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1、3.2.2 利用空间向量证明平行、垂直关系,自 学 导 引(学生用书P80)会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行,垂直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤.,课 前 热 身(学生用书P80),1.空间中的平行关系主要有_、_、_,空间中的垂直关系主要有_、_、_.2.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是_即可.,线线平行,线面平行,面面平行,线线垂直,线面垂直,面面垂直,共线向量,3.证明线面平行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量_.(2)证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量_.(3)利用共面向量的定理,即证明直线的方向向量与平面内两个不共线
2、的向量是_.,垂直,共线,共面向量,4.证明面面平行的方法(1)转化为_、_处理;(2)证明这两个平面的法向量是_.5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量_.6.证明线面垂直的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是_;(2)证明直线与平面内的_.,线线平行,线面平行,共线向量,互相垂直,共线向量,两条不共线向量互相垂直,7.证明面面垂直的方法(1)转化为_、_;(2)证明两个平面的法向量_.,线线垂直,线面垂直,互相垂直,名 师 讲 解(学生用书P80),1.利用空间向量证明线与面平行:只要在平面内找到一条直线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证明a=b即可.2
3、.利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各取一个向量a、b,只要证明ab,即ab=0即可.,3.证明线面垂直:直线l,平面,要让l,只要在l上取一个非零向量p,在内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证明pa且pb,也就是ap=0且bp=0.4.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、线线垂直.,典 例 剖 析(学生用书P80),题型一 证明线面平行例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN平面A1BD.,分析:分析1,如下图,易知MNDA1因此得方法1.,变式训练1:ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为3,底面
4、边长为2,E是棱BC的中点,求证:BD1平面C1DE.,证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1为坐标轴建系如右图,则B(2,2,0),D1(0,0,3),E(1,2,0),C1(0,2,3),题型二 证明线面垂直例2:如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、D1B1的中点.求证:EF平面B1AC.,分析:转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向量平行.,证明:方法1:设A1B1的中点为G,连结EG,FG,A1B.则FGA1D1,EGA1B.A1D1平面A1B.FG平面A1B.AB1平面A1B,FGAB1,A1BAB1,EGAB1.EFAB1.同理EFB1
5、C.又AB1B1C=B1,EF平面B1AC.,方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标系,规律技巧:(1)方法1是传统的几何法证明,利用线面垂直的性质及判定,需添加辅助线.方法2选基底,将相关向量用基底表示出来,然后利用向量的计算来证明.方法3建立空间直角坐标系,利用向量,且将向量的运算转化为实数(坐标)的运算,以达到证明的目的.(2)几何的综合推理有时技巧性较强,而向量代数运算属程序化操作,规律性较强,但有时运算量大,两种处理方法各有优点,不能偏废.,分析:由判定定理,只要证明CD垂直于面PAC中的两条相交直线即可,或者用向量法证明CD的方向向量与平面PAC的法向量平行.,证
6、明:方法1:如下图,分别以AB、AD、AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1),题型三 证明面与面垂直例3:三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.求证:平面AB1D平面ABB1A1.分析:转化为线线垂直、线面垂直或者利用法向量垂直.,证明:方法1:取AB的中点E.三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,CEAB且AA1CE,得CE面ABB1A1.,另取AB1中点M,得MDCE.MD面ABB1A1.又MD面AB1D,面AB1D面ABB1A1.,方法3:建系如下图,正三棱柱底面边长为a,高为a,取AB1
7、的中点M,则相关点的坐标如下:,规律技巧:证明面面垂直有传统方法和向量法两种途径,传统方法考查逻辑思维能力较多,常需作辅助线解决,思维量大,向量法思维量小,但有时运算量较大,特别是建系时一定要根据题目所给空间体建立合适的坐标系,建系不当,会人为增加计算的难度.,变式训练3:如图所示,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1平面A1B1C1D1,DD1平面ABCD,DD1=2.(1)求证:A1C1与AC共面,B1D1与BD共面;(2)求证:平面A1ACC1平面B1BDD1.,证明:以D为原点,以DA,DC,DD1所在
8、直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示,则有D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).,技 能 演 练(学生用书P82),基础强化1.在空间直角坐标系中,平面xOz的一个法向量是()A.(1,0,0)B.(0,1,0)C.(0,0,1)D.(0,1,1)答案:B,2.平面的一个法向量为(1,2,0),平面的一个法向量为(2,-1,0),则平面与平面的关系是()A.平行 B.相交但不垂直C.相交且垂直 D.无法判定,答案:C,3.在空间四边形ABCD中,E、F分
9、别是AB、BC的中点,则AC与平面DEF的位置关系是()A.平行 B.相交C.在平面内 D.不能确定,答案:A,解析:如图所示,易知EFAC,又AC平面DEF,EF平面DEF,AC平面DEF.,4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.AC B.BDC.A1D D.A1A,答案:B,解析:如图,B1D1CC1,B1D1A1C1,又CC1A1C1=C1,B1D1平面AA1C1C,而CE平面AA1C1C,B1D1CE,又B1D1BD,CEBD.,5.平面ABC中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1),若a=(-1,y,z),且a为平
10、面ABC的法向量,则y2等于()A.2 B.0C.1 D.无意义,答案:C,6.若直线l的方向向量a=(-2,3,1),平面的一个法向量n=(4,0,8),则直线l与平面的位置关系是_.解析:a5n=(-2)4+30+81=0,an,l或l.答案:l或l,能力提升7.在正方体AC1中,O、M分别是DB1、D1C1的中点.证明:OMBC1.,证明:如图,以D为原点,分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz.,8.在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E、F分别是AB、BC上的动点,且AE=BF,求证:A1FC1E.,证明:以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).设AE=BF=x,E(a,x,0),F(a-x,a,0).,9.如右图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点.求证:平面EFG平面AB1C.,品味高考10.(北京卷)如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点,求证:AC1平面CDB1.,证明:因直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,所以AC2+BC2=AB2.所以ACBC,
