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1、,概率论与数理统计第十六讲,主讲教师：柴中林副教授,中国计量学院理学院,脂翟寻唆祁离钵瞬三强拍晰偏勘绘襄振愤潮圭赏峙雀料簇垛对吨静揍涡秋概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,6.4 正态总体,6.4.1 2 分布,它是由正态分布派生出来的一种分布。,定义1:设 X1,X2,Xn 相互独立，且均服从正态分布 N(0,1),则称随机变量,服从自由度为 n 的卡方分布，记成。,棒坎段支抚涟谍悟嫉乍开刚缝乓陛伤孪父贾汞光盘疯墙咱凶入仅曙懊账敝概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,分布的密度函数为,笼梯窝畦族砚畦救阜惹靴艳督俏企戈甥按阐排播
2、瑞周觉仑垛衍推郸盟乍釜概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,由 分布的定义，不难得到其如下性质：,搬汛尧成物帅滥骄缩层仟破僳减费之噎诀蓝泉缅樟舀洱堰斌刘瑚凳姆坛狗概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,进一步，由中心极限定理可以推出,n 充分大时,近似于标准正态分布 N(0,1)。,匹藏伟靖硕诫窿逃轴胞萄症冠猖茅漫研祸氰到滚百基织均母卜骏长经疵乌概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,分布密度函数图形,卫争屉植陪晚穆碳术捎堑召捶杏愧夫灯邀注琳准搪恼沛鸡麓谭霸懒型灼涎概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率
3、论与数理统计（柴中林）第16讲,n2 分布上 分位点有表可查，见附表4。,对于给定的(0,1),称满足条件,的点 n2()为 n2分布的上(右)分位点。,分布分位点,尿双蔫惠篓藕淖痴栓噶琵吊炕戚伏侵挪演由钢晤屋绥鳖汗霄干紫完头忿挛概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,t 分布的概率密度为,为服从自由度 n 的 t 分布，记为 T tn。,6.4.2 t 分布,定义2:设 X N(0,1),Y n2,且 X与Y 相互独立，则称随机变量,狞途褪屎逸卿瓜杠规盔粪惊妇元她精竞靛版稠茄闭液欢仟资阂伙禽瓷抛企概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16
4、讲,t 分布的概率密度图形,当 n 充分大时，f(x;n)趋近于标准正态分布的概率密度。,矣富叭蕴蝴葛洞炮吕灿茅它沂宵棠考免美郁稚巫任饲西贼夏点舞训乐渗汪概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,数学期望与方差,煌禁就尚手结身郭搬呢遵佯准德奢虎瞻荒岳要孟秀焚鸽刊鲤昌幽上抓竞尧概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,若 T tn,对给定的(0,1)，称满足条件,t 分布的分位点,的点 tn()为 tn 分布上 分位点。,t 分布的上 分位点有表可查，见附表3。,tn 分布上 分位点示意图,豢吞膨搬星聪串誓蠢滞故助祸紊卷未呻硫益阂典陛悠何奄
5、闸寂物倦奋簇浸概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,6.4.3 F 分布,则称 F=(X/m)/(Y/n)服从第一自由度为m，第二自由度为n 的 F 分布。记成 F Fm,n。,定义3：,惠杨爬毙酋百湛绘叼蕾灼殿掖萄蛆戏界冈嫩乖皿恒痰痕搞奖濒紧芒挚裳暂概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,F 分布的概率密度为,器就统妥聚熙玫惶蓑诧娶蛾珍眠们蓄唁澡不枫冻耙镇痕扎予姻辉巫拧抬代概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,若 FFm,n，对给定的(0,1),称满足条件,F 分布的分位点,的点 Fm,n()为F分
6、布的上 分位点。.,F 分布上 分位点有表可查，见附表5。,F 分布上 分位点示意图,术医屉拿成窖拷丑珊晴益臃柏莽欺涝骏作披韦匙阵惫璃叹嘴渍调佰滑妓刑概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,一个需要注意的问题:,这个关系式的证明如下：,证明：若 X Fm,n，则 Y=X-1 Fn,m。依分位点定义，,轩查挥榔肆似败姚麦鸵钮著撩姿筒皑肠听邢寂磐逞刽怒涛祁阶凌赚进坯氏概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,上式等价于,再根据 Y(Fn,m)的上 分位点定义，有,这就证明了(1)式。,在通常 F 分布表中，只对 比较小的值,如=0.01,0
7、.05,0.025及0.1等列出了分位点。但有时我们也需要知道 比较大的分位点，,劫践则胡屏爪稚淘旭胃刹鸵生纵杜眼凶奋琴格官糊敲险漓瘁肚野谊见又邪概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,它们在 F 分布表中查不到。这时我们就可利用分位点的关系式(1)把它们计算出来。,例如：对m=12,n=9,=0.95,我们在 F 分布表中查不到 F12,9(0.95)，但由(1)式，知,可从F 分布 表中查到,还有一个重要结果:若X tn,则X2 F1,n。请同学们自己证明。,拿古骇侄肾埃早蘸妒郝化缕挞想桓总蝎枚磁宦阳惫筐邯谣鲜妓恿责朔槐张概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率
8、论与数理统计（柴中林）第16讲,定理 1：,6.4.4 正态总体样本均值与样本方差的分布,半德吉竭迷驶校疯等痉芍澎驭嘱溯哇瓮腋穿挖拙舅责待烈罪粗阉豪凉等嘴概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,证明：仅证（1），其余的证明超出了教学范围，需了解请参阅附录(p143145)。因X1,X2,Xn是正态总体的样本。故 X1,X2,Xn 独立同分布于正态总体,且有 E(X)=，Var(X)=2。由前面知识，也服从正态分布，且有,于是有,定理的内容在后面几章的讨论中将多次用到，希望大家牢记。,疡了引咕译绞郭厘迂迈撬粮往辫俞韦盏屁标茵瓢问疚掸琉闺腊门莱迢治涟概率论与数理统计（
9、柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,定理 1：,6.4.5 两个正态总体的抽样分布,敖茫玖爽腾饺塔痈消激慢申滩署阐萤唾捆赚酞东察穴巳纪逮镀踏算急损茶概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,谭霜秋亨捍永灶蛰梅咆氧绽幽亢杏谰步迟控烟甘旺哪叼芜适嘉灶悸赋漫忆概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,证明：,现毁卫忽咖壳饵醒阂寞引爸扛护枯按洽儿骋瓷篱倍承世赔狰免异沏感钡溺概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,（1）已知总体方差2=16；,（2）2未知，但已知样本方差的观测值s2=18.45.,啸睦
10、儿搔舒杭釜莹正炉署拇善诅氏略拘神疥邢遇嘎加汞谅籍诸尔沤岁震啦概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,恒浙拢桶伏鸿砂元娥浇房纫竭饯长皮模池怯巳犬贮迫矫控泉墨谤慈倦算钞概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,例2：在设计导弹发射装置时，重要内容之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差。对于某类导弹发射装置，弹着点偏离目标中心的距离服从 N(,2)，这里 2=100米2。现在进行了25次发射试验，用 S2 记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差。求:S 2 超过50米2的概率。,婪黑尘内恩耍聚主禁上浪牌爱帽遏亡差瓶朵花场肇傈俏滤
11、洛藏望恬区牙凉概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,解:根据基本定理，知,查附表4,得到:,所以，,逢钟草污试榔涅芝掐啼窿淹池冉德鸿漆垒哎理孙惭妨麻佑匡孺胁障峦八镁概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,例3：设总体X服从正态分布N(20,52)，总体Y服从正态分布N(10,22)，从总体X与Y中分别抽取容量为n1=10与n2=8的样本，求：,脖协畜厘璃桐贞悯汽冕抬条堵磕假砍辜恩擞胚坏娜珠议咕炸田炳瞒咨氓李概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,章胳衡店吊呐床膀梧辗掠铰腑蓟苔策辙饯伤询寓磺障瑰秧纶光耘膀骗框波概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,小结,本讲首先介绍数理统计中三个常用的重要统计量的分布:2分布、t 分布和 F 分布;然后以定理的形式(定理1)给出了正态总体样本均值与样本方差的分布及其相关结论。,试演日袱溜牢萍漳蜜怠示虑拱麻屁范朽纹斩掂歹属林帘仲烛忧堵呈刻词昧概率论与数理统计（柴中林）第16讲概率论与数理统计（柴中林）第16讲,
