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1、第7章 平稳过程的谱分析,内容提要,平稳过程的谱密度谱密度的性质窄带过程和白噪声过程联合平稳过程的互谱密度平稳过程通过线性系统的分析,7.1 平稳过程的功率谱密度,帕塞伐公式：,普通时间函数 x(t)的谱分析,能谱密度,功率密度,截尾函数：,平稳过程的谱分析,设 X(t)是均方连续的随机过程，,功率谱密度,功率谱密度,定义 设 X(t),t 是均方连续的随机过程，称为 X(t)的平均功率。称为 X(t)的功率谱密度，简称谱密度。,当 X(t)是均方连续的平稳过程时，,解,例1(例7.1)设有随机过程 X(t)=a cos(0t+)，其中 a,0 为常数，在下列情况下，求 X(t)的平均功率(1
2、)是在(0,2)上服从均匀分布的随机变量；(2)是在(0,/2)上服从均匀分布的随机变量。,(1)随机过程 X(t)是平稳过程，,相关函数：,平均功率：,(2),平均功率：,X(t)是非平稳过程,对平稳随机序列，均值为0，如果当 在 上取值时，若绝对一致收敛，则 是 上的连续函数，称为平稳序列 的谱密度。这时,目录,7.2 功率谱密度的性质,设 X(t),t 是均方连续平稳过程，RX()为它的相关函数，其功率谱密度 sX()具有如下性质：,(1)（维纳-辛钦定理）若，则 sX()是 RX()的傅里叶变换；,当 X(t)为实平稳过程时，,谱密度的性质,sX()是 的实值非负函数；实平稳过程的谱密
3、度是偶函数；,(4)当 sX()是 的有理函数时，其形式必为,其中 a2ni,b2mj(i=0,2,2n,j=2,4,2m)为常数，且 a2n 0,m n，分母无实根。,单边功率谱,单边功率谱实平稳过程的谱密度 sX()是偶函数，因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。,例2(例7.2),解,已知平稳过程的相关函数为，其中 a 0,0 为常数，求谱密度 sX().,例3(例7.3),已知平稳过程的谱密度为，求相关函数 RX()及平均功率2.,例4(例7.5),设平稳随机序列的谱密度为 求相关函数 RX(n).,目录,常见的平稳过程的相关函数及相应的谱密度参见表7.1（P120）,7.3
4、窄带过程及白噪声过程,相关函数：,窄带随机过程谱密度限制在很窄的一段频率范围内。,谱密度：,函数,具有下列性质的函数称为函数：,注 1与()是一对傅式变换。,函数有一个重要的运算性质，即对任何连续函数 f(x):,或,因此,白噪声过程,定义 设 X(t),t 为实平稳过程，若它的均值为零，且谱密度在所有频率范围内为非零的常数，即 sX()=N0()，则称 X(t)为白噪声过程。,相关函数：,定义 称均值为零、相关函数 RX()=N0()的实平稳过程为白噪声过程。,目录,7.4 联合平稳过程的互谱密度,定义 设 X(t)和 Y(t)是两个平稳过程，且它们是联合平稳（平稳相关）的，若它们的互相关函
5、数 RXY()满足，则称是 X(t)和 Y(t)的互功率谱密度，简称互谱密度。,互谱密度的性质,(1),(3),(4)若 X(t)和 Y(t)相互正交，则,(2)ResXY()和 ResYX()是 的偶函数，而ImsXY()和 ImsYX()是的奇函数；,联合平稳过程的谱密度,若 X(t)和 Y(t)相互正交，则,设 X(t)和 Y(t)是两个平稳过程，且它们是平稳相关的，W(t)=X(t)+Y(t)，则,例3 如图所示X(t)是平稳过程，分析过程Y(t)的平稳性，并求Y(t)的谱密度。,解,Y(t)是平稳过程。,目录,线性时不变系统,系统：,线性系统：,时不变系统：,7.5 平稳过程通过线性
6、系统的分析,下列微分算子和积分算子是线性时不变的,（1）,（2）,频率响应与脉冲响应,对于线性时不变系统，输出 y(t)等于输入 x(t)与单位脉冲响应 h(t)的卷积，,傅式变换输出频谱Y()与输入频谱 X()的关系：,定理1,设L为线性时不变系统，当输入一个谐波信号 x(t)=eit 时，则输出为,其中,随机过程通过线性系统的输出,设线性系统的单位脉冲响应为 h(t)，当输入一个随机过程 X(t)时，其输出随机过程 Y(t)为,傅式变换：,线性系统输出的均值,设线性系统的输入随机过程 X(t)的均值为 mX(t)，则其输出过程 Y(t)的均值为,当输入过程 X(t)为均值平稳时，,线性系统
7、输出的相关函数,设线性系统的输入随机过程 X(t)的相关函数为 RX(t1,t2)，则其输出过程 Y(t)的相关函数为,当输入过程 X(t)为自相关平稳时，,输出与输入的互相关函数,同理，,当输入过程 X(t)为自相关平稳时，,输出相关函数,输出过程的平稳特性,当线性系统输入一平稳过程 X(t)时，其输出过程 Y(t)的均值 mY(t)为常数，相关函数 RY(t1,t2)=RY()只与时间差 有关，故输出过程 Y(t)也是平稳的。由于互相关函数 RYX()和 RXY()也都只与时间差 有关，故输出过程 Y(t)与输入过程 X(t)之间还是联合平稳的。,例4(例7.14)（h(t)的估计）,设线
8、性系统输入一个白噪声过程 X(t)，其相关函数为 RX()=N0()，则,假定过程 X(t)和 Y(t)是各态历经的，,线性系统的谱密度,设线性系统的频率响应函数为H()，当输入平稳过程 X(t)具有谱密度 sX()时，则输出平稳过程 Y(t)的谱密度为,例5(例7.15)如图RC电路，若输入白噪声电压 X(t)，其相关函数为 RX()=N0()，求输出电压 Y(t)的相关函数和平均功率。,解,例6(例7.17)如图有两个LTI系统H1()和H2()，若输入同一个均值为零的平稳过程 X(t)，它们的输出分别为 Y1(t)和Y2(t)。如何设计H1()和H2()才能使Y1(t)和Y2(t)互不相关？,解,互不相关 协方差为零,当两个LTI系统的幅频特性互不重叠时，则它们的输出Y1(t)和Y2(t)互不相关。,目录,
