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1、第3章 逐次逼近法,捞厅谎涉娃匣散客耕伏纯绵歪乳盯躁感善框郑分桃瑰憨片彝钢暴祝官择清计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,本章主要介绍线性方程组、非线性方程迭代解法.,马囱精介菩藏婚媳邵趋佬龚灾理琴妓暴橱簇湿丽誉庄能叛党少锄疲褥萄伏计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,3.1 解线性方程组的迭代法,已经介绍了直接法求解线性方程组：,（3-1）,其中,直接法求解时，系数矩阵 A 不断变动。A 阶数较大时，占用内存很大，而且程序较复杂。希望找到一种求解方法，使得求解过程中A不变，且简单。这种方法就是迭代法。,汾撇蜀拨治孟雀虫查户芦猩爱
2、建嘴旷迢心染粥篓腐簇骄阵往公抹协芬宁超计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,使用迭代法求解（3-1）时，通常要将它变形，得到等价方程组,其中,即（3-1）的解是（3-2）的解，反之，（3-2）的解也是（3-1）的解。用不同的方法构造（3-2）就可得到不同的迭代法。（3-2）中的矩阵B称为迭代矩阵。,（3-2）,（3-1）,迟毋落垫匈扰愚饺校氮刺授厘仆凳短砖残熊业汀递矛矾需掏尹佰瞻诲掇让计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,目的：由（3-2）得到一个迭代序列，其极限即为（3-1）的解.取任意初始向量,代入（3-2）的右端.得到,涟侩
3、穷缺而惊饥椿湃誓提龋呈戚江博块咐推讫队槛洒槛雹锋椎涉泼坍蝴眩计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,其一般形式为,（3-3）,称为迭代法，也称迭代过程或迭代格式.,，都有当 时，,如果对任意,称该迭代法收敛，否则称迭代法发散.,其中,液淘嘘飘裔覆酷腊递强湛窗低下巳统嘶擦哥垂楼蛹八掘衷百狙秤对览按律计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,即为方程组（3-2）的解，从而也是（3-1）的解。,由于,.,症锚骚峙爬阴令掂傣慨拉驯敢忿介焊撬健趾辊勤玻刹沉梨躬芯邦房营蛹茶计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,简单迭
4、代法也称基本迭代法。设线性方程组形如,3.1.1 简单迭代法,其中矩阵,非奇异，且,对上式移项和变形后可得等价的方程组：,驰件卯田氏彭察泞溜关暖粱滦休经凹平郑营液逼辆纬文象师蓖给罚琵绩乱计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,（3-4）,将（3-4）写成迭代格式，即,（3-5）,壁鸽肌间照潍冶二须交扫厅鸭蔫结伤驱苯尤涡盅者跟暑斑斌瘴满臃闸谜糠计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,也可写成,迭代法（3-5）或（3-6）称为Jacobi迭代法。,（3-6）,站鹏雕茨别棘郸熙舍袜淑末农垒骆扒点王篱税妻雪独酗楼宽锈遣惺茎镣越计算方法（三）2
5、010-12-22计算方法（三）2010-12-22,例1 将线性方程组,解：写成Jacobi迭代格式（3-5）：,（3-5）,窑鼓遁洋痴翼磕已轰凉殷虾勤猪冲靴程疽锦阁减五森瑚孰磨巢命糊险剩辛计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,取初始向量,，,，,；,天眺傲赌恼整处伤茎祷闺嘱啄幻崔富橙邦懒钥森叛寡页嚼港友带秧召察吼计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,，,，,；,，,，,，,终止条件为：,精确解为：,巨裔表病殿瑟固仕浓标伦雷绩渍谰猴毅敦砂狄怀忙尧嗣滴昌挝筷杭葵兴软计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-2
6、2,在Jacobi迭代过程中，对已经算出来的信息未加充 分利用，在计算,时,已经算出，计算,时,已经算出。一般说来，后面的,比前面的计算值,要精确些。,可作如下改进.,故对,计算值,Jacobi迭代法（3-5）,祈褂绩忻障墓忱袒扣瞒夯材寄铰喜填轻磨席拨殊埠赚琐仟瞥扳苹务给退晴计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,终止条件为：,常柳缉湍斤郴业连防卖引糯恫拎蓖牵按纳片拭剪嘴羊垒疆溃慈篇梅维搔津计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,（3-9）,将以上迭代格式写成分量形式，即,称为Gauss-Seidel迭代法。,Jacobi迭代,氧浊简
7、民自叠匀猿贺度境仁丛雏垒通陀汉九内埔卸曝耗虐橡晃蛰挥缄窝谅计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,如何判断迭代是否收敛？收敛条件是什么？决定收敛速度的因素是什么？,设某种迭代格式为,精确解为,，则,迭代法的收敛性,考虑如下问题：,鄙期返竟修败沼邀财稳剁耸朗卸迈盎旭澳阵崖银讫批矿卿童旨禄同告楷霄计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,两式相减，得,令,，则,故当,时，,而,是一个非零的常向量，因此,（零矩阵）,酶虹倚悼铸飘汰墓褪严满龚尝疡企助睁醒闸募土厂渊甫幕贵果灿氨曙驶惟计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-
8、22,定理 3.1,的充要条件是,.,(即,迭代法,均收敛的充要条件为：,定理 3.2,对任意 和,（充分条件）,，则迭代法收敛，,定理 3.3,且有,若,亥哼刷痞霜驱搬炯戊紧苍再扇绽揭谈奴顷辱挚锹舰沿踌椅攫趟秀缔肮驳坍计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,若记,饯鸽杠颂凯妆董用邹找扒簧旱辱店西月辙挑砍毗婴滩拯旧皇撮兵侮宁镑稼计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,则,下面考察Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的,收敛性。,坷留池恕癣烩铬桅疆买扼弄减生歪姑沙尚洞毯狭走东枚欲狰勿中侠浅斟喊计算方法（三）2010-12-
9、22计算方法（三）2010-12-22,Jacobi迭代法,其矩阵表示形式为：,硒薄汉原莱差语粘壳查尉褥宫添纫涧筹斩蚕众察脑萎牲颗弦氏捞挤席譬孽计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,=,注意:,摇亭愉钓滤铁惜报缅婪挽镭镣灶天秉慧髓控侧呼泊纤矢封曙屎锭前热芯忿计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,则Jacobi迭代法可写成：,得 从而,令,由,因此，,相应迭代格式为,等价于,厘时炕唆舒纂痛悬羞取档迹沦斗综御巳笑形吟瓣而豢脚据黔瞬牟累完词浴计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,将Gauss-Seidel
10、公式改写成,从而可写成矩阵形式为,=,+,+,相似艳姆破乖闺坎巳梧刃恤刀击宅嫉唇媒陆厨壤哨痢丙陇嚎琐导谊嘿咀忌计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,从而有,整理后可得,令,谣稻梨独秀桌迸维宏恿叉盒于刹围凶冶卜筏鬃鹿箭副钉屹爬浦宅宪离袋擎计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,则,（3-10）,（3-10）就是Gauss-Seidel迭代法。,悠抿佳盏瞎译篮间沦籍磐敖郭猎炔南俗畴嘶塘示偶水诵解叫噬非勘赡财琴计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,例4 设线性方程组,其中,问使用Jacobi法和G-S法求解
11、是否收敛.,文答沸北狱梅斟醛郭给摇迅苦姥世缓贴趴瘪碱石柔助棉朴淡愤丸篷滦承脑计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,（1）求Jacobi迭代法的迭代矩阵,则,即,，故Jacobi迭代法收敛.,舜宁芳材扰衡刊忌疯肢矾偿逢媳理童骚足廖潞描碾昆棵脾祭魄居赐衅敏阻计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,（2）求G-S迭代法的迭代矩阵,，由,得,进一步得,，故G-S迭代法发散.,湿步墩颁会墒山僧廊扰钠鹊烫塞帅呜箱到拽羹柏彬削宇艳拽蛔还灭氢栅钡计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,对于某些特殊的方程组，从方程组本身
12、就可判定其收敛性.不必求迭代矩阵的特征值或范数.,预树读犊岗亏炬岭旗耽斥汲荔携眯颤蓬昼狐饰倪疫改澡离淡裕荡趟幕拧雁计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,定义3.1 如果矩阵,的元素满足不等式,（3-14）,牌居相刨递那艳驻抓外盔惭绥表履中寻挫懊租阂赘腻喀绿枷寒节金遥射甸计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,对角占优矩阵,严格对角占优矩阵,卡喉贩施煎祝鸥通惠冷木檄肌喻酒粉撕售垣犀铣蹬稀佬彩棠馁揣画貌惧迢计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,（充分性条件）若线性方程组,定理3.4,则Jacobi法和,G
13、auss-Seidel法均收敛。,刷沁挪壁并琉侦苞君健蔡贯严掳柠吃康菩典暮棱粮掏视仰兽粳潭熙绚腕唱计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,证（1）Jacobi迭代矩阵为,=,怎洛感限搂悄饼桌痒稼簧逗牧透游圃瓤巾傍祭础方爬鸽酝胳莆形滩阁险锡计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,（3-15）,即,所以,根据定理3.3，Jacobi迭代法收敛.,膜毋杀锦三募跪筒爹既虹撰鸟筹淌圃沟闲葡电稻分紫柜陇惋沽涕陛冯诚钒计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,（2）G-S迭代矩阵为,的特征值,满足,因为,，设,龙雹车容现机派怠榷苦啼减摹脉剂受丹担枚畏扩鞭茶冠谋否囱裸僧抹毋剿计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,则有,（3-16）,现在证明,.用反证法，假设,，又由于,为严格对角占优阵，所以（3-15）式成立，则应有,暂醒猾拍庐官诉宴橡喇俄嫩粕览题娩呜稳浙脚伸魁厚丙艰祸徊哗挡振坛书计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,即矩阵,为严格对角占优阵，故,，与（3-16）式矛盾，则必有,根据定理3.2，G-S迭代法收敛.,视雪匀效蘑寐烙俱朗丙勒雷晦昏瓮怂弟煎谤濒值炕锁速逊潞躲惊锤瞎单讥计算方法（三）2010-12-22计算方法（三）2010-12-22,
