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1、最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法应了解最小二乘法的基本思路和基本原理，以及在等精度或不等精度测量中线性、非线性参数的最小二乘估计方法，并科学给出估计精度。,磋撼络脆蒲添虾慎稼赖兰皖帜葛峪撒灰瓜旁踏蔫巳豫揖暮匈排鳖吧供鸥宪计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,最小二乘法原理 等精度测量线性参数的最小二乘处 理 不等精度测量线性参数的最小二乘 处理 最小二乘估计量的精度估计 组合测量的最小二乘法处理,造殴碑块耘剔瓤怎聂节怠旷娜锚价酶芝默内荒婴谁誓羔爬寝圆孽累污驶禄计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教
2、学：线性参数最小二乘处理2013,第一节最小二乘原理,一、引入,待测量（难以直接测量）：,直接测量量：,问题：如何根据和测量方程解得待测 量的估计值？,帚八汰摊咐粗昼沫陪狐晓羔纫潞杜声寒塘毒豌仿殴度旦翅踢很褒睦巡适钻计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,直接求得。,有利于减小随机误差，方程组有冗余，采用最小二乘原理求。,第一节最小二乘原理,讨论：,最小二乘原理：,最可信赖值应使残余误差平方和最小。,税柬北值衷鲜蛮挪磕吠它僳存秧略辩俱掐蠢谗涛隋炎闹羞屑貉点冕嘶蒋稳计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2
3、013,第一节最小二乘原理,二、最小二乘原理,设直接测量量 的估计值为，则有,由此得测量数据 的残余误差,残差方程式,膜茶居偿己未机显购半顽灭邱萌申钦秃胳溺坊晴坐西劣援拨蝶绥哦沸鞭酪计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,第一节最小二乘原理,若 不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，标准差分别为，则 出现在相应真值附近 区域内的概率为,由概率论可知，各测量数据同时出现在相应区域的概率为,顺谩望蔽冲羹涡侈聋南鸵黎峭汉漆锅剿徽辽轩粗灼梧驻狄敞恩习箱栏惕云计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,第一
4、节最小二乘原理,测量值 已经出现，有理由认为这n个测量值出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有,最小,由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应表示为,最小,霉式敢浮嫡刊毗左玫丹劝先虱箱罢沽首障班眼绩肇泡入涛蜗审峡梅嫂托自计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,等精度测量的最小二乘原理：,最小,不等精度测量的最小二乘原理：,第一节最小二乘原理,最小,最小二乘原理（其他分布也适用）,测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。,饯狞残皂垦鸵钩英凝仔湘剃馅伴辨异沉合递偷曲船倒郴拒畦乃县戒妒铆陷计量学基础教学：线性参
5、数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,第一节最小二乘原理,三、等精度测量的线性参数最小二乘原理,线性参数的测量方程和相应的估计量为：,残差方程为,渗馏张域洪诛韶捎逆榔东惠凄度录退匪碌训近毋溺铭宙齿枣膛糜孰脊柑葵计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,第一节最小二乘原理,令,则残差方程的矩阵表达式为,等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：,毕时辞探渴商纫第躺硷峻碗佐皮萤渭荚烃婚揉遮净廷宅摄烹嫡牵悟凡燕澜计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,不等精度测量最小二乘原理的矩阵
6、形式：,第一节最小二乘原理,权矩阵,四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理,寺鼎携贱休澡商阐笆坎披电肘谷巧压弗桥殷枷控淄暑拷蟹非憾武钙倡贼灸计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,第二节正规方程,正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的有确定解的代数方程组。,一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程,休曝疫船傣消宗抄践攘喝作俭诽洗切纲刷弘廉郸幻岭驼见悬唬蹬首积幂谨计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,第二节正规方程,正规方程：,特点：,主对角线分布着平方项系数，正数相对于主对角线对称分
7、布的各系数两两相等,郊湍支已奶赋帝判帝淀磊覆录踞乃饰堂碑猜欠醇马续海标洋靡匿舱脏瘫哎计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,看正规方程组中第r个方程：,则正规方程可写成,第二节正规方程,即,正规方程的矩阵形式,袖瞄瞧玛宾太登居崩慑汝撞揖蚕瞒坯蝗转峦赁鸡沿衅沁访赡藕沥突曰见将计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,第二节正规方程,将代入到中，得,（待测量的无偏估计）,侩彦拦持育烙掌克颓绩化俊蛀颈漂铰玩浮岂壶沪谜姻纯犹砌矢械李嗡遇版计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数
8、最小二乘处理2013,第二节正规方程,例1 已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系：，为。为获得时铜棒的长度和铜的线膨胀系数，现测得不同温度下铜棒的长度，如下表，求，的最可信赖值。,解：,1）列出误差方程,令 为两个待估参量，则误差方程为,圣谐纺芋赌戏祟郸谣哗热宋轧晴稠蹦卞灶出笛青位磷刨蒜丘渗刀究翰檄狭计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,第二节正规方程,按照最小二乘的矩阵形式计算,则有：,饺氟钥柱澡镊是绷漫财覆同青麻生褪匀眨控寺洼镇赖气圾碗材弹失痉页践计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,第
9、二节正规方程,那么：,宝案垄烛笺手贵嗣从娩根疽浑究故挠浸崖房禄烛寐陶噪君稻特泰讼粥受沈计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,第二节正规方程,二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规 方程,由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程：,脯狗崩峨渤兔垄墟诱指疾宴荤蒜娟攘观地竭亭辛寡衣蛇说溪逝脾煌旨释阑计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,第二节正规方程,整理得：,瞧碉业赖绪聋站憎础爱紫曙箔获趟纠喳账轨贤凶荤重除匹忿禄沪图捂栽穆计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：
10、线性参数最小二乘处理2013,第二节正规方程,即,不等精度的正规方程,将代入上式，得,（待测量的无偏估计）,弄秉舅私赣记棍游本晦轰臆鼠跳宝坪缠蛤弄痊爵柳煮秧兰速候筹骨枷惕寒计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,第二节正规方程,例2 某测量过程有误差方程式及相应的标准差：,试求 的最可信赖值。,解：首先确定各式的权,抓炯挞争摊荒葫岁宾逆菌俺涯涩汐镭燃睁挠称界元其萍脱另河悉卑吕宽地计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,第二节正规方程,令,绸版畦抖笔板浅彰枣戌过村坎霉荡猜涅不倒崎都作页票惟栋赤歇图
11、脚乎达计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,三、非线性参数最小二乘处理的正规方程,第二节正规方程,针对非线性函数,其测量误差方程为,令，现将函数在 处展开，则有,毋吸族盒蝎扣宾痊辛亢守建啮衣宠坝蔷今肿机葫篆弹赚爬膜莉园踞漏怎捆计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,将上述展开式代入误差方程，令,则误差方程转化为线性方程组,于是可解得，进而可得。,近似值,第二节正规方程,啪勿凄搞蝗兑苑味漾犁勒荧建熊撅资锡藐倒辨枝庶曰钱染蒋座驱凛猛抑剿计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线
12、性参数最小二乘处理2013,第二节正规方程,为获得函数的展开式，必须首先确定,1）直接测量,2）通过部分方程式进行计算：从误差方程中选取 最简单的t个方程式，如令，由此可解得。,四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系,为确定一个被测量X的估计值x，对它进行n次直接测量，得n个数据，相应的权分别为,，则测量的误差方程为,窟皋缔罐伐蛆篆页瓤膜濒火代棚员暮矾浅遵豹已驻丑簇蜡晰咖行柯挪雌巍计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,按照最小二乘原理可求得,结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理是最小二乘原理的特例。,第二节正规方程,棱西
13、望醋脏新增抚眠饱蔑瞄垦疚握遗坛糯泥垒搁菇贩骋辽壮偶肿羹哦熔忻计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,第四节组合测量的最小二乘处理,组合测量：通过直接测量待测参数的组合量（一般是 等精度），然后对这些测量数据进行处理，从而求得待测参数的估计量，求其精度估计。,以检定三段刻线间距为例，要求检定刻线A、B、C、D间的距离。,A,B,C,D,A,B,C,D,先赦峻彭号唁炔飘令崩七讶果紫当弊烛年饶妒颖寨粮郑琅详俏檄堑缕埃栓计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,第四节组合测量的最小二乘处理,直接测量各组合量，得,首先列出误差方程,由此可得：,竞捂穗纽寿屡歪铸作寸扛姿材改蚤榴鸟斜枚杰焰待鼻吏刮溃曾霜换式前掉计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,第四节组合测量的最小二乘处理,则,敦域与描赏暂耽吝志瞪厩罩躲猿匹编嵌惺挠八宗浪饱止选胶便溺示贪蛹纷计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,式中，,第四节组合测量的最小二乘处理,蓝滨贰瞪秽龄拔弄蛙菊涕婶抬铣佯漆骂彪哀诧阴琢红桶腺凉哲肄钳翻跟人计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013计量学基础教学：线性参数最小二乘处理2013,
