，ADC=AEB=在RtABE中，ABE=-A=- = 在RtACD中，ACD=-A=- = PBC+PCB=（ABC+ACB）-（ ABE +ACD ）= =在BPC中，BPC=-（PBC+PCB）= - =本题选B练习2：（1）（2005年黑龙江中考题）已知BD、CE是ABC的高，直线BD、CE相交所成的
11、角中有一个角为，则BAC等于_（2）一块模板如图所示，按规定AB、CD的延长线相交成角，因交点不在模板上，不便测量，所以工人师傅连结AC，测得BAC=，DCA=，这时就可以知道，AB、CD的延长线相交所成的角不符合规定请说明理由答案与提示：（1）；（2）由三角形内角和定理可得 H=考点三 三角形中的三条重要线段在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫做这个三角形的中线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高例3 如图，在ABC中，分别画
12、出它的中线AD和高AE，并回答下列问题：（1）AE还是哪些三角形的高？（2）ABD与ACD的面积有什么关系？为什么？分析 应根据三角形的中线和高的意义画图解：（1）如图，AE还是ABD、ADE、ADC、AEC、ABE的高（2）ABD与ACD的面积相等，因为这两个三角形等底同高 练习3：（1）三角形一边上的高（ ）A必在三角形内部B必在三角形外部C必在三角形的边上D以上三种情况都有可能（2）如图5，AE是ABC的角平分线，则_=_=_；AD是ABC的中线，则_=_=BC（3）三角形的三条角平分线的交点和三条中线的交点，一定在三角形的（ ）A内部 B外部 C边上 D不确定答案与提示：（1）选D；（
13、2）BAE，CAE，BAC；BD，CD；（3）选A考点四 图形的全等两个能够重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同特别地，全等图形的面积相等例4 如图（1），一个55的正方形，去掉居于中心位置的画阴影的一格，你能沿着图中的虚线，把余下的部分分成四个全等的图形吗？分析 可以从方格的数量（即面积）入手考虑55的正方形共有25格，去掉一格后，还有24格如果分成四个全等的图形，则每个图形应该有6格解：图（2）（8）是几种可能的划分方案 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）练习4：沿着图中的虚线，请用至少三种方法把下面的图形划分为两个全等图形，把你的方案画在下面的图
14、中答案如下：考点五 全等三角形的特征及三角形全等的条件全等三角形的对应边相等，对应角相等三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角” 或“ASA” 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边” 或“SAS”斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边” 或“HL”例 5 如图，如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）A带去 B带去 C带去 D带去
15、 分析 怎样做一个三角形与已知三角形全等，可依据全等三角形的判定条件来判断题中的一块三角形的玻璃被打碎成三块，其中：（1）仅留一角；（2）没边没角；（3）存在两角和夹边，可依据ASA，不难作出与原三角形全等的三角形解：应选C练习5：（1）（2005年临沂市中考题）如图，将两根钢条AA、BB的中点O连在一起，使AA、BB可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件， 则AB的长就等于内槽宽AB的长，那么AOBOAB的理由是（ ）A 边角边 B角边角 C 边边边 D 角角边（2）（2004年潍坊市中考题）如图，已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC全等的图形是（ ）A甲和乙 B乙
16、和丙 C只有乙 D只有丙（3）如图10，1=2，BC=EF，那么需要补充一个条件_（写出一个即可），才能使ABCDEF答案与提示：（1）选A；（2）选B；（3）提示：此题答案不唯一，属开放性问题根据三角形全等的条件：SSS，ASA，AAS，SAS，对照图中已知条件，只需有另外一角或边AC=DF即可应填B=E（A=D或AC=DF均可）考点六：与三角形有关的作图例6 已知两角及其中一个角的对边，求作三角形分析 该题是作图题中的文字题，根据已知画出相应的图形，这样的图形具有一定的随意性本题的两个角大小要适当，即它们的和必须小于，否则无解已知：如图、，线段a 求作：ABC，使B=，A=，BC=a作法：
17、1作线段BC=a；2在BC的同侧作DBC=，ECB=-，DB、EC交于点AABC为所求作的三角形 评注：已知两角及其中一个角的对边作三角形，可根据三角形内角和等于，转化为利用两角及其夹边作三角形，化未知为已知，使问题得以解决练习6：求作一个边长为a的等边三角形 答案与提示：已知：线段a，求作ABC，使AB=AC=BC=a作法：（1）作线段BC=a；（2）分别以B、C为圆心，以a为半径画弧，两弧交于点AABC为所求作的三角形考点七：全等三角形的应用 例7公园里有一条“Z”字型道路ABCD，如图11，其中ABCD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只石凳E、M、F，M恰为BC的中点，且E、F、M在同
18、一直线上，在BE道路中停放着一排小汽车，从而无法直接测量B、E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理 分析 由EBMFCM可知，测量C、F之间的距离就是B、E之间的距离理由：ABCDEBMFCMBE=CF评注：运用三角形全等的方法来解决实际问题，关键找出两三角形全等的条件，并能运用自己的语言进行说理练习7：（2004年福州中考题）三月三，放风筝，如图12，是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道DEH=DFH，请你用所学的知识给予说明 答案与提示：连接DHDEHDFHDEH=DFH三角形 测试题一、选择题1一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，
19、这交点一定在 ()A三角形内部 B三角形的一边上 C三角形外部 D三角形的某个顶点上2下列长度的各组线段中，能组成三角形的是 ()A4、5、6 B6、8、15 C5、7、12 D3、9、133在锐角三角形中，最大角的取值范围是 ()A090 B6090 C60180 D60904下列判断正确的是 ()A有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B有两边对应相等，且有一角为30的两个等腰三角形全等C有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等D有两角和一边对应相等的两个三角形全等5等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是()Ax6 B6x12 C0x12Dx126已知ABC的
20、三个内角A、B、C满足关系式BC3A则此三角形 ()A一定有一个内角为45 B一定有一个内角为60C一定是直角三角形 D一定是钝角三角形7三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的 ()A三条中线交点 B三条角平分线交点 C三条高线交点D三条高线所在直线交点8已知等腰三角形的一个角为75，则其顶角为 ()A30 B75 C105D30或759如图5124，直线、表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ()A一处 B二处 C三处D四处10三条线段长度分别为3、4、6，则以此三条线段为边所构成的三角形按角分类是 ()A锐角三角形 B直
21、角三角形C钝角三角形D根本无法确定二、填空题1如果ABC中，两边a7cm，b3cm，则c的取值范围是_；第三边为奇数的所有可能值为_；周长为偶数的所有可能值为_2四条线段的长分别是5cm，6cm，8cm，13cm，以其中任意三条线段为边可以构成_个三角形3过ABC的顶点C作边AB的垂线将ACB分为20和40的两个角，那么A，B中较大的角的度数是_4在RtABC中，锐角A的平分线与锐角B的平分线相交于点D，则ADB_5如图5125，AD，ACDF，那么需要补充一个直接条件_(写出一个即可)，才能使ABCDEF6三角形的一边上有一点，它到三个顶点的距离相等，则这个三角形是_三角形7ABC中，AB5
22、，BC3，则中线BD的取值范围是_8如图5126，ABC中，C90，CDAB，CM平分AB，CE平分DCM，则ACE的度数是_9已知：如图5127，ABC中，BO，CO分别是ABC和ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DEBC若AB6cm，AC8cm，则ADE的周长为_10每一个多边形都可以按图5128的方法割成若干个三角形而每一个三角形的三个内角的和是180按图5127的方法，十二边形的内角和是_度三、解答题1，已知：如图5129，ABC的B、C的平分线相交于点D，过D作MNBC交AB、AC分别于点M、N，求证：BMCNMN2已知：如图5130，在ABC中，ACB90，
23、CD为高，CE平分BCD，且ACD：BCD1：2，那么CE是AB边上的中线对吗?说明理由3已知：如图5131，在ABC中有D、E两点，求证：BDDEECABAC4已知一直角边和这条直角边的对角，求作直角三角形(用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)5已知：如图5132，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形ACM和BCN，连结AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q求证：PQAB6已知：如图5133，ABDE，CDFA，AD，AFCDCF，则BCEF你能说出它们相等的理由吗?【参考答案】一、1A 2A 3D 4D 5B 6A 7B 8D 9A 10D二、1，5cm、7cm、9
24、cm，16cm或18cm； 22； 370 4 5ABDE（或BE或CF）； 6直角； 7； 8； 914cm 101800三、1证明： BD、CF平分ABC、ACB 12，34 MNBC， 62，35 16，45 BMDM，CNDN BMCNDMDN即 BMCNMN2解：CE是AB边上的中线理由： ACB90，ACD:BCD1:2， ACD30，BCD60 CE平分BCD， DCEBCE30 CDAB，ACD30，BCD60， A60，B30 AACDDCEACE，BBCE AEEC，BEEC AEBE所以CE为AB边上的中线3证明：延长BD交AC于M点，延长CE交BD的延长线于点N在ABM
25、中，在CNM中， ， 在BNC中， 在DNE中， 由、得： 由、得：4已知：线段a和如下图（1）求作RtABC使作法：（1）作的余角（2）作MBN（3）在射线BM上截取BCa（4）过点C作CABM，交BN于点A，如图（2） ABC就是所求的直角三角形5证明： ACM和BCN都是正三角形，喜欢 一般 不喜欢 ACMBCN60，ACCM，BCCN 点C在线段AB上， ACMBCNMCN60附件（一）： ACMMCNBCNMCN120即 NCABCM120开了连锁店，最大的好处是让别人记住你。“漂亮女生”一律采用湖蓝底色的装修风格，简洁、时尚、醒目。“品牌效应”是商家梦寐以求的制胜法宝 。在ACN和
26、MCB中 ACNMCB（SAS） ANCMBC秘诀：好市口个性经营在PCN和QCB中标题：大学生究竟难在哪？创业要迈五道坎 2004年3月23日 PCNQCB（AAS） PCQC PCQ60 PCQ是等边三角形除了“漂亮女生”形成的价格，优惠等条件的威胁外，还有“碧芝”的物品的新颖性，创意的独特性等，我们必须充分预见到。 PQC60 PQCQCB如果顾客在消费中受到营业员的热情，主动而周到的服务，那就会有一种受到尊重的感觉，甚至会形成一种惠顾心理，经常会再次光顾，并为你介绍新的顾客群。而且顾客的购买动机并非全是由需求而引起的，它会随环境心情而转变。 PQAB6解：连结CE、BF，如图在ABF和DEC中PS:消费者分析 ABFDEC（SAS） 34，BFEC4WWW。google。com。cn。 大学生政策 2004年3月23日 AFCDCF， AFC3DCF4即 12据统计，上海国民经济持续快速增长。03全年就实现国内生产总值（GDP）6250.81亿元，按可比价格计算，比上年增长11.8%。第三产业的增速受非典影响而有所减缓，全年实现增加值3027.11亿元，增长8%，增幅比上年下降2个百分点。在BCF和EFC中 BCFEFC（SAS） BCEF更多精品文档
